X -t- a/ = / -4- iiCï = 1 -¥- (dlmg sin a, — m -j- j
d'où l'on tire en différcntiant par rapport au temps,
rf*x rfV , d^v dv dv' , d^v
+.= „i,„, ou H--=-f./m— .
dv' Si l'on élimine — entre cette équation et la première, il vient
dv ulmm' dH m sin a — m' sin j3 cPo ^ n
rfe'^'m-f-m' dF^^ m-^.m' ^" IT^'^ dt'^ ' .
dont l'intégrale fera connaître v en fonction de f ; et en remplaçant v
dx par-7-> une nouvelle intégration donnera x en fonction de t. Cette
équation linéaire et à coefficients constants a pour intégrales v = D -+- Bf -*- M |/Â cos -— - -*- N j/Tsin
x = E -^ Dt-f--B^^-f- AMsin— 3~ ANcos — »
M, N, D, E, étant quatre constantes arbitraires que l'on détermine en observant que si V, V, e et L sont les valeurs initiales des vitesses
des points m et m', de x et de la longueur x + x' du fil, on a en
faisant ( nul dans la valeur de x, de v et dans celle de x + x' après
dx dxf avoir dérivé, aOn de former la valeur de -;--+- -7-== v -f- 1/,
dt di
V = D + M|/a, V -*- V == -^ mu/,
e =r E — AN, L = Z 4- twfxi(</ sin a — B — N).
Proposons- nous de déterminer le mouvement des deux points matériels précédents, en tenant compte de la masse de la chaîne mkm! supposée parfaitement flexible et inextensible. Soient / la longueur mk.m' de la chaîne supposée uniforme, u. la masse comprise dans Tunité de longueur, x la distance Âm, et v la vitesse du point m supposée dirigée dans le sens ÂB. D'après le principe de D'Alcmbert, il 7 a équilibre entre toutes les forces intérieures qui naissent des liaisons des points matériels. Ces forces se composent des actions et réactions réciproques des éléments de la chaîne contenus dans Am et Am' y compris la tension au point A, et comme ces actions et réactions entre chaque élément se détruisent, il suffira pour Téquilibre d'exprimer que la tension au point A dans le sens Am est égale à la tension dans le sens Am', c'est-à-dire que les forces dirigées suivant A m sont égales aux forces dirigées suivant Am'. Les premières se composent du poids du point m et de la chaîne Am estimée dans le sens AB, ou {mg + lucg) sin a, diminué de la force d'inertie de cette masse Am,
qui est (m -+- |!Jut)-7-« La force qui agit suivant Am' est
[m'sf + (x(/ — x)3]sin(3-f- [m'-^-f^l/ — x)]— ; on a donc l'équation
[mg -4- ifjxg) sin a — {m'\- yjc) —
= [w'ff -^ p(^ — x)g] sin (3 -\- [m' -i- u. [l — ar)] ^ ,
d'où l'on lire
dv d*x m sin a — m'sin|3 — jx/sin (3 ■*- px(sîn a-t-sin(3)
di rf(* ^ m -f- m' H- [f.1
Si l'on représente par P, F et p les poids des masses m, m' et de l'unité de longueur de la chaîne, cette valeur deviendra, en supposant
274 chapItre xvi.
les deux droites verticales, c'est-à-dire, lorsque les deux poids pendront librement aux extrémités d'une cliainc passant sur une poulie,
En multipliant les deux membres par âe/x et intégrant, on con-
, dx
naîtra la vitesse -7- ; une seconde intégration conduira à la valeur de x
dt
en fonction de t.
Résolvons encore le problème suivant : aux deux extrémités B et B' (fig. i02) d'un cordon inextensible et supposé sans pesa/iteur BAA'B' passant sur une poulie^ sont suspendus deux corps de forme prismatique BD et B'D' de densités connues ^ et ces corps plongent en partie dans des vases remplis de liquides dont les niveaux constants sont G et C ; on demande de déterminer les lois du mouvement de ces corps.
Soient x la distance variable AB, / la longueur BAA'B', a la hauteur constante AC, h la longueur BD, w la base de ce cylindre, m la masse de Tunité de longueur^ p le poids de l'unité de volume du liquide, et employons les mêmes lettres accentuées pour représenter les quantités analogues du côté B'D'. Pour exprimer qu'il y a équilibre entre les forces qui proviennent des liaisons ou entre les tensions, il faudra égaler les forces qui agissent sur le point B à celles qui agissent en B'; or la tension en B se compose du poids du cylindre BD, diminué du poids que lui fait perdre la pression de Teau, et diminué de la force d'inertie; cette tension sera donc ^ en remarquant qu'un corps perd dans l'eau une partie de son poids égale au poids du volume d'eau déplacé^
mgh — {h — a -t- x) «p — mh-j' = m'gh! — (/*' — a' -*- a:') o/p' -v- m'A' -j- 1
lit at
d'où l'on tire, en remarquant que a; -h a:'= /,
dv d^x mgh — m'gW-\'[W — o'-t- 1 — xjo'p' — (A— a -4-x)&)p
di lît^"^ mh -t- m'/i' '
que l'on intégrera complètement comme dans l'exemple précédent; le mouvement est donc de la même nature.
Si l'on tenait compte de la résistance que le fluide oppose à la descente de BD, il faudrait considérer cette résistance comme une force motrice extérieure agissant dans le sens DB, et par conséquent la retrancher des autres forces qui agissent en B. En supposant la résistance pro-
DYNAMIQUE. 27d
porlioiincllc au carré de la vitesse, elle aura nv* pour expression, et réquation précëdente deviendra
mgk — (A— o-t-x)û)p — tnh-z nv'^=^m!gh!^[W — a'-+-x')&)y 4-*w'A' — •
On intégrera cette équation différentielle qui contient trois variables x, V et t, en remarquant que
dx , dx
-— = y d ou ai =^ — f dt V
dont la substitution fera prendre à Téquation différentielle la forme
[mh -4- m!W) vdv -+■ wu* dx = (A -♦- Bx) dx ,
qui deviendra une équation linéaire du premier ordre^ après qu'on aura remplacé v* par une nouvelle variable u.
Nous terminerons ces applications par le problème qui suit : Déterminer le mouvement que prennent deux chaînes BCl) et B'C'D' (fig. 105) suspendues aux deux extrémités B et B' d'un cordon sans pesanteur passant sur une poulie ^ les extrémités de ces chaînes se reposant sur des plans horizontaux CD et CD'.
Posons AB = x, AC = tt, A'B' = x', A'C' = a', AB-4-A'B' = i, m et m' étant les masses de Tunité de longueur des deux chaînes. Supposons que ce soit la chaîne BC qui descende; il est visible qu'à chaque instant un élément de la chaîne d'une longueur dx se détachera du plan CD' et prendra une vitesse v ou une quantité de mouvement m'vdx dans le temps dt; cet élément acquerrait donc, dans
l'unité de temps, la quantité de mouvement —z Telle est la nie-
sure de l'effort exercé au point C pour soulever un élément de CD'
de la chaîne. Par suite de la réaction de cet effort, la chaîne B'C
dx éprouve une tension dirigée de haut en bas et égale à m'v-j-; or
d'après le principe de D'Alcmbert, il y a équilibre entre les tensions
intérieures, c'est-à-dire que les forces qui agissent en B sont égales
à celles qui agissent en B'. La force appliquée en B est le poids de BG
diminué de sa force d'inertie. En B' c'est le poids de B'C augmenté
dx de son inertie et de la réaction de mv-r-] on a donc
dt
dv dv dx
m [a — x) g — m{a ^ x)— = m' {a' — x'jg-h m'{a'^ a/)-y--+- w^'^-t: >
OU bien, en remarquant que
dx , ,
dt *
ma -t- m'/ — m'a' — (m -h m'j a:
^ ma -+- m'a' — m'I — [m — m') x
Quand on aura remplacé v* par une nouvelle variable u, celte équation (liiTérentielle sera du premier degré et du premier ordre, et son intégration sera ramenée à une quadrature.
Si les deux chaînes avaient un poids uniforme et qu'elles formassent les extrémités d'une chaîne continue passant sur la poulie que nous réduirons à son axe, on trouverait, en désignant par x la distance
dx d'un chaînon quelconque B au point A, en remplaçant -r- par v et
(it
égalant les tensions en  et en A',
rfv , ,dv dx ,. . {a-+-a')(/u
«(/ — a-7-==a^-4- a'-j--t- v— j ou bien a/ =
dt ^ dt di (a — a')3 — v^
qui a pour intégrales, en faisant commencer t? et x avec le temps,
v = |/la-a')(/-
x-=(a+ a'jlog-\ c «-^«' H-e «■*"'*'
On voit qu'après un certain temps, la vitesse est sensiblement uni-
fornic et égale à j/(tt — a') g.
Dans les problèmes précédents, on n'a pas tenu compte de l'inertie de la poulie.
Mouvement d'un syslcmc de forme invariable autour d'un axe fixe. Pressions supportées par Taxe. — Calcul des moments d'inertie. — Calcul des moments conjugués. — Théorèmes sur les moments d'inertie. Ellipsoïde central. — Axes principaux d'inertie. — Théorèmes sur les moments conjugués. — Propriété des ellipsoïdes centraux d'inertie. ~ Mouvement sans forces motrices d'un corps solide autour d'un axe fixe. Vitesse angulaire. Pression sur l'axe. — Axes permanents de rotation. — Vitesse de rotation due à une percussion. Direction et mesure de la percussion. — Cas où les corps choquants s'attachent au corps choqué. — Cas où le corps choquant se sépare du corps choqué. — Percussion éprouvée par Taxe. — Centre de percussion normale à l'axe fixe. — Centre de percussion oblique à l'axe fixe. Théorème général sur les centres de percussion. — Mouvement d'un corps pesant autour d'un axe horizontal. — Oscillations d'un pendule composé. Centre d'oscillations. Propriété de ce point. — Moments d'inertie déterminés expérimentalement. Application au pendule balistique et au mouvement du treuil.
144. Mouvement d'un système de forme invariable autour d'un axe fixe. Pressions supportées par l'axe, — Pour déterminer le mouvement autour d'un axe fixe , d'un système de points matériels liés entre eux d'une manière invariable et soumis aux actions de forces motrices quelconques, représentons par m la masse de l'un de ces points, par (ar,y,?) ses coordonnées, par (X, Y,Z) les forces motrices qui y sont appliquées parallèlement aux axes fixes, et employons les mêmes lettres accentuées pour représenter les quantités analogues pour les autres points. L'axe de rotation , que nous prendrons pour axe des Z, peut être rendu immobile en fixant deux quelconques de ses points; ces
278 cuAriTRE XVII.
<Icux points fixes cprouveront alors des pressions dans certaines direclions inconnues, et si on les décompose en trois autres parallèlement aux axes, il est visible qu'on aura deux pressions parallèles à chaque axe, lesquelles pourront être composées deux à deux eu une seule, de sorte que les pressions éprouvées par Taxe fixe, et par conséquent les réactions de Taxe fixe contre le système pourront généralement être représentées par trois forces P, Q, R appliquées & Taxe de rotation et parallèles aux axes des (X, Y, Z}, cette dernière R étant renfermée dans Taxe même, et les deux autres étant appliquées en des points de Taxe des Z placés à des distances inconnues de Torigine, représentées parpetqr. En introduisant ces trois forces dans le système, on peut ne plus tenir compte de la fixité de l'axe, et le considérer comme entièrementlibre.Or, d'aprèsle principedcD'AIembcrt, ily a équilibre entre les forces d'inertie des diiïérents points et les forces motrices extérieures, en comprenant parmi ces dernières les trois forces P, Q, R. Pour un des points m du sysième, les forces motrices sont (X, Y, Z), et
les forces d inertie parallèles aux axes sont *w-ty> ''*~r7' ^^TT
Qtl Cllr dl
agissant en sens inverse; puisque ces forces jointes à P, Q, R, se font équilibre dans le système, elles doivent satisfaire aux six équations d'équilibre trouvées en statique; si donc on emploie le signe 2 pour désigner une somme de quantités de même nature, relatives aux différents points du système, on doit avoir :
ifz —
lesquelles, jointes aux conditions qui expriment que le système est de forme invariable, feront connaître toutes les circonstances du mouvement ainsi que les pressions P, Q, R supportées par l'axe.
Pour exprimer que le système est de forme invariulile, par Taxe de rotation et un point détermine du système, le centre de gravite, par exemple, faisons passer un plan que nous prendrons pour, celui des (X^ZJ. Un plan perpendiculaire h celui-ci et passant par Taxe sera le plan coordonne des (Y, Z,), et Tancien plan des (XY) qui jusqu'ici est arbitraire, sera le plan des (X, Y,). Si (x„ y„ «,) sont les coordonnées du point m relativement à ces nouveaux axes, (x/, f//, z/) les coordonnées de i;/, etc. , il faudra pour indiquer Tinvariabilitc du système, exprimer que ces nouvelles coordonnées sont invariables par rapport au temps; h cet effet remarquons que comme l'origine et Taxe des Z n'ont pas changé, on a
z = 5„ z' => z/, etc.
Quant aux coordonnées x, et y,^ en désignant par 77 l'angle formé par le plan des (XZ) avec le plan des [X^Z,], ou l'angle formé par l'axe des X^ avec l'ancien axe des X, on sait qu'il existe entre les anciennes coordonnées et les nouvelles les relations
z = z„ x = x, cosy] — y, sinyj, y =sx, sinyj -h y, cos/î;
d'où l'on tire, en différenliant par rapport au temps et en remarquant que (x,, y^, z^) etc. doivent être invariables^ tandis que l'angle y] varie avec le temps,
rf'z rf'z, rf*x d» cos yj rf' sin /j
(/*y ci' sin /] d* cos y}
dsinyj dri rf* sin yj c/*yî
— ; — =cosy/-7-5 — r- — = cosyî-r dt di dt^ dt
n . /dny
--sm,(^~j.
Si l'on substitue ces valeurs dans les six équations d'équilibre,
. d* sin yj d* cos y) , ^
en observant que — j-z — et — r-r— > etc. sont des facteurs communs
* di* di*
constants pour tous les points du système sous les signes 2, et qu'on
représente par r, r', etc. les distances des points m, m\ etc. à l'axe
des Z, ces équations deviendront :
^__ d*cosy]„ d'siny;.,
di* ' di* ''"
„ rf'sin*!, «i*cos>i„
R = 2Z '^^'l ^ ^ (Ya: - Xy) 2(Yx-Xy) ' dl* lm{x* + y*)~~ Imr* '
V /» V \ rf* sin ri rf* cos »
l(Zy — Yz) -^— ^^ 2mr/r, + ^^2mz,y,
— l{Xz — Zx)-t- — ^^ 2»t?,a-, -^ 1mz,y,
Les valeurs de P et de Q se simplifient, si l'on observe que, Zmx, et 2myf étant les sommes des moments des points matériels par rapport aux plans des (Y^Z,) et des (X, Z^), la seconde somme est nulle, puisque le centre de gravité est renfermé dans le second plan, et la première somme devient Ml en représentant par M la masse totale du système et par / la distance de son centre de gravité à Taxe. Les trois premières équations se réduisent donc à
^^^iX^Ml'^ (i)
Q^^2Y^Ml^^ (2)
Quant aux trois dernières, remarquons que les sommes 2 [Yx — Xy), 2 (Xz — Zx) et 1 [Zy — Yz) ne sont autre chose que les sommes des moments des forces motrices par rapport aux axes des (Z, Y, X), c*està-dire, les sommes des produits des composantes des forces estimées normalement à Taxe, par leur distance à Taxe; en les désignant donc par U", U', U, les trois dernières équations deviennent, en tenant compte des réductions faites dans les valeurs de P et de Q,
,, d*cosyî« d^sinri-,
U' j^ Imz^, + ^^^ lmz,y,
DYNAHIQCE. 281
d* sin *i „ d* cos y) „
U + —rj^ latz^, + lniz,y,
L'ëqualion (4) (ftant intégrée, fera connaître h chaque instant Tangle y], et en substituant sa valeur dans les cinq autres, on aura à chaque instant les trois pressions P, Q et R, ainsi que p et f en fonction du temps.
Si le système, au lieu d*étre composé de points matériels isolés et liés entre eux, formait un corps solide continu, on diviserait ce corps en éléments infiniment petits^ et en représentant par (x,l/,Zf) les coordonnées de Tun quelconque dm de ces éléments et par r sa distance & Taxe de rotation, les produits mr*, n^^f^n ^hVt seraient remplacés par r'^dm, zpc,dm, z,y,dmy les sommes I^r^ilm, 2z^,dtn, IéZ,y,dm qui seraient alors de véritables intégrales définies s*élendant au corps entier, devraient être désignées par fr^dm, fz^fdm, Jz/y^dm et il faudrait commencer par déterminer les valeurs de ces trois intégrales qui dépendent de la forme et de la nature du corps en mouvement.
145. Calcul des moments dHnertie. — La première des trois intégrales définies précédentes J*r^dm, représente la somme des produits de tous les éléments du corps par le carré de leur distance à Taxe de rotation et a été nommée moment d^inertie du corps par rapport à cet axe, parce quMI est le coefficient qui entre dans l'expression de la somme des moments des forces d'inertie par rapport à Taxe. Pour calculer sa valeur, on concevra la masse partagée en parallélipipèdes infiniment petits, par des plans parallèles aux plans coordonnés et distants les uns des autres de dx, dy^ dz\ le volume de Tun de ces parallélipipèdes est représenté par dx.dy.dz^ sa masse c/m l'est par pdx dy dz, en appelant p la densité de cet élément, et le moment d'inertie du corps par /pr^dx dy dz, ou plutôt par Tintégrale triple
fffçr^dxdydz,
cette intégrale étant étendue aux trois dimensions du corps entier. Si la densité est la même partout et que l'on prenne le moment d'inertie
par rapport à l'axe des Z, la distance r est égale à |/x'"-h y' et l'expression précédente devient
p///(^' -^ y') rfj^ rfy d^ = 9fil^fdyf{x^ ^ y^) dx,
les limites de chacuoe de ces intégrales devant être prises de manière h étendre la somme au corps entier. La marche à suivre pour intégrer est du reste la même que pour déterminer le volume ou la surface d'un corps donné (N°' 156 et 157 du Traité d'analyse y 2"" édition). Si le corps est un parallélipipède rectangle homogène et qu'on veuille avoir le moment d'inertie par rapport à l'une des trois arêtes, en désignant par (a, 6, c) les trois dimensions ,*. les trois intégrales devront être prises entre les limites 0 et a, 0 et 6 , 0 et c, et Ton trouve, en désignant par (Â, B, C) les moments d'inertie par rapport aux trois arêtes^
ou bien, M étant la masse du corps,
Pour le moment d'inertie d'un ellipsoïde homogène par rapport a l'un de ses trois diamètres principaux (2a, 26, 2c), on trouve :
A ==p— a6c(6* -H c'), B = p— a6c{a' 4- c*), C = etc.,
OU bien, en désignant par M la masse de l'ellipsoïde,
A = ? (6« + c*), B = etc.
Le moment d'inertie d'un cercle de rayon r et d'une épaisseur e, par rapport à une perpendiculaire à son plan passant par le centre , est égal à
-pTTsr».
Si un corps est de révolution , une seule intégration fait connaître son moment d'inertie par rapport à l'axe ^ comme dans la recherche du volume des corps de révolution; car si on le divise en tranches circulaires, le moment d'inertie de ces tranches est, d'après ce qui pré-
cède, égal à-p7:r*(/x = -p7r(/a:)*rfx et le moment d'inertie total sera
l'intégrale définie de cette différentielle. On trouve ainsi pour le
momeat d'inertie d*un cane droit à base circulaire, par rapport à son axe, a et A étant l*angle au sommet et la hauteur,
— PTtA» lang* a =— A* tang» a,
et M-^r^ pour le moment d'inertie d'une sphère par rapporta un
diamètre.
146. Calcul des moments conjugués. — Les deux autres intégrales f xzdm et fzydm^ ainsi q\xQ J^xydm qui se présentera plus loin et que nous nommerons moments conjugués par rapport aux plans (XZ)^ etc., s'obtiennent par des moyens analogues; ain|i on mettra la première sous la forme
p fff oczdxdy dz ==^ p f xdx f dy f zdz ,
et les intégrations seront effectuées, comme pour les cubatures, de manière à les étendre à tous les éléments du corps. Si celui-ci est un parallélipipède rectangle homogène et que les plans coordonnés soient ses trois faces conligues, les limites des trois intégrales seront évidemment 0 et c^ 0 et 6, 0 et a, et on trouvera pour intégrale finale,
/ xzdm = yyy* pj« dx dy dz=sp — — = -r ac.
Les deux autres intégrales sont :
--bc et -r-ah.
On trouvera de même pour une sphère homogène ayant son centre placé en un point qui a pour coordonnées a, 6, c,
fxzdm = -pTiacr^ = Mac, fyzdm = M6c, fxydm = Ma6.
On obtiendrait, comme plus haut, les valeurs de ces intégrales dans l'ellipsoïde rapporté à son centre et à ses diamètres principaux (2a, 26, 2c) ; mais il est facile de reconnaître sans calcul que celles-ci sont nulles; eu effet il est visible que, à cause de la symétrie de l'ellipsoïde par rapport au plan des (XZ), chaque élément ayant pour coordonnées (x, y, z) sera symétrique avec un autre élément ayant pour coordonnées (x, — y, s), de sorte que si les différentielles yzdm et yxdm sont positives pour l'un, elles seront négatives pour l'autre;
les sommes fyzdm cl fyxdm se composeront donc de suites infinies de termes qui se détruiront deux à deux. En faisant la même remarque sur l'un des plans des (YZ) ou des (XY), on reconnaît que la troisième intégrale est aussi nulle. On voit par là que les deux intégrales /xyt/m et fyzdm sont nulles si le plan (XZ) divise le corps en deux parties symétriques, et que les trois intégrales sont nulles quand deux des trois plans coordonnés divisent le corps en deux parties symétriques.
147. Théorèmes sur les moments d'inertie. Ellipsoïde des moments d'inertie, — La recherche des moments d'inertie par rapport à un axe donné peut être facilitée au moyen de quelques théorèmes que nous allons démontrer.
Connaissant'le moment d'inertie par rapport à un axe passant par le centre de gravité d'un corps, on connaît immédiatement le moment par rapport à un axe parallèle au premier; en effet, si l'on suppose que ces deux droites soient les axes des Z et des Z' dans deux systèmes d'axes coordonnés rectangulaires (XYZ) et (X'Y'Z') parallèles entre eux, en représentant par (a, 6, c) les coordonnées de la première origine par rapport aux seconds axes, on a pour un point quelconque du corps,
cl pour le moment d'inertie par rapport à l'axe Z' ou /{scf^ -»- y'*) rfm,
/(j/î ^. y'«) dm ==/[(jp -h a)« -*- (y -*- 6)*] dm^f (x* -*- y^j dm
-4- (a* -+- h^)J dm -h ^afxdm -4- % fydm^
ou bien, en désignant par X, Y les distances du centre de gravité aux plans des YZ et des XZ, et par M la masse du corps,
/(a/« -t- y'*) rfm =/,x» -h y«) dm -»- M (a' -+- 6«) -4- 'âaMX 4- 25MY.
Gomme l'axe des Z contient, par hypothèse, le centre de gravité, les distances X et Y sont nulles et cette valeur se réduit à
/ (a/* -+- y'«) dm=-f (x« + y«) dm h- {a« -h 6«) M ;
or les deux intégrales de cette équation sont les moments d'inertie par rapport aux axes des Z' et Z, et si l'on suppose la masse entière concentrée dans son centre de gravité, le troisième terme représente le moment d'inertie de ce point matériel par rapport à Taxe Z'. De là résulte ce théorème : le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque est égal au moment d'inertie par rapport à une parallèle
passant par le centre de gravité^ augmenté du moment d'inertie par rapport à l'axe donnée du corps entier supposé concentré en ce point. En représentaol par MK^ le moment d'inertie par rapport à Taxe qui passe par le centre de gravité et par r la distance de Taxe parallèle, le moment d'inertie par rapport à celui-ci devient
Il résulte de là que, parmi tous les axes parallèles, celui qui passe par le centre de gravité a le plus petit moment d'inertie, et que tous (es <u:es parallèles également distants de ce points ont le même moment.
On peut aussi exprimer le moment d'inertie par rapport à une droite quelconque passant par l'origine, en fonction des moments d'inertie pris par rapport à trois axes rectangulaires et des trois moments conjugués fxzdm^ fxydm^ fyzdm^ connaissant les angles que forme la droite avec les axes rectangulaires; en effet, si l'on désigne par (x^y^z) les coordonnées d'un point quelconque du corps par rapport à ces axes, et qu'on considère la droite donnée comme étant l'axe des Z' d'un nouveau système d'axes rectangulaires des (X' Y'Z') ayant la même origine que le premier système, [x! y' z*) étant les coordonnées du même point par rapport aux nouveaux axes^ un sait que l'on a
a/ = ax -+- a'y -♦- a"^,
y' = 6x -*- Vy -h 6"z,
z! ==cx •\- dy •\- d'z^
dans lesquelles (a 6 c),. (a' 6' c'), {a" b" d') sont les cosinus des angles formés par les axes (X', Y', Z') avec l'axe des X, avec l'axe des Y et avec l'axe des Z, et comme le moment d'inertie par rapport à l'axe des Z' est représenté par f (a/* -t- yf^) dnty ce moment est égal à
Ka«x* -*- o'*y« -^ a"*x* -h 2aa'xy -^ î2a o"xz + ^a'a"yz -+- 6«j«\ -+- 6'»y* -h 6"*z« -f- 266'xy -i- 266"xz -^ 26'6"yz /
On sait que les cosinus (a, a', a"), (6, 6', 6''), etc. ont entre eux les relations
aa' -+- 66' -+- cd = 0, ao" h- 66" -*- cd' = 0, a'a" -4- 6'6" •+- cV = 0,
!286 CHAPÎTKB XVII.
qui donoent a« -H 6« = c'* + </'•, a'* -4- 6'* = c« -+- c"S a"« -*- 6"* = c« -*- (/« ao' H- 66' == — cd, aa" -4- 66" == — cd', a' a!' -+- 6'6" = - dd\
L'intëgralc devient donc
^- ^cd fxydm — ^cd' fxzdm — ^dd' fyzdm\
si donc on représente par V le moment d'inertie cherché, par (Â, B, C) les moments d'inertie par rapport aux trois axes rectangulaires des (X, Y, Z), par (P, Q, R) les trois intégrales fyzdm^ f xzdm, f xydniy et par (a, |3, y) les angles que forme la droite avec les axes des (X, Y, Z), il viendra
V = A cos* a -+- B cos* j3 4- C cos*y — 2R cos a cos (3 — 2Q cos a cos y
— 2P cos P cos y.
Cette équation fait connaître la loi suivant laquelle varie le moment d*incrtle en passant d*un axe à un autre autour d'un point. Cette loi peut être rendue sensible par une construction géométrique : portons sur toutes les droites qui passent par Torigine et h partir de ce point, une longueur inversement proportionnelle à la racine carrée du moment d'inertie correspondant, c'est-à-dire, prenons sur la droite qui
fait avec les axes des angles (a, (3, y), une longueur égale à — — -i
n étant une constante quelconque; les coordonnées (x, t/, z) de l'extrémité de cette longueur, seront
x = — =-cosa, v = — ::r-cosp, z = — zr-cosv,
et si l'on substitue les valeurs de cos a, cos |3, cos y tirées de celles-ci dans l'expression de V, il viendra pour l'équation de la surface formée par les extrémités de toutes ces droites,
«« = Ax* -^ By« -^ C«* - 2Rxy — 2Qxz — 2Pyz ,
équation qui appartient à un ellipsoïde ayant son centre placé à l'origine. D'où il résulte que les moments d'inertie d'un corps par rapport aux différentes droites qui passent par un même point, sont inverse-
ment proportionnels aux carrés des rayons (Vun certain ellipsoïde déterminé pour chaque point.
Cet ellipsoïde a été appelé ellipsoïde des moments d'inertie.
148. Axes principaux d'inertie. — On sait que dans tout ellipsoïde il y a trois diamètres perpendiculaires entre eux qui sont tels que si on les prend pour axes coordonnés, l'équation de la surface se réduit à la forme
Ces trois diamètres se nomnoent diamètres principaux de l'ellipsoïde» On sait aussi que si Ton cherche les plus grands et les plus petits rayons d'un ellipsoïde, on trouve pour triple solution les trois diamètres principaux. Il est visible que, pour que les trois axes coordonnés auxquels Tellipsoïde des moments d'inertie a été rapporté, deviennent les diamètres principaux, il faut et il sufiit que les coefiîcients (P, Q, Rj soient nuls dans l'équation de l'ellipsoïde central. (A, B, C) seront alors les moments d'inertie du corps pris par rapport h ces trois diamètres qui prennent ici le nom d'axes principaux d'inertie^ tandis que ces moments seront des moments d'inertie principaux. On voit que ce qui caractérise ces trois axes principaux relatifs à un point d'un corps, à l'exclusion de tout autre système d'axes rectangulaires passant par ce point, c'est que les trois intégrales (P, Q, R) ou
y xy dm , y xzdm , y* yzdm
étendues au corps entier, sont nulles relativement à ces axes. Pour un point donné, il ne peut y avoir plus d'un système de trois axes principaux d'inertie^ parce que dans un ellipsoïde, il n'y a qu'un système de diamètres principaux rectangulaires, et ces moments d'inertie principaux jouissent de la propriété d'être les plus grands ou les plus petits possibles pour un même point.
On démontre dans l'analyse géométrique que lorsque l'équation de l'ellipsoïde se réduit à la forme
n« = Ax« -H Bî/« -^ Cz« — 2Rxy,
cette surface se trouve rapportée à trois axes, parmi lesquels l'axe des Z est un diamètre principal ; or, pour que l'équation générale du N** i47 prenne la forme précédente, il faut que P et Q soient nuls^ c'est-à-dire, que l'on ait
y xzdm = 0, y yzdm = 0 ;
d'où il rcsuUe que les deux équations précédentes indiquent que Taxe des Z est un axe principal d'inertie relativement à l'origine.
Connaissant les valeurs des trois moments d'inertie (A, B, C) d'un corps par rapport à trois axes rectangulaires quelconques passant par un point, ainsi que les trois intégrales que nous avons désignées par (P, Q,R), il est facile de déterminer les directions des trois axes d'inertie principaux passant par ce point, et les valeurs des moments d'inertie qui s'y rapportent. 11 suffit pour cela de trouver, en grandeur et en position, les trois diamètres principaux de l'ellipsoïde dont on a trouvé l'équation au numéro précédent, "problème qui est du ressort de la géométrie analytique.
Puisque les trois intégrales (P, Q, R) sont nulles lorsque le corps est rapporté aux trois axes principaux d'inertie passant par un point quelconque, il résulte de la valeur de V trouvée plus haut, qu'en représentant par (Â, B, G] les moments d'inertie principaux relatifs à un point quelconque, et par (a, |3, y) les angles que fait avec ces axes une droite quelconque passant par le même point, le moment d'inertie par rapport à cette droite est
V = A cos* a -4- B cos* |3 -i- C cos* y.
Cette formule, jointe à celle démontrée au commencement du N"* 147, suffit pour calculer le moment d'inertie par rapport à une droite quelconque donnée, connaissant les trois moments d'inertie principaux par rapport au centre de gravité du corps et la position de la droite par rapport à ces trois axes principaux; car la formule
V = A cos* a -♦- B cos' (3 h- C cos* y
fera connaître le moment d'inertie par rapport k une parallèle k la droite donnée, passant parle centre de gravité, et l'expression
