V-t-Mr
dans laquelle M est la masse du corps et r la distance entre les deux parallèles, ou entre la droite donnée et le centre de gravité, donnera le moment d'inertie cherché.
149. Théorèmes sur les moments conjugués. — On peut aussi trouver immédiatement les valeurs des trois intégrales
fxydm^ J^xzdni, fyzdm
prises par rapport à trois axes rectangulaires quelconques donnés, connaissant les moments d'inertie principaux relativement au centre
DYiNAXlQCE. 289
de gravité et les positions relatives de ces deux systèmes d'axes; en effet, en désignant par (a/, y', z!) les coordonnées d'un point quelconque par rapport aux axes principaux du centre de gravité, par (x, y, z) les coordonnées du même point par rapport aux axes rectangulaires donnés, et par (/, m, n) les coordonnées du centre de gravité par rapport à ces derniers, on sait que l'on passe d'un système d'axes rectangulaires à l'autre par les formules
X = / -4- oa/ -h 6^ -*- cz', y = m + aV -f 6y -4- cfzf,
dans lesquelles (a, 6, c), [a\ b\ cf], etc. ont la signification indiquée au N° 147; si donc on substitue à (x, y, z) ces valeurs, en observant que les axes des (X', Y', Z') étant principaux, on doit avoir
/x'î/'dm = 0, /x'z'rfm = 0, /yVdm = 0,
et que les plans des (X'Y', X'Z', Y'Z^ contenant le centre de gravité du corps, il faut que Ton ait
/ a/rfm = 0, / y'dm = 0, fz^dm = 0 , on trouvera, toutes réductions faites,
f xydm = M/m -♦- aa* fT^^dm -4- hV fy'^dm -+- cd fzlHm^
ou bien, en remplaçant les produits aa\ bl/, cd par leur valeur tirée de la relation
aa! -h 66' -*- ce/ «= 0,
/ xydm ==» mm — aa' /(y* -*- «") dm — 66' / (x'* + z'*) dm
— ce' /(^* -+-!/'*)«''".
Les trois intégrales du second membre ne sont autre chose que les moments principaux d'inertie (A, B, G) relatifs au centre de gravité; on a donc
/ xydm = Mim — Aaa' — B66' — Ccc',
ou plutôt, (a, p, y) et (a', (3', /) étant les angles formés par les axes des (X', Y', Z') avec X et avec Y,
fxydm = Wm — A cos a cos a' — B cos (3 cos P' — C cos y cos /....(l)
Une marche semblable conduira aux valeurs suivantes de fxzdm et deyt/zdm,
fxzdm = M/n — A cos a cos a" — B cos (3 cos (3" — C cos }/cos /'J fyzdm = Mmn — A cos a! cos a" — B cos j3' cos (3" — C cos / cos /') ' ^
Ces trois intégrales prennent une forme très simple, lorsque les trois moments d'inertie principaux du centre de gravité sont égaux. Elles se réduisent alors à
f xydm = M/m, f xzdm = M/n, fyzdm = Mnm (2)
à cause des relations
au! -+- 66' -^ ce' = 0, etc.
c'esl-à-dire,
cos a cos a' -+- cos j3 cos j3' -h cos y cos / = 0 , cos a cos a" -4- cos |3 cos (3" -♦- cos y cos y" = 0 , cos a' cos a" -+- cos f3'cos j3" + cos /cos y"^= 0.
Ces valeurs coïncident avec celles que nous avons trouvées (N° 446) pour la sphère, dans laquelle les trois moments d*inertie principaux du centre sont en effet égaux.
En égalant à zéro les valeurs générales qu'on vient de trouver pour fxydm, fxzdmy fyzdm, on est conduite trois équations qui servent à résoudre ce problème : une droite étant donnée de position par rapport aux trois axes principaux du centre de gravité^ trouver le point de cette droite pour lequel elle est axe d'inertie principal ^ et trouver la condition à laquelle elle doit satisfaire pour qu'un semblable point puisse exister sur cette droite.
On trouve ainsi ^'^ que les seules droites qui jouissent de la propriété d*étre axes d'inertie principaux relativement à Fun de leurs points, sont les parallèles à un des rayons de l'ellipsoïde central du centre de gravité, renfermées dans le plan qui projette ce rayon orthogonalement sur son plan diamétral conjugué.
Sans nous arrêter à cette recherche, remarquons que dans le cas où les trois moments principaux du centre de gravité sont égaux, si Ton abaisse une perpendiculaire du centre de gravité sur la droite donnée, celle-ci, ainsi que la perpendiculaire, seront des axes prin-
(I) Voir un mémoire sur ce sujet dans le Recueil des Mémoires de V Académie royale des Sciences de Belgique, lomc XXI.
cipaux relativement au pied, puisqu'en prenant la droite donnée pour axe des Z et la perpendiculaire pour axe des X, les deux coordonnées m et n du centre de gravité seront nulles et par conséquent les trois intégrales (2).
Si les nouveaux axes coordonnés étaient parallèles aux axes principaux du centre de gravité» les angles (3, y, a', /, a'', (3^' seraient droits et il viendrait encore
f xydm = M/m , J* xzdm = M/n , J* i/zdm = Mm/i .
Il résulte de ces valeurs, que trois axes parallèles aux axes principaux du centre de gravité ne peuvent être eux-mêmes principaux pour aucun point du corps, i moins que deux des trois coordonnées (/, m, n) ne soient nulles, auquel cas Tun des trois axes se confond avec un des axes principaux du centre de gravité. On voit par là qu'un axe principal du centre de gravité est toujours axe principal pour tous les points placés dans sa direction, et que, pour chacun de ces points, les deux autres axes principaux sont parallèles aux deux autres axes principaux du centre de gravité. Quant aux valeurs des moments d'inertie principaux correspondant i ces points , en supposant ceux-ci placés sur Taxe C, à une distance r du centre de gravité, on trouvera, a cause du théorème démontré N"" 147,
A -*- Mr*, B -+- Mr», C.
On a vu plus haut (N"" 148) qu'en désignant par (A, B, Cj les trois moments d'inertie principaux d'un point quelconque d'un corps, et par (a, p, y) les angles formés avec les axes principaux par une droite passant par ce point, le moment d'inertie pour cette droite est donné par
V = A cos* a -*- B cos* (3 -h C cos* y.
Il résulte de cette valeur que si les trois moments d'inertie priucipaux sont égaux entre eux, toutes les droites passant par le mémo point ont le môme moment d'inertie, puisque l'équalion précédente se réduit alors h
V = A (cos* a -♦- cos' [3 -♦- cos' y) = A ,
Cette propriété est d'ailleurs une conséquence de ce que dans ce cas l'ellipsoïde des moments d'inertie se transforme en une sphère. Comme dans une sphère tout diamètre peut être considéré comme axe principal, on voit que lorsque les trois moments d'inertie principaux
292 CBAPITRE XVII.
sont égaux pour uo point , tout axe passant par ce point est un axe principal, et par conséquent pourtrois axes rectangulaires quelconques on doit avoir
/xydm=^Oy fxzdm^O^ fyzdm = 0.
Le8 j>oints d'un corps, qui ont les inoments d*inertie princij>aux égaux entre eux> Jouissent en mécanique de propriétés importantes. Proposons-nous donc de déterminer les conditions pour qu'un corps donné présente de semblables points et cherchons ensuite leur position. Si l'on fait passer par le point cherché trois axes rectangulaires, ils devront, d'après ce qu'on vient de voir, former un système d'axes principaux quelle que soit leur direction, et par conséquent lorsqu'ils sont menés parallèlement aux axes principaux du centre de gravité ; or, on vient de voir que ces axes parallèles ne peuvent être principaux à moins que l'origine ne se trouve sur l'un des axes principaux du centre de gravité; c'est donc dans l'un de ces derniers axes que doivent se trouver les points cherchés.
En représentant par r sa distance au centre de gravité, on vient de voir que les trois moments d'inertie sont pour ces axes parallèles,
A -♦- MrS B -4- Mr«, C,
et comme ils doivent être égaux par hypothèse, on doit avoir
qui expriment qu'un semblable point n'existe dans un corps que si deux des trois moments d'inertie principaux du centre de gravité sont égaux entre eux, et que dans ce cas, le point se trouve sur le troisième axe principal à une distance du centre de gravité représentée par
• Il y aura donc deux points jouissant de la propriété
d'avoir ses moments d'inertie principaux égaux entre eux, pourvu que G — A soit positif, ou pourvu que le moment inégal soit le plus grand des trois.
150. Propriété des ellipsoïdes centraux d'inertie, — On a vu que rellipsoïde des moments d'inertie autour de l'origine des coordonnées a pour équation
Ax« H- By« + Cz« — 2Pyz - 2Qxz — âRxy = n«.
et la gcotnétric analytique apprend que Téquation du plan diamétral conjugue à l'axe des Z est
Cz s= Py 4- Qx, ou bien z y(x* -4- j/*) dm = yfyzdm -4- xfxzdm.
Si l'on transporte l'origine en un point de l'axe des Z placé à une distance c de l'origine, il faudra ^^ger 2 en z — c, et l'équation du plan diamétral conjugué à l'axe desZ dans l'ellipsoïde correspondant à cette nouvelle origine devient
[z — c)fx^ ■+■ y^) dm = y/y [z — c) dm -*- xfx (z — c) dm ,
c'est-à-dire,
zf(x^ -*- y') (/m — cy(x* -♦- 3/*) dm^=s^y fyzdm — cy fydm
-^xfxzdm^-cxfxdm,
qui, en représentant par x, et y, les coordonnées du centre de gravité^ peut s'écrire ainsi
Cz — Py — Qx — r(C — My,y — Mx,x) = 0.
Cette équation est satisfaite pour toute valeur de c, c'est-à-dire, pour les plans diamétraux correspondant à tous les points de l'axe des Z, en posant les deux équations
Cz — Py — Qx = 0, C — My,y — Mx/r = 0,
qui représentent une ligne droite ; d'où résulte ce théorème : un corps étant traversé par un axe, si f on construit les ellipsoïdes centraux d'inertie pour tous les points de cette droite, les plans diamétraux conjugués à cet axe dans tous ces ellipsoïdes passeront tous par une même droite.
En éliminant successivement y et x, ces équations peuvent se mettre sous la forme ordinaire
^^ Cy, ^ PC
Qy,-Px, M(Qy,-Px,)'
Cx, QC
Qi/,-Px, M(Qy,-Px,)
Si l'on fait passer le plan des XZ par le centre de gravité, y, sera nul, et ces deux équations de la droite deviennent
Mx, C"^ Mx,
Cette propriété nous sera d*unc grande utilité dans la théorie du centre de percussion.
iSi. Mouvement sans forces motrices, d'un corps solide autour dun axe fixe. Vitesse angulaire. Pression sur faxe, — Reprenons les six équations (i) k (6) du N® 144, relatives au mouvement d*un corps solide autour d'un axe fixe, 4lhisons différentes hypothèses sur la nature des forces motrices. Supposons-les d*abord nulles ; le corps ne se mouvra qu'en vertu d'une vitesse de rotation initiale qui lui aura été imprimée, les quantités U, U', U'^ seront nulles et les six équations deviendront :
^ = ^^-iT* ^\(jïi) '^'''■^■dr- *'" " J = - M^ (jt) ^^ ■'■'
cos Yi f x^,dm — sin >! y y,z,dm '^ Mtcosyi
sin ri fx^jdm -f- cos f\f y^z^dm
^ M/ sin >!
La première de ces équations donne en intégrant,
dfi
at
Gomme y\ est l'angle formé par le plan des (X^,) passant par Taxe fixe et par le centre de gravité du corps, avec le plan arbitraire mais fixe des (XZ)^ on peut aussi considérer y] comme l'arc de cercle décrit pendant le temps t par un point du corps placé à l'unité de distance de l'axe; la constante arbitraire D est donc la valeur initiale de r\ ou la distance angulaire du centre de gravité au plan des (XZ) i l'instant où le temps t commence i compter ; quant à G, on voit que cette con-
dy\ stantc représente la valeur invariable de-p» c'est-à-dire, de la vitesse
at
qui aoimc un point du corps placé à l'unité de distance de l'axe de
rotation. Gette dérivée prend le nom de mttsse angulaire et sert de
mesure à la vitesse de rotation du corps. Nous représenterons dorénavant la vitesse angulaire par w. La première des deux intégrales précédentes exprime donc que le corps ayant reçu primitivement une certaine vitesse de rotation la conserve indéflnimont. La seconde exprime que Tangle y] augmente proportionnellement au temps t.
Pour ce qui est des pressions P et Q que Taxe fixe fait éprouver au corps, et qu'on mettra sous la forme
Pc= — M/u?*cosyî, Q = — M/M;*sin rj,
appliquées à des distances OA et OB de Torigine 0 données par p et q, si on les décompose chacune en deux autres r, r' et s, s' (fig. 104) parallèles aux axes mobiles des X, et des Y,, et qu'on prenne les résultantes de r, 8 et r', s^ on trouve que Taxe fixe fait éprouver au corps une pression parallèle à X, représentée par — Mlw* et appliquée en un point de Taxe distant de Torigine d'une quantité
Ml '
Taxe fixe éprouve donc à son tour une pression égale h Mlw^. Quant aux composantes parallèles à Y,, elles forment un couple dont le moment est égal à
de sorte que la pression éprouvée par Taxe fixe est en général représentée par une force M/ti?* renfermée dans le plan qui contient l'axe et le centre de gravité, et par un couple contenu dans un plan perpendiculaire au précédent. Observons que si la masse du corps était concentrée dans son centre de gravité, ce point matériel décrirait une circonférence de rayon / et aurait une force centrifuge représentée par
parce que la vitesse du centre de gravité est Iw, cette force centrifuge produirait donc sur l'axe une pression égale à celle que nous avons trouvée plus haut; mais il y a, entre ces deux cas, cette différence que, si la masse était concentrée dans son centre de gravité, la pression serait unique et serait appliquée au pied de la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur l'axe, tandis qu'en réalité cette pression est en général appliquée h une distance d de l'origine jusqu'ici arbitraire, et il y a en outre un couple perpendiculaire à la direction de celte force.
Comme jusqu'ici rorigine des coordonnées est resiée indéterminée, rien n'empêche qu'on la place au point d*ap})]ication de cette pression ; alors d sera nul et l'on aura pour ce point
J*x/z,dm =» 0.
Pour que le couple disparaisse, il faut que Ton ait aussi
fy,z,dm = 0.
Il résulte de ces deux équations que, pour que tes pressions éprouvées par Vaxe par suite d'une rotation se réduisent à une force unique, il faut que Vaxe de rotation soit un axe d'inertie principal par rapport à l'un de ses points^ lequel sera alors le point d'application de la force Mlw*, Réciproquement, si l'axe de rotation est un axe d'inertie principal par rapport à l'un de ses points, en y plaçant l'origine des coordonnées, les deux intégrales y* x^z^dm, fyt^,dm seront nulles, ce qui fera disparaître le couple et rendra nulle la distance c/. D'où il suit que dans ce cas, l'axe éprouve toujours une pression unique, appliquée au point pour lequel celui-ci est axe d'inertie principal.
452. Axes permanents de rotation. Lorsque les pressions qu'éprouve CD général un axe de rotation, sont réductibles à une seule, il suffît de rendre fixe le point d'application pour que l'axe reste lui-même immobile, puisque la force sera détruite. En rapprochant cette observation du théorème précédent, et en remarquant qu'en chaque point d'un corps il passe toujours trois axes principaux rectangulaires, on est conduit à cette propriété : Quand un point quelconque d'un corps sans forces motrices est rendu fixe, il y passe nécessairement trois droites rectangulaires qui sont telles, que si le corps commence à tourner autour de l'une d'elles ^ la rotation continuera indéfiniment autour de cette même droite. Les trois axes principaux jouissent seuls de cette propriété qui leur a fait donner le nom d'axes permanents de rotation.
Si le point fixe est le centre de gravité lui-même , la pression unique M/to' disparaît, puisque { sera nul ; d'où il résulte que si un corps sans pesanteur commence à tourner autour de l'un des trois axes principaux du centre de gravité rendu fixCy ces axes n'éprouveront aucune pression ; ils ne cesseront donc pas d'être axes permanents de rotation quand le centre de gravité sera entièrement libre.
Si l'on rend fixe le point pour lequel les trois moments d'inertie sont égaux entre eux, et qu'on commence à faire tourner le corps autour d'une droite quelconque passant par le point fixe, le corps
tournera indéfiniment autour de cette droite, puisque Ton a vu que toutes ces droites sont des axes d'inertie principaux pour le point fixe.
Quand la droite est axe principal d'inertie relativement au pied de la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur sa direction, la pression se confond identiquement, pour la grandeur et la position, avec la force centrifuge qui résulterait du mouvement de rotation du centre de gravité dans lequel toute la masse du corps serait concentrée , car von sait que la rotation fait naître une pression unique Mlw' appliquée au point pour lequel la droite est axe principal, c'està-dire, au pied de la perpendiculaire, et renfermée dans le plan qui contient le centre de gravité et la droite; cette pression est donc dirigée suivant la perpendiculaire abaissée du centre de gravité.
Cette circonstance se présente toujours, d'après ce qu'on a vu N° 149, lorsque les trois moments d'inertie principaux du centre de gravité sont égaux entre eux, puisque dans ce cas la droite est toujours un axe principal relativement au pied de la perpendiculaire.
155. Vitesse de rotation due à une percussion. Direction et mesure delà percussion, — Les six équations du N** 144 font aussi connaître toutes les circonstances du mouvement d'un corps solide autour d'un axe fixe, par suite d'une percussion; il suffit pour cela de tenir compte du mode particulier d'action de la force à laquelle la percussion donne naissance. On a vu (N"* 108) que, lorsque deux corps viennent se choquer, la percussion donne naissance à une force de pression agissant sur le corps choqué pendant un certain temps, inconnu u la vérité, mais que l'on sait être assez court pour que l'on puisse admettre que le déplacement du corps et le changement de direction de la force sont nuls pendant la durée de l'action.
La direction de celte force de pression se confond avec ce que nous appellerons la direction de la percussion. Elle est visiblement la même que celle suivant laquelle est lancé le point matériel choquant, lorsque celui-ci s'attache au corps choqué. Si le point matériel vient frapper le corps obliquement à la surface sans s'y attacher, la direction de la pression, et par conséquent celle de la percussion, sera dirigée normalement à la surface au point de contact. Si celle force T nous était connue, on introduirait sa valeur dans les six équations qui feraient alors connaître toutes les circonstances du mouvement du corps pendant la percussion. Mais la loi suivant laquelle varie cette pression nous est totalement inconnue; on sait seulement qu'elle n'agit que pendant un temps extrêmement court durant lequel elle prend naissance et s'éva-
^^J8 CHAPirnE xvn.
iiouit en passant par une valeur considérable. Puisque cette force oc nous est pas connue, c'est par les effets qu'elle produit qu'il faut chercher à l'apprécier. Appelons mesure de la percussion, la quantité de mouvement fxv qu'une percussion fail naître dans un point matériel d'une masse fi auquel elle communique la vitesse v.
Il existe entre cette quantité de mouvement et la force inconnue et variable T que la percussion fait naître, une relation qui permet d'éliminer celte force, en y introduisant la mesure julv que l'on parvient k déterminer dans chaque cas ; en effet, puisque T désigne la force motrice inconnue avec laquelle un point matériel d'une masse p. est pressé à une époque quelconque de la percussion, si l'on représente par 1? la vitesse acquise par fx à cette époque, ou sait qu'il existe entre u, v et T la relation
dv
qui n'est autre que l'équation du mouvement de fx; d'où l'on tire, en intégrant pendant la durée r de la percussion,
pv = f Tdt;
or, av est la quantité de mouvement engendrée pendant la percussion à laquelle elle sert par conséquent de mesure; on voit donc quel Tdt,
que nous désignerons par u, est aussi la mesure de la percussion. Si la percussion, au lieu d'être exercée contre un point matériel ^ isolé, était produite contre un corps de dimension finie, on concevrait cette percussion agissant sur un point matériel |ul, appartenant au corps choqué et placé au point de contact; u sera alors la quantité de mouvement reçue par ^i et par conséquent la quantité de mouvement que la percussion introduit dans le corps choqué. Nous verrons plus loin (N*" 154 et 155) comment on trouve la valeur de cette intégrale u.
Cela posé, si l'on désigne par S l'inclinaison de la direction de la percussion sur l'axe et par f la plus courte distance de ces deux droites, T sin $ sera la composante de T estimée normalement h Taxe elT/'sindson moment. L'équation (4) du N" 144 deviendra donc^ h cause de la signification de U",
d'n Tfsind .. , (/«/) /"sin a dt^ Imr^ dt Imr^
Or, si Ton admet que pendant la durée très petite r de TacUon de la force Ty les quantités f ci d restent sensiblement constantes, il viendra, en intégrant depuis le commencement de la percussion jusqu'à la fin, et en désignant par w citù les vitesses de rotation après et avant la percussion,
dYi /sin^
, . , ,. fsin 3 ... . . ,
w — w, c est-a-dire ^=; — ^m, est donc la vitesse de rotation engendrée
par la percussion u.
Si plusieurs percussions venaient agir simultanément sur le corps, il est visible que les vitesses engendrées par chacune d'elles devraient être ajoutées, en sorte que l'on aurait pour vitesse totale,
tt/sin d -h uT sin 5' -h u'Y"siu S" -h etc.
Cette valeur serait encore vraie si les percussions étaient successives, mais les valeurs de u, u', u".... ne seraient plus les mêmes comme on le verra plus loin.
On est conduit immédiatement à la valeur précédente de la vitesse angulaire engendrée, en observant que, d'après le principe de D'Alembert modifié pour le cas d'une percussion (N° 142), les forces qui servent de mesure aux percussions doivent faire équilibre autour de l'axe fixe, aux réactions ducs à l'inertie; or si le corps choqué prend un accroissement de vitesse angulaire w — o), un point matériel m placé à la distance r de l'axe, prendra instantanément une vitesse r{w — w) et une quantité de mouvement mr(w — w) qui, comme on sait, mesure la résistance due à l'inertie; le moment de cette résistance par rapport h l'axe est donc mr* {w — w) et la somme de ces moments I,mr^{w — a>) ou plutôt (w — &))21mr*, parce que la vitesse angulaire w — u est la même pour tous les points. D'un autre côté, les forces qui servent de mesure aux percussions sont t/, u'.... dont
les moments par rapport a l'axe sont ufsiad^ u'f' sin d^ ; on a
donc
{w — a))2mr* = ufs'in d ■+• u'p sin (î' -h etc., d'où l'on tire pour w — w la valeur trouvée plus haut.
500 CIIAPÎTRË XVII.
454. Cas où les corps choquants s'attachent au corps choqué, — Les mesures des percussions sont îminëdiatement connues lorsque des corps choquants m, m', m"...., des boulets par exemple, animés des vitesses V, v^, v" s'attachent simultanément au corps choqué supposé immobile, et ne s*en séparent plus après la percussion; car on peut, sans changer le mouvement de rotation, considérer m ,m',m''.... comme de^ parties intégrantes du corps choqué, auxquelles des percussions idéales auraient communiqué les quantités de mouvement mv, mV....; ces produits doivent donc être substitués à ti, ti'.... dans Tcxprcssion de la vitesse de rotation; mais comme le dénominateur représente le moment d'inertie du corps choqué entier, comprenant les masses fictives m, m', m"... qui reçoivent les percussions, il faudra, dans le cas actuel, prendre pour dénominateur non-seulement le moment d'inertie MK' du corps choqué proprement dit, mais encore les moments d'inertie des masses m, nt'.... ; en désignant donc par /, /'.... leurs distances à l'axe de rotation, on a pour expression de la vitesse angulaire engendrée,
mvfsxu S -4- mV/"' sin & h- etc.
MK« 4- rnl* -h m'I'^ -+- etc. '
/", /*'.... étant les distances des directions des vitesses v, v'.... à l'axe de rotation et (}, d'.... les inclinaisons de ces vitesses sur l'axe.
On voit, en comparant à la formule du numéro précédent, que les valeurs des percussions m, ii'.... sont ici
u = mv -——: -7- i u ^= mv
MK* H- m/* H- m'r* -^ etc. MK« h- ml* + etc.
Si le corps choqué avait une vitesse angulaire u antérieure à la percussion, il est visible que dans la fiction que nous venons de substituer à la réalité, la masse m du boulet aurait en commun avec le corps choqué et avant la percussion idéale, une vitesse l(ù perpendiculaire au plan qui contient l'axe et le point m. En décomposant cette vitesse en deux autres dirigées Tune dans ce plan et l'autre dans le sens de la percussion, la première sera détruite par l'axe si, comme on le suppose, le corps ne peut pas glisser le long de cet axe, et la seconde sera
égale à -: — dans laquelle t est l'inclinaison de la percussion sur ce
sin e
plan; la percussion idéale ne devra donc communiquer a la masse m
que la vitesse v : — pour lui faire avoir la vitesse t;; la valeur de
sin ■
la percussion serait donc m ( v : — ) qu'il faudrait substituer k u
\ si II s /
dans la valeur de w — (ù de la fin du numéro précédent.
153. Cas où te corps choquant se sépare du corps choqué. — Lorsque la masse m, au lieu de s'attacher au corps , ne fait que le choquer pour s'en séparer immédiatement après, la \aleur de u s'obtient de la manière suivante : dans le point matériel choquant il doit y avoir équilibre à chaque instant, en vertu du principe de D'Alembert approprié au cas d'une percussion, entre cette force u et les forces d'inertie qu'elle développe; si donc on représente par m sa masse, par (U', V, W) les trois composantes de sa vitesse avant la percussion, par (U, V, W) les mêmes composantes après, par (a, |3, $) les angles formés par les axes coordonnés avec la direction de la percussion u agissant sur le corps choqué, et par conséquent par 71 - a, TT — 13, TT — (î les mêmes angles quand la force u agit en sens inverse sur le corps choquant , les quantités de mouvement acquises suivant chaque axe et par conséquent les forces d'inertie seront
m (U - U'), m (V — V), rn (W — W) ,
et par conséquent on doit avoir
— u cos a = m (U — U') , — m cos ^ = m(V — V) ,
-.ttcos(î = m(W — W).
Les circonstances qui accompagnent le phénomène de la percussion vont nous fournir une quatrième équation. Remarquons que la percussion est due à l'inégalité de vitesse des deux corps dans la direction suivant laquelle ils se choquent, et que les corps adhèrent l'un à l'autre en se comprimant jusqu'à ce que l'égalilé de vitesse dans cette direclion se soit établie; de sorte qu'à la fin de la percussion la vitesse est la même dans les deux corps dans la direction suivant laquelle ils se pressent; or w étant la vitesse angulaire du corps choqué après la percussion, (a, bj c) les coordonnées du point de percussion, w j/o* -*- 6* sera la vitesse du point, vitesse qui est dirigée tangentiellement au cercle qu'il décrit, et on trouve pour cosinus des angles qu'elle forme
avec les axes, , — et zéro; les cosinus de l'angle
....'«ii^> r I 1- .• 1 . . 1 acosS — 6cosa qu elle lormc avec la direction de la percussion est donc >
50â CHAPITRE XVll.
et par conscquent la composante de la vitesse estimée suivant la percussion est' 117 (a cos [3 — 6 cos a). D'un autre côte, les composantes de la vitesse du point matériel choquant étant (U, V, W) après la percussion! les composantes de chacune de ces vitesses dans le sens de la même droite sont
U cos a, V cos j3, VV cos à ; on doit par conséquent avoir
tt? (a cos j3 — 6 cos a) = U cos a -*- V cos (3 -H W cos d.
Cette équation jointe aux trois qui précèdent et à l'équation
ufsin à tu — « ^= -^i — r- >
suffit pour déterminer les valeurs de u,i(?,U,V, W, c'est-à-dire, qu'elle fait connaître le mouvement du corps choqué et du point matériel choquant. En désignant par t/ la vitesse du point matériel choquant, estimée dans le sens de la percussion, c'est-à-dire
U'cos a-H V cos(3 -f- W'cos(î, on trouve
[i/ — û) (a cos (3 — 6 cos a)] 2nir' Imr* -H mfsïn J (a cos (3 — 6 cos a)
ou, en remarquant que la plus courte distance /*de la pcrcus^R à
,, , „ a cos 3 — 6 cos a
1 axe des Z est ^, — r >
sm 0
(v' — (ùfsin à) 2m» * zmr* -4-Wî/'sin'o
dans laquelle v' — oufain $ représente la vitesse relative v, estimée dans
le sens de la percussion, des deux points entre lesquels a lieu la
1 1 1 mvf sin $ compression, de sorte que w — w est égal a = — .^ - *^'
156. Percussion éprouvée par l'axe. — Les valeurs de (P, Q, R) du N» 144 font connaître les percussions qu'éprouve l'axe fixe au moment où les deux corps viennent se choquer; en effet, on a vu que, T étant la force de pression variable qui s'exerce entre ces corps, la composante Z de la force T, parallèle à l'axe de rotation ou à l'axe des Z, est T cos S; la seconde composante normale à l'axe est donc Tsin o et
DYNAMlQUe. 503
les forces X, Y qui entrent dans ces équations sont les deux composantes de cette dernière; or si Ton prend le plan des (YZ) (Og. 105) qui jusqu'ici est resté arbitraire, parallèle à la direction de la force T appliquée en m, la composante T sin d dirigée suivant mu sera parallèle à Taxe des Y, et par conséquent on aura
X=0, Y = Tsin(î; les valeurs de (P, Q, R) deviendront ainsi
Q = — T sin (î + M/^^^ = — T sin lî -4- M/
/ dri\ V dtj
dt* dl
R = — T cos
Si Ton multiplie les deux membres de chaque équation par dt^ et qu'on
intègre ensuite depuis le commencement de la percussion jusqu'à la
fin, en observant que y; et d ne changent pas sensiblement de valeur,
il viendra en représentant par w et o) les vitesses angulaires ou les
dv) valeurs de -p après et avant la percussion, dt
l Prff = — M/(tt;— «)siny;, l Qdt = — s\nS I Trf«-HMf(w7 - w)cosyj,
Jq •'g •'o
\ Rrff= — cosJi Tdt.
On a vu (N<> 155) que i Tdt est la mesuie u de la percussion qu'éprouve
la masse choquée. De même les trois intégrales i P(/(, i Qdty \ Rr/e
sont les mesures des trois percussions éprouvées par l'axe. En les représentant par t*', t*", «'", on trouve
«'= — M/(tt? — o))sin n (1)
p" r^ — . M sin ^-t- M/(ti? — 6i))cosy3 (2)
u == — 1/ coso (o)
Les points de Taxe auxquels sont appliquées ces percussions sont donnés par les équations générales (5) et (6) du N"" i4i, appropriées au cas dont nous nous occupons; car si Ton fait disparaître les dcnorninatcurs P et Q et qu'on remette pour U' et U leur valeur l(Xz — Zx) et 2(Zy — Yz), ou plutôt Xz — Zx et Zy — Yz quand il n'y a qu'une seule percussion, en remarquant que
X = 0, Y=ïsin(î, Z=Tcoso, x = a, y = 6, jc=c,
il vient
rf^eosrî rf^sinr; ^
pP *= — ^— ^»wz,x, r^ Imz.y, -t- aT cos o ,
^ J* sin y] „ c/* cos yj ., , ^ ^ „, . n
çQ = — v-^--2mz,x, H T-j— zmz,y, -+- 6T cos o — cT sin c) ,
j)Vdt = — c/fsinyîyj ^mx,z, — rf f cos y; -y- J Iniy^z, -h a cos (îTrff ,
f/Qd« = rf ( cos n-r:) -»«Jr,z, — ci / sin yj-— j 2^my^z,
-4- 6 cos 5T{/« — c sin STdt , et en intégrant depuis le commencement jusqu'à la fin de la percussion , en remarquant qu'aux deux limites -j- devient o) et w, et que
cl»
sa durée toujours très petite permet de considérer la direction de la force qui naît de la percussion ainsi que le point d'application do celle-ci, comme sensiblement invariables, c'est-à-dire p, q, a, 6, c et S comme constants, il vient
pu' = — [w — w) sin rilmZfX, — {w — cù) cos r^lmZfy, -h va cos 5.... (4) qu" = (w — G)) cos r,^mz^, — {w - &)) sin r,^in',y, -t- M (6 cos 5 — c sin S) (5)
Les équations (i), (2), (5], (4), (5) qui renferment la solution complète de la question^ peuvent être mises sous la forme suivante, en observant que l'x du point où se fait la percussion, c'est-à-dire a , est égal à /* quand on prend le plan des YZ parallèle à la direction de la percussion,
w/sino , M/*/ sin 5
w — - w = -~ — T-j m' ==: — Il — ' — j- . sin /; ,
m" = — M sin d M — rr-^COS •/] j 9 tt"' = — 1/ COS 5.. ..(6)
(sin Yilmz^^-^-cosYilmZfy,) — colSZmr^
^ Ml sin •/!
— [co3 Yilmz/r, — sin rilmZfy^f — {h cot à — c)lnir' ^ 2mr^ — MlfcosYi
Ces équations font connaître toutes les circonstances du mouvement d'un corps ou d*un système de forme invariable traversé par un axe fixe des Z, recevant une percussion d'une intensité représentée par u, dirigée parallèlement au plan des (YZ) à une distance/* de celui-ci, cette direction étant inclinée d'un angle S sur l'axe de rotation et appliquée en un point qui a pour coordonnées a = f, b et c; la percussion ayant lieu au moment où le plan des (X,Z,) qui contient le centre de gravité fait avec le plan des (XZ) un angle yi, M étant la masse du corps, l la distance de son centre de gravité à l'axe, eiw — co la vitesse angulaire engendrée par la percussion, u devra être remplacé par l'une des valeurs trouvées au N° 154 ou N<^ i55.
Si la direction de la percussion est renfermée dans un plan normal à l'axe des Z, et si Ton prend le plan des (XY), arbitraire jusqu'ici, de manière qu'il contienne cette force, l'angle à sera droit, c sera nul et ces équations se réduiront à
uf , Mlf .
Imr* 2fwr*
u'=-ti^i-^cosyîY u'"==0,....(7)
sin ri2mZfX, •+■ cos filmZfyf
M/ sin 7}
— (cos Ttlmz^, — sin rilmz,y^ f l,mr^ — M//" COS /)
i 57. Centre de percussion normale à l'axe fixe, — Proposons -nous de déterminer la direction suivant laquelle le corps doit être choque pour que l'axe n'éprouve aucune percussion, et supposons d'abord la direction du choc renfermée dans le plan XY perpendiculaire à l'axe fixe. 11 faut que les valeurs (7) de u' et de u" soient nulles; mais ces deux conditions ne suffisent pas, puisque u^ et u'', qu'il faut considérer
comme les résultantes des percussions parallèles ft X et Y sur les différents points de l'axe Z, pourraient n'être que les résultantes de deux couples renfermés dans les plans des (YZ) et des (XZ), et dans ce cas Taxe des Z éprouverait une double percussion dans chaque plan coordonné. Pour exprimer que cette circonstance ne se présente pas, il faut (N** 23) égaler h zéro les moments de ces forces u' et u'\ c'est-àdire poser
ce qui conduit aux quatre équations
MlfcosYi sm>,=«0, i 1;;;^=0,
sin Yi2mz^, h- cos y)2m,z,y, = 0,
cos filmzpCf — sin y)2mz,y, == 0.
La première exprime que l'angle y] doit être nul, c'est«&-dire que le plan des (XZ) doit se confondre avec le plan des (X^^) qui contient le centre de gravité G. Il suit de 1& que la direction mQ de la percussion (fig. 106) qui, par hypothèse, est parallèle & l'axe des Y, doit être perpendiculaire au plan passant par Taxe et par le centre de gravité du corps. La seconde équation donne
Elle fixe la distance f q\x âG de la direction de la percussion à Taxe des Z ou au plan des (YZ). Les deux autres équations se réduisent à
^tnZfy, =» 0 et 2mz^, == 0
qui expriment que l'axe de rotation doit être un axe d'inertie principal relativement au point A. Le point G déterminé comme on vient de ic voir, se nomme centre de percussion.
Il résulte de ce qui précède que, pour avoir le centre de percussion d'un corps traversé par un axe fixe, il faut: i" déterminer le point A de l'axe pour lequel celui-ci est axe d'inertie principal, et â** sur la perpendiculaire élevée en ce point dans le plan déterminé par l'axe
et le centre de gravité, prendre une longueur AG égale à -^ —
L'extrémité est le centre de percussion, et la direction du choc doit passer par ce point et être normale au plan.
Si l'on désigne par M&* le moment d'inertie du corps par rapport à un axe passant par le centre de gravité et parallèle à l'axe de rotation, le moment d'inertie 2mr* pourra être mis sous la forme MP -h Mft^, et la distance fd\x centre de percussion h l'axe deviendra
158. Centre de percussion oblique à l'axe fixe. Théorème général sur les centres de percussion, — Le théorème précédent sur le centre de percussion suppose la direction de celle-ci perpendiculaire à l'axe de rotation; mais les équations générales du N" 156 conduisent à un (licorème plus général sur la direction suivant laquelle le corps doit être frappé pour que l'axe fixe n'éprouve aucune percussion. Il est bien entendu que nous ne donnons pas ce nom à la composantic u"' =3 — u cos S qui agît dans le sens de l'axe fixe. En posant les quatre équations qui expriment cette condition, savoir:
on trouve que la seconde conduit à
siny]==»0, ou tî = 0,
ce qui apprend, comme plus haut, que le plan des (X^^) (fig. 107) qui contient le centre de gravité, doit se confondre avec celui des XZ, ou que la direction rs de la percussion doit être renfermée dans un plan str parallèle à YZ, lequel est perpendiculaire au plan qui contient l'axe ûxe et le centre de gravité. La troisième équation donne, comme précédemment,
^ Imr*
et fait connaître la plus courte distance At de la percussion à l'axe. La cinquième donne
zmr^
qui fixe l'inclinaison rst de la percussion sur l'axe des Z ou sur le plan XZ. Enfin la sixième prend la forme suivante, en Icnant compte des trois premières ,
508 CHAPITBE XVll.
Gomme 6 et c sont les coordonnées du point d'application de la percussion, et qu'on peut la concevoir appliquée en un point quelconque de sa direction ^ il est visible que /*, 6 et c sout les trois coordonnées courantes (x, y, z) de la droite qui représente cette direction. Les deux équations
dont le lieu géométrique est une ligne droite, réprésentent donc cette direction. En les mettant sous la forme
Mx, C^ Mx,
elles coïncident avec les équations trouvées au N" i50; ce qui conduit au théorème suivant : si un axe fixe traverse un corps, les plans diamétraux conjugués dans les ellipsoïdes centraux, construits autour des différents points de cet axç , passent tous par une même droite représentant la direction de la percussion qui ne produit aucun effet sur l'axe.
Nous appellerons cette droite ligne des centres de percussion.
Proposons-nous de déterminer le centre de percussion d'un bâton cylindrique et homogène OB(fig. 108), tournant dans un plan vertical autour d'un axe de rotation horizontal placé à l'extrémité 0 du cylindre. Gomme il résulte visiblement de la forme symétrique du cylindre autour de OB, que l'axe de rotation est un axe d'inertie principal relativement au point d'intersection 0, il est visible que le centre de percussion G devra être situé dans la hauteur OB du cylindre,
h une distance de l'extrémité 0 , représentée par / + -j > / étant la
distance 00= — =»- du centre de gravité à l'axe de rotation.
On trouve pour le moment d'inertie MA:' du cylindre relativement à
une droite passant par le centre de gravité G du cylindre et parallèle
& l'axe de rotation, M-t; on aura donc <:*== --, et il vient pour la
distance OG,
Le centre de percussion G est ici le point où il faut frapper un bâton cylindrique OB pour que la main qui le tient par rextrémité 0 n'éprouve aucun choc.
159. Mouvement d'un corps pesant autour d*un axe horizontal. — Reprenons les équations du N** 144, et proposons-nous de déterminer le mouvement que prend un corps pesant autour d'un axe fixe supposé horizontal. On sait que l'on a en général
dt^ Imr^
U" étant la somme des moments de toutes les forces motrices par rapport à l'axe Z de rotation. Il est visible que, les forces se réduisant h la pesanteur, celle qui agit sur un point matériel m est mgy et si l'on prend le plan des (XZ) horizontal, les coordonnées du point m étant (x, y y z) y le moment de la force mg par rapport au plan des YZ sera fngx; on a donc
d^y] I,mgx glmx 'dT^^îni^'^ïmr^'
ou, si le corps est continu et se compose d'un nombre infini d'éléments juxtaposés,
d'yî gfxdm jiMX g\
W ^ frHm ^ f r*dm^ l* -^ k'''
en désignant par M la masse du corps, par X l'abscisse ZP (fig. i09) de son centre de gravité G, par M&* le moment d'inertie par rapport n une droite passant par le centre de gravité parallèlement à l'axe de rotation, et par / la distance GZ du centre de gravité à l'axe. Gomme l'angle GZX est celui qui a été désigné par /], le triangle rectangle GZP donne
X = / cos y] ;
on a donc pour équation différentielle du mouvement du corps,
d^n gl
En multipliant par 2dyi et intégrant, il vient
« igl
310 CHAPITRE XVIK
et en déterminant la constante par la condition que la vitesse angu-
lairc-p soit nulle lorsque yi devient a, at
Cette équation différentielle peut être ramenée à une forme connue, en remarquant que, comme un point quelconque du corps devant décrire un arc de cercle ayant son centre dans Taxe de rotation , si Ton considère un point M placé dans la perpendiculaire abaissée du centre de gravité G sur Taxe^ à une distance MZ==/' de l'axe, et qu*on représente par z la hauteur verticale kq du point M au-dessus du point A à une époque quelconque, et par h la hauteur AG dans la position initiale B de M, ou lorsque Tangle BZX était a, on a
Zo /' — z . ZC /'-A
""^=ZM=""7-' ^^"^°ZB=T-'
d'où l'on tire par la différcntiation ,
, — dz — dz — dz
et en substituant ces valeurs dans l'équation dilTércntieHc du mouvement, celle'ci prend la forme
dt = ±\/
dz
^/Wr^*^fL-
qui revient à dt
V igl
dz
i/ÂrrPy/*"'^
160. Oscillations d'un pendule composé. Centre d'oscillation. Propriété de ce point. — Au lieu d'intégrer cette différentielle, comparons-la à la suivante, trouvée auN°131, pour le mouvement d'un pendule simple d'une longueur r, savoir :
dz dt
On voit que le mouvement du point M (fig. i09) de notre corps sera identiquement le même que celui de rextrémité du pendule simple de longueur r, si Ton a
d'où il résulte, que dans vn corps pesant traversé par un axe fixe^ il existe dans la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur Vaxe
un certain point M distant de l'axe de — -. — » dont le mouvement est
identiquement le même que celui que prendrait un pendule simple
d'ti/ie longueur égale d — -. — 9 c'est-&«dire que le point M du corps
oscille de la même manière que si ce point existait seul, et que la masse du corps y fût concentrée. Puisque la durée des oscillations très petites
d'un pendule simple d'une longueur r est ^\/ -> la durée des oscillations du corps autour de l'axe est égale à
Le point M qu'on vient de déterminer se nomme centre d^oscillation du corps, et le corps oscillant autour de l'axe fixe prend le nom de pendule composé ou pendule physique. On voit que le centre d'oscillation d'un pendule composé est le point dans lequel on peut concevoir concentrée la masse du corps oscillant, sans que la durée des oscillations soit altérée. Le pied Z de la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur l'axe se nomme centre de suspension.
Le centre d'oscillation jouit de cette propriété que, si l'on fait osciller le pendule autour d'une droite parallèle à l'axe de suspension et passant par le centre d'oscillation, la durée des oscillations du nouveau pendule sera la même que celle du premier, ou en d'autres termes, le centre d'oscillalion du nouveau pendule coïncidera avec le centre de suspension du premier; en effet si A (fig. iiO) est le centre de suspension, G le centre de gravité et A' le centre d'oscillation, on a vu qu'en désignant par l la distance AG et par M/;* le moment d'inertie du corps par rapport ft une parallèle à l'axe, passant par le
512 CHAPIIRF. XVII.
centre de gravité, la distance AA' est représentée par / h- -r-i c'esl-à-
dire que le centre d'oscillation est placé au-delà du centre de gravité, & une distance égale & k^ divisé par /, ou par la distance du centre de gravité au centre de suspension; or si Ton prend le point A' pour centre de suspension, le centre d'oscillation correspondant sera aussi placé au-delà du centre de gravité, à une distance exprimée
par k^ divisé par GA' ou -y; cette distance est donc égale à I,
c'est-à-dire qu'on retombe sur le point A. Cette propriété s'énonce en disant que, les centres de suspension et d'oscillation sont réciproques. Il est à remarquer que la distance du centre d'oscillation à l'axe de suspension est la même que la distance du centre de percussion à l'axe fixe ; mais cette analogie est purement accidentelle et la réciprocité n'existe pas, en général, pour une percussion. Puisque la durée d'une oscillation d'un pendule est donnée par
— 9 il est visible que les oscillations d'un même pen-
dule ont la même durée pour tous les axes de suspension parallèles entre eux et également distants du centre de gravité. Si l'on cherche parmi ces distances, celle qui rend minimum la durée des oscillations,
ce qui revient à déterminer la valeur de / qui rend — - — le plus
petit possible, on trouve l== k elh durée minimum est
TT % / Il
suit de là que parmi tous les axes traversant un corps, celui pour lequel la durée des oscillations est la moindre possible est parallèle à l'axe du plus petit moment d'inertie du centre de gravité, et distant de ce
point d'une quantité égale à A:, cest'à-dire%/ ■— ou \/
A étant ce plus petit moment d'inertie et M la masse du corps. Comme les moments d'inertie principaux sont des maxima ou minima pour les droites qui passent par un même point, il est visible que A n'est autre chose que le plus petit des trois moments d'inertie principaux du centre de gravité.
i6i. Moments d'inertie déterminés expérimentalement. Application au pendule balistique et au mouvement du treuil. — On peut déduire expérimentalement la valeur du moment d'inertie d'un corps
par rapport à ud axe, de la durée des. oscillations que fait ce corps autour de cet axe; car si T est cette durée, on aura
et en représentant par M la masse du corps et par P son poids ,
