MP -*- MA« = — P
dans laquelle le premier membre est le moment d'inertie cherché et l la distance du centre de gravité & l'axe de suspension , distance qu'il est facile de déterminer par expérience.
Ce procédé est en défaut lorsque l'axe de suspension contient le centre de gravité, parce que si / est nul, r est infini et les oscillations n'auront pas lieu. Il faut, dans ce cas, observer le moment d'inertie pour un axe parallèle au premier et distant d'une quantité connue ( et calculer ensuite le moment d'inertie cherché par la formule
Mfc«=i^P-MP = (~— -)P/.
Appliquons à la théorie du pendule balistique les principes qu'on vient d'exposer. On donne le nom de pendule balistique ou pendule de Robyns h un appareil composé d'une masse considérable en bois ABCD (fig. 111), ayant la forme d'un parallélipipède cerclé en fer en £F et HK et lié par des barres de fer EO et KO à un axe horizontal projeté en 0^ et autour duquel ce corps peut osciller comme un pendule. Cet appareil en usage dans l'artillerie, sert à mesurer la vitesse de projection d'un boulet au moyen de l'étendue des oscillations qu'il fait faire au pendule , lorsqu'il est lancé dans le bloc de bois suivant une direction LM parallèle à la longueur BD du massif. Soient m la masse du boulet, v sa vitesse de projection, w la vitesse angulaire que prend le pendule immédiatement après la percussion, M&* le moment d'inertie du pendule, y compris le boulet m, relativement à un axe parallèle à l'axe de suspension 0 passant par le centre de gravité G, / la distance GO du centre de gravité à Taxe, fia distance ON de la direction du choc à l'axe. Comme le boulet, animé de la quantité de mouvement mv, reste attaché au pendule, on a d'après le NM 55,
mvf
M {P -4- it«) 40
Cette vitesse angulaire n'est autre chose que la vitesse d*un poiol du corps place à Tunilé de distance de l'axe; la vitesse d*un point
A* placé à la distance / + -j » et par conséquent du centre d'oscillation, est donc
/, k*\ mvf
On sait que ce point oscille de la même manière qu'un pendule mathématique d'une longueur égale à l-^-r) on connaîtra donc toutes les
circonstances du mouvement du pendule balistique, en déterminant les
oscillations que prend un pendule simple d'une longueur OH = 2 h— y- 9
dont le point matériel H aurait reçu, étant immobile, une vitesse
initiale—-/-* Or on a vu dans la théorie du mouvement d'un point M»
matériel pesant sur une courbe, que cette vitesse initiale t/ du point H
(fig. 112) le fait monter le long du cercle HH' & une hauteur HL
égale à 5- ou — I — y ) * ®' si l'on représente par a l'angle HOH' dont le pendule s'écarte de la verticale, on aura
HL = HO — OL = HO — OH' cos a = ( / + y\l — cos a),
[ et par suite ,
d'où
V =— |/29/(/* -*- *«) (1 — cos a).
Cette équation fait connaître la vitesse v du boulet; car dans le second membre, tous les facteurs peuvent être déterminés d'avance ou observés; en effet i"* les masses M et m s'obtiennent en divisant par (7 le poids du pendule balistique, y compris le boulet et le poids du boulet seul; â*" la valeur de fou ON peut s'observer sur le pendule au moyen du trou qu'y a fait le boulet; S"" la valeur de l ou la distance OG du centre de gravité à l'axe, s'observe directement ou peut être déter-
DYNAMIQUE. ù\^
miDée par expérience; la valeur de é* ou plutôt celle de M(/* -t- fc*) qui est le moment d'inertie du pendule, y compris le boulet, peut être déterminée cotame on vient de le voir; et enfin 5% l'angle a ou l'angle dont le pendule est écarté de la position d'équilibre, peut s'observer directement de plusieurs manières.
Si le pendule pénétré par le boulet a une forme symétrique, Taxe des Z est axe principal d'inertie par rapport au centre de suspension, les intégrales 2mx^z, et 2my,z, sont donc nulles^ et les formules (6) du N"* 156 apprennent que l'axe de suspension n'éprouve qu'une seule percussion qui est borizontale et égale à
mv
appliquée en un point dont la distance au centre de suspension est
valeur dans laquelle c est la distance de la direction LM de la percussion & la verticale passant par le centre de gravité.
Nous terminerons ce chapitre en calculant le mouvement que prend un treuil portant deux poids suspendus aux extrémités de deux cordons inextensibles enroulés sur la roue et sur l'arbre, en tenant compte de l'inertie de la matière qui compose le treuil. On a vu que la loi du mouvement de rotation d'un corps pesant autour d'un axe horizontal est donnée par l'équation
di* Imr^
dans laquelle le numérateur est la somme des moments de toutes les forces motrices par rapport à l'axe, et le dénominateur la somme des moments d'inertie de toutes les masses en mouvement autour de Taxe; or, si l'on suppose le treuil symétrique autour de l'axe, la somme des moments des poids de toutes ses parties sera nulle et il restera pour U" les moments de P et de Q, c'est-à-dire Pp — Qqr, p ei q étant les rayons OA et OB (fig. 115). Quant à 2mr^^ cette somme se compose du moment d'inertie du treuil, que nous désignerons par M&^, et des
moments d'inertie de P et de Q qui sont~p^ et — 9^, parce que l'on
peut, sans rien changer, concevoir ces poids comme concentrés aux points A et B; Téquation devient donc
d^n Pp — Qy
d'où
dn^ Vp^Qq ^ Pp — Qg ^'
^^dt flfMA:«H-Pp»-+-Q7*^' ^ M3/c«-^Pp«+-Qg*^'2*
On détermine les pressions que supportent à chaque instant les deux tourillons, en calculant par les formules du N"* 144 les pressions que supporte l'axe fixe, ainsi que leurs points d'application, et en décomposant ensuite chacune de ces deux pressions en deux autres appliquées aux tourillons.
Si l'on tenait compte du poids et de l'inertie des deux cordons, il faudrait aux poids P et Q du numérateur joindre les poids variables de ces deux cordons, lesquels sont représentés par gm {l -i- pri) et gn [P — 9>i), m et n étant les masses des unités de longueur des deux cordons et /, V leurs longueurs initiales. Quant au moment d'inertie, comme les poids des deux cordons peuvent être considérés comme concentrés en totalité en A et B, il est visible qu'en représentant par L et L' leurs longueurs totales, y compris la partie enroulée sur l'arbre et la roue, le moment d'inertie sera rnlp^-^nUq^y qu'il faudra ajouter au dénominateur.
Mouvement d*un corps solide autour d*uii point fixe. Axe instantané de rotation.
— Vitesse angulaire. Décomposition d*une vitesse angulaire. Théorie du pendule de Foucault. — Préliminaires de la théorie du mouvement d^un corps solide autour d*un point fixe. — Équations générales du mouvement d*un corps solide autour d*un point fixe. — Mouvement d'un corps qui se meut autour d*un point fixe sans forces motrices. — Oscillations autour de Tun des axes d^nertie principaux. — Conditions pour que Taxe instantané ne change pas de place dans, un corps qui se meut sans forces motrices. — Stabilité des mouvements de rotation autour des axes principaux. Mouvement d*un corps autour d*un point fixe, provenant d^une percussion. — Théorème sur Taxe instantané de rotation.
— Oscillations coniques d*un corps pesant. — Coordonnées polaires. Formules d^Eulcr.Cas où le corps se meut sans forces motrices. — Applications diverses.
— Mouvement d*un corps solide libre. — Mouvement d^un corps libre par suite d'une percussion. — Mesure d*une percussion contre un corps libre. — Mesure d^une percussion contre un corps qui a un point fixe. — Axe spontané de rotation. — Axe spontané à la suite d'une percussion. — Théorèmes sur la force vive d'un corps solide en mouvement.
162. Mouvement d'vn corps solide autour d*un point fixe. Axe tnstantané de rotation. — Un corps solide ou un système matériel de forme invariable dans lequel un point est rendu fixe , étant mis en mouvement d'une manière quelconque, prend à chaque instant une vitesse de rotation autour d'une certaine droite, passant par le point fixe et changeant à chaque instant de position dans le corps et dans l'espace. Cette proposition qui, du reste, est presqu'évidente par ellemême, se démontre complètement par les considérations suivantes : un corps de forme invariable et entièrement libre, est donné complè-
518 CHAPITRE XVIll.
tement de position lorsqu'on fixe le lieu de trois de ses points non situés en ligne droite. Il suit de 1& que si ces trois points occupent successivement différentes positions, le corps prendra lui-même des positions déterminées correspondantes, ou en d'autres termes, à un mode déterminé de déplacement des trois points correspond un mode de déplacement unique et déterminé du corps 8,
Si le corps a un point fixe o, à un certain mode de déplacement de deux de ses points, ne peut donc correspondre qu'un seul mode de déplacement du corps entier, et réciproquement. Gela posé^ supposons que par suite d'un déplacement quelconque, deux points m et m' se meuvent simultanément dans des directions ms et mV. Élevons sur ces droites en m et m' deux plans normaux, ceux-ci viendront passer par le point fixe o, car les différents points du corps ne pouvant sortir des surfaces sphériques qui ont pour rayons les droites om et om!y il est visible que les droites ms et m's' sont des tangentes & des courbes tracées sur ces surfaces et par conséquent des perpendiculaires aux rayons, lesquels sont donc renfermés dans les plans normaux dont rintersection ne peut être qu'une droite aaf passant par le point fixe. Or si l'on imprime au corps un petit mouvement de rotation autour de aa\ les différents points de chacun de ces deux plans décriront de petits arcs perpendiculaires à ces plans ; d'où il siiit que ce mode de déplacement du corps imprime aux deux points m et m' leurs déplacements effectifs suivant ms et mV, et comme le mode de déplacement du corps est unique d'après ce qu'on vient de voir, le mouvement de rotation autour de la droite est celui qui a effectivement eu lieu. Cette droite aa^ a été nommée axe instantané de rotation,
165. Vitesse angulaire. Décomposition d'une vitesse angulaire. Théorie du pendule de Foucault. — La vitesse de rotation du corps autour de l'axe instantané est sa vitesse angulaire. Nous avons déjà donné ce nom à la vitesse qui anime un point du corps placé h Tunité de distance de l'axe de rotation. II est visible que, pour un même corps, les vitesses effectives des différents points sont proportionnelles aux distances de ces points à l'axe instantané ; d'où il suit que pour une vitesse angulaire u;, la vitesse effective d'un point distant de fde l'axe est fw.
Le mouvement de rotation d'un corps retenu par un point fixe A (fig. 114) autour d'un axe instantané ÂB^ peut être remplacé par des mouvements de rotation simultanés autour d'autant de droites que l'on voudra, passant par le point A et fixes dans le corps, c'est-à-dire
qu'une vitesse angulaire autour d'un axe AB peut être décomposée en plusieurs autres vitesses angulaires autour d*axes donnés dans le corps, et on reconnaît une analogie parfaite entre les lois de cette décoropo* sitîon et celles de la décomposition des forces ou des vitesses; ainsi, si l'on mène par le point A trois axes rectangulaires des (X, Y,Z) fixes dans le corps et mobiles avec lui, et qu'on désigne par (a, |3, y) les angles que forme AB avec eux, une vitesse angulaire n? autour de cette dernière pourra être remplacée par trois vitesses angulaires simultanées autour de (X, Y, Z), égales respectivement à u^cosa, w cos |3, w cos y; en effet, si m est un point du corps distant de Afi d'une quantité /" et ayant pour coordonnées (x, y, 2), une vitesse angulaire w autour de AB communiquera au point m une vitesse effec* tive fw évidemment perpendiculaire au plan passant par AB et m; les trois composantes de cette vitesse dans le sens des axes sont donc fw cos a, fw cos 6, fw cos c , en représentant par (a, 6, c) les angles formés par le plan ABm avec les trois plans coordonnés ; or l'équation de ce plan est de la forme
(z cos j3 — y cos y) x'-t- {x cos y — z cos a) j/'-*- (y cos a — i cos j3) z' = 0 ,
(ixfyy^ynf) étant ses coordonnées courantes; et l'on trouve pour la distance /"et pour les angles (a, 6, c) les valeurs suivantes :
f s» |/(a cos (3 — y cos y)* -+- (x cos y — z cos a)* -+- (y cos a — x cos j3)' ,
z cos 6 — V cos y , X cos y — 2 cos a cosa=: f ^' cos 6= '—z >
V cos a — X cos 3 cosc =^ j !-;
les trois composantes de la vitesse du point m, suivant (X, Y, Z), résultant d'une rotation autour de l'axe AB, sont donc
u^(«cos(3 — y cos y), u;(xcosy— zcosa), fi?(y cosa — xcos(3)....(i)
Imprimons maintenant au même corps trois vitesses angulaires simultanées (p, 9, r) autour de (X, Y, Z). Pour avoir les vitesses que chaque rotation communiquera à m parallèlement à (X, Y, Z), il suffit de faire successivement dans ces expressions,
« = 0, 13=^, y = ^, w==p, « = -, (3 = 0, y==^, tc?=-(jf,
ce qui fait coïncider successivement AB avec (X, Y, Z) ; on est ainsi conduit aux expressions suivantes des trois composantes :
0, — pz, + py,
qz, 0, — qx (2)
— ryy rxy 0.
En réunissant les composantes suivant un même axe, provenant des trois rotations, on a pour les vitesses totales du point m parallèles k (X, Y, Z), et dues aux trois rotations ,
qz^rxj, rx—pzy py — qx.
Si l'on compare ces valeurs à celles (1) que nous avons trouvées plus haut pour les vitesses dues à une vitesse angulaire unique u? autour de AB, on trouve que les vitesses du point arbitraire m ou (x, y,z] sont identiquement les mêmes, soit que Ton donne au corps une vitesse angulaire unique w autour de AB, soit qu*on lui donne trois vitesses angulaires (p, f , r) autour de (X, Y, Z), pouvu que l'on ait
pz=awcosay qr = u?cos(3, r = u;cosy (3)
ce qui vérifie la proposition énoncée plus haut.
Ces vitesses angulaires (p, f, r) sont dites les composantes de w. Connaissant (p, f , r), on en déduit la valeur de la vitesse angulaire résultante ti;, puisque l'on a
p* H- (jf* -*- r' = u;* (cos^a -4- cos'^ h- cos'y) = tu*.
On connaîtra aussi les angles (a, j3, y) que forme Taxe instantané avec les axes coordonnés, car on a, à cause de (5),
cosa= — ' =^ > cospî=— j cosy = — •
Les vitesses angulaires (p, 9, r) autour des trois axes sont positives ou négatives suivant le sens du mouvement de rotation. On convient, comme on l'a fait en statique pour les couples, de les prendre positivement ou négativement selon que l'œil placé à l'origine devra être dirigé du côté de l'axe positif ou du côté négatif, pour voir tourner le corps de gauche à droite, c'est-à-dire dans le sens XY, YZ, ZX. Pour
DYNANiQOC. 521
ce qui est des angles (a, |3, y)y ils se mesurent entre (X, Y, Z) prolongés du côte positif et Taxe de rotation prolongé du côté d'où Ton voit tourner le corps de gauche à droite. La vitesse angulaire w doit être prise sans signe.
Il résulte de ce qui précède que, si Ton communique à un corps ayant un point fixe trois vitesses angulaires simultanées (p, f , r) autour de trois axes rectangulaires attaches au corps, ou une vitesse angulaire w autour d'une droite faisant avec les axes des angles (a, (3, y)^ un point ayant pour coordonnées (x, y, z) prendra une vitesse dont les composantes parallèles aux axes seront :
qz — ry, rx — pz, py — qx
dans le premier cas, et
V (z cos (3 — y cos y), u? (x cos y — z cos a), w {y cos a — x cos j3)
dans le second.
Quand les axes rectangulaires sont fixes dans l'espace, et que par
conséquent le corps est mobile relativement à eux, ces binômes ne
sont plus les composantes de la vitesse du point (x, y, s}, composantes
dx dy dz que l'on sait être alors représentées par— > — » y
Il résulte du théorème sur la décomposition d'une vitesse angulaire que la vitesse de rotation cd de la terre autour de la ligne des pôles PP' (fig. 92) peut être décomposée en deux rotations, l'une autour d'une verticale OAD au point  de la surface de la terre, et l'autre autour d'une perpendiculaire GH à la verticale OA. La composante autour de OA est &) cos AOB ou o) cos 6, 6 étant la latitude du point A. Il suit de I^ qu'une personne immobile à la surface de la terre en A tourne autour de sa verticale avec une vitesse égale k (ù cos 9, et il en est de même de la surface de la terre autour de ce point. Cette remarque donne l'explication d'une expérience curieuse faite par M. Foucault et dont on s'est beaucoup occupé dans ces derniers temps. Si au point A on fait osciller un pendule, son plan d'oscillation restera toujours le même en vertu de l'ini^lie. Cependant le sol tourne autour de A avec une vitesse ci)cos6; le plan d'oscillation semblera donc avoir en sens inverse une rotation d'une vitesse cocos 9, comme l'expérience directe l'a confirmé. Quant à la rotation autour de GH, comme elle communique au pendule et au point A de la terre une vitesse d'entraînement égale, celle-ci sera sans influence sur le mouvement
relatif du pendule et de la terre.
164. Préliminaires de la théorie du mouvement d'un corps autour d'un point, — Si Ton fait passer par le point 6xc deux systèmes d'a&es rectangulaires, l'un (X, Y, Z), fixe dans le corps et mobile avec lui, et Tautre (X', Y', Z') fixe dans Tespace, il est facile de déterminer les circonstances du mouvement d'un point quelconque du corps relativement à ces derniers axes^ connaissant les vitesses de rotation du corps autour des premiers et les inclinaisons relatives des deux systèmes d'axes; en effet, en représentant par {a,b,c)y (a', 6', (/), (o", 6", c") les cosinus des angles formés par chacun des axes (X', Y', Z') avec (X, Y, Z), et par (x, y, z) et (a;', y', c') les coordonnées d'un même point dans les deux systèmes, on sait que les vitesses dans le sens des axes
fixes sont données par-r- » -—^ » -7-9 et que les vitesses dans le seos
^ dt dt dt ^
des axes mobiles (X, Y, Z) sont représentées par qz — ry, rx — pzy
py — qx; en décomposant donc chacune de ces dernières en trois
autres dirigées suivant (X', Y', Z') et réunissant les trois groupes de
composantes, on trouve pour les vitesses suivant ces nouveaux axes,
, . .. , , . do/ du' dzf
c cst-à-dirc pour les valeurs de -r- > -r- > -r » * dt dt dt
doc'
— = a (qz — ry) 4- 6 {rx - pz) + c (py - qx),
dy'
-ji = a' {qz - ry) + 6' [rx-^pz) -^ cf {py — qx) (4)
dz^
— = o" {qz — ry) -*- 6" (rx — pz) -h c" (py — qx).
Outre les relations suivantes entre les cosinus (a, 6, c), {a\ 6', c'), etc. aîH-a'*+o"«= 1, «2^6»+ c«= i, ao'-+- 65' -4- €(/== 0, ab -i-o'6'-f-o"6"=0, fcî ^ 6'«-4- 6"«= 1 , a'*' -\' 6'« H- c'« = i , ao" -^ 66" h- cc''== 0, ac -+-aV-4- o"c"=0. . ..(2) ci ^ c'* + c"* = i, o"*-^ 5"«-^ c"«= 1 , oV'h-6'6"-^ç'c"«0, 6c4-6V4-6V--==0,
qui résultent de ce que les deux systèmes d'axes sont rectangulaires, et comme on l'a vu en géométrie analytique, se réduisent à six équations distinctes, il en existe encore d'autres entre les mêmes quantités et les vitesses angulaires (p, 9, r), résultant de ce que l'un des systèmes est attaché au corps et l'autre immobile dans l'espace; on sait, en effet, qu'il existe entre les coordonnées (x, y, z) et (x', y', z')
d'un même poiat dans les deux systèmes » les relations
a/ = ax -*- 6y -4- cz,
t/'= o'x -4- Vy -4- dz (3)
Comme le corps se meut autour de l'origine, les quantités (x', y, z'),
(a, 6, c), (a', // ) changent avec le temps, tandis que (x, y, z) qui se
rapportent à des axes fixes dans le corps, restent invariables; on a donc, en dérivant par rapport à f ,
dx* da db de
dW da' db' de dt dt '' dt dt
dxf da" db" de"
dï-^'-dT-^y-dt-^-'-dï'
et par conséquent, en égalant ces valeurs de -7—9 -^9 — à celles trouvées plus haut, ordonnées suivant les facteurs x, y, z,
X— -f- y -♦- z— = x{6V - cfq) -t- y(c^p — aV) -»- z{a'q — 6», lia" db" de"
='-â^-*-y-jt-*-''-jr="'i^"^—'^'(i)-^yi<^'p—'^'r)-*-'^i'*"9—^'p)'
Comme ces relations existent quel que soit le point (x, y, z], et par conséquent indépendamment de toute valeur attribuée à ces coordonnées, leurs coefficients doivent être égaux dans les deux membres, ce qui conduit à ces nouvelles relations
da , d6 de ,
-^br-cq, ^^ = cp-ar, j^^aq-bp,
î^=6'r-c'7, ^=e'p-a'r, ^^^afq-b'p (4)
da" dh" dt^'
324 cHAPiTRe XVIII.
d'jf dt/ rfs' Eq dérivant les valeurs (1) de-r-» -^> -^^ el faisant usace des
ai ai ai ^
relations précédentes, on trouve aussi
fl? V l £ ^^ ^^ , )
Sdq , dp )
"^~ ^ "^ p (or — cp) + 9 (6r — cç) ,
d*y' d*zf
Il esta observer qu'il résulte de la symétrie des équations dont nous avons fait usage , que les valeurs de ces deux dernières dérivées
doivent pouvoir se déduire de celle de -j-^ au moyen d'une permuia-
lion tournante y c'est-à-dire en faisant avancer successivement d'un
rang chaque lettre^ dans l'ordre pqr pqr pq,.,, etc., xyz xyzx,.. etc.,
aVd'aVd'aV.... etc., hea%da"b ca'6'W6"c etc.
Ces trois dernières équations donnent les valeurs des forces d'inertie
du point (a/, t/', x!) dans le sens des axes fixes (X', Y', Z') et pour l'unité
de masse. Pour avoir les forces d'inertie au même point dans le sens
rfV rf*v' d^^ des axes mobiles (X, Y, Z), il suffira de décomposer -r-r-' — t^ > — r-i
^ ^ ^ di^ dl^ dt*
en trois autres dirigées suivant les axes (X, Y, Z) et de réunir celles-ci
trois à trois. On trouve ainsi, en représentant par D, E, F ces trois
nouvelles forces ,
rfV ,dW ,ÂH'
E==6^-.6'^y.6''îg\ (5)
d(* c/(* dl^
rf(* dl* dt'
DYNAMIQUE. 3:2d
et, en remplaçant ces dérivées par leur valeur,
D = «^ — y^ -4- qf(yp ~ ar^) + r («p - xr) ,
E = a:~ — z •j^-^r[zq-yr) -^ p(xqf — yp;,....(6)
F = y-^ — a;^ -^ p[xr — zp] -+- 7 [yr >- xç).
165. Equations générales du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe. — Ces formules étant établies, désignons par (X,Y, Z) les composantes de la force accélératrice qui agit sur Télément dm placé en (x, y, z), et par (n, n', n") les pressions qu'éprouve le point flxc dans le sens des axes. Gomme il y a équilibre entre les forces motrices, les forces de réaction du point fixe — n, — n', — n" et les forces d'inertie DdtTi, Edm, Frfm, on a les six équations d'équilibre
iXdm — 2Drfm ~ n = 0, lYdm — lEdm — n' = 0 ,
iZdm — iFdm — n" = 0 , Z (yP — zE)dm — 2 (yZ — xY) dm = 0,
2 (zD — a:F) rfm — 2 (zX ~ xZ)rfm = 0 (7)
1 (xE — y D) dm — 1 (xY — yXfdm == 0.
Si l'on remplace (D, E, F) par leur valeur (6) du numéro précédent,
en remarquant que p, qr, r, -T- restent les mêmes pendant un
même instant pour tous les points du corps, et sont par conséquent
des facteurs communs sous les signes sommalolres, la quatrième
éc|uation devient
— 2 (y* -4- 2«) dm — -~ Ixydm — -7- Ixzdm -*- prlxydm
-^ rql (y* — z*) dm -+- {r* — 9^] lyzdm = 2 (yZ ~ zY) dm . On aura de même
^2 (z* + x«) dm — etc. = 2 («X — xZ) dm , J- 1 (x2 -4- y2) dm - etc. = 2 (xY — yX) r/m,
326 CHAPITRE XVIU.
CCS deux deroières équations se déduisant de la précédente au moyen d*une permutation tournante.
Jusqu'ici le choix des axes (X, Y, Z) est resté entièrement arbitraire; on peut donc les faire coïncider avec les trois axes d'inertie principaux du corps pour le point flxc. Alors Ijczdm, 2yz(im, 2xydm sont nuls, et en désignant par (A, B^ G) les trois moments d^inertie principaux, c'est-à-dire l{y* -¥• 2*)rfm, 2(z' -*- x*)dm, 2(x' -*- y*) dm, les trois équations deviennent
A ^ — {B - C) ry = 2(yZ — zY) dm,
ut
B^ — (C - A)pr = l{zX'-xZ)dm (8)
C^ — (A — B)?p = 2(xY— yX)dpn.
Ces trois équations différentielles jointes aux neuf équations (4) , donnent la solution complète du problème ; car les valeurs de p, 9, r en fonction du temps, tirées de ces trois équations^ font connaître à chaque instant (N** 165) (a, (3, y), c'est-à-dire la position de l'axe instantané relativement aux trois axes d'inertie principaux du corps, et les valeurs de (a, 6, c), (o', 6', (/), (o", 6", c"), tirées de (4), donnent u chaque instant la position de ces axes principaux relativement à trois axes fixes et donnés de position. Quant aux pressions (n, n', n"). que supporte le point fixe, on les déduit des trois premières équations (7). En y remplaçant (D, E, F) par leur valeur, on trouve
II =lKJm — ^ Izdm -¥■ — - lydm —pqlydm — prlzdm 4- (r* -*- q*)lxdm ,
n' = etc., n" = elc.,
ou bien, en désignant par (x,, y,, z,) les coordonnées du centre de gravité relativement aux axes d'inertie principaux et en remarquant que Izdtn, Ixdm^ ^ydm sont égaux à Mz^, Mx^, My^,
n = 2Xdm — M U?«, — ^y, + p?y, + prz,— (r* + q*)x, ,
n'=«:^elc., n" = etc.,
dans lesquelles on remplacera Pj^^^r, -~» -^j 1~ ^^^ '^"^ valeur
trouvée comme on vient de le dire.
i66. Mouvement d'un corps qui se meut autour d'un point fixe sans forces motrices. — Examinons d*abord le cas où le corps se meut sans forces motrices, et celui ou le corps étant pesant, le centre de gravité se confond avec le point fixe. Dans Tune et l'autre hypothèse, les seconds membres des trois équations du mouvement sont nuls et il vient
rfp B — C c/o C — A rfr A — B
Aucune de ces équations n*cst intégrabic immédiatement; mais si on les multiplie respectivement par SAp, 2B9, 2Cr, puis par 2A^/;, 2B^(]r, 2GV et qu'on. les ajoute membre à membre, on trouve :
2Aprfp -*- 2Bqdq -+- 2Crrfr = 0, 2A«pÉ/p -^ 2B*5frfqf -+- 2C'rrfr = 0,
qui conduisent aux deux intégrales
A/}« 4- B(/« -t- Cr« = D« )
Ay-4-BV-^cv*-=D'*) ^ ^
D' et D'* étant deux constantes arbitraires visiblement positives. La troisième intégrale des trois équations différentielles (9) s'obtient en remplaçant <jf et r par leur valeur tirée de (iO), dansla première des trois équations différentielles (9), ce qui conduit h
(/D'* — CD* — A (A — C) p* |/BD« — D'« -*- a (A — B) p« Une quadrature donnera la valeur de p en fonction de ( et en substituant dans (iO), on connaîtra f,r et par suite les cosinus — — »
|/p* -*- qf* -♦- r'
j des angles que fait à chaque instant
l/p' -H gi* + r* j/p* -*- q^ -+ r'
l'axe instantané avec les trois axes principaux, ainsi que la vitesse de
rotation |/p* -f- (/* -♦- r'. On substituera ensuite les valeurs de p, <jf, r en fonction de i dans les équations (4) du N° iG4 qui formeront un
3i8 CIUPITRE XVIIl.
système de neuf équations différentielles linéaires simultanées entre les variables (a, b, c), (a', 6', </), (a", 6", c") et t, et qui serviront à fixer à chaque instant la position des axes d'inertie principaux relativement aux axes fixes. Trois de ces intégrales s'obtiennent immédiatement; car si Ton multiplie les trois équations (9, respectivementpar Aa,Bfr, Ce, pois par \a', B6', Ccf et Aa'', B6", Caf' et qu'on les ajoute ensuite en tenant compte des équations (4), on trouve en intégrant :
Aap -H Bbq ■+- Ccr == /,
Ao'p -*- Wq -4- Ccfr = V (i2)
ka!'p -f- U"q -4- Cc"r = T,
dont Tune est comprise dans les deux autres, comme on peut s'en assurer en les élevant au carré et additionnant, en tenant compte de la seconde des équations (10) et des équations (2). On reconnaît ainsi qu'il doit exister entre les constantes arbitraires l^l\l'\ la relation
Deux de ces constantes /, /', L" sont donc arbitraires et la troisième est donnée par cette dernière équation. Quant aux autres équations différentielles (4) qu'il faudrait intégrer, on verra plus loin (N** i73) qu'on peut par une transformation de coordonnées, séparer les variables cl les changer en différentielles elliptiques.
En multipliant les équations (12) respectivement par {a^a\a") et additionnant ensuite en tenant compte des relations (2) et répétant les mêmes calculs après avoir multiplié par (b, 6', 6"), puis par (c, (/, c"), elles seront remplacées par les suivantes :
Ap = /a -4- Va! h- /V, B7 = /6 -4- VV + l"h\ Cr^lc-^ l'c' -+- Te", auxquelles on peut donner la forme
Ap « D'à", Bq = D'6", Cr = D'c", (13)
en plaçant les axes fixes (X', Y', Z') de manière que les constantes arbitraires l et V soient nulles. Comme on a, en désignant par (p', q\ r') les valeurs initiales de (p, 9, r),
« -"îy' «• =-57' t -17'
on voit que la position de Taxe fixe 11 par rapport aux axes principaux dans leur état initial, est déterminée; pour ce qui est des axes fixes X', Y', ils restent entièrement arbitraires.
Les équations (42) expriment une propriété importante du mouvement d*un corps autour d'un point fixe sans forces motrices. Un élément dm placé en (x, y, z) est animé des trois vitesses qz — ry, Tx — p2, py — qx\ le moment de la quantité de mouvement par rapport à X est
et le moment total ou le couple devient ply*dm + pl^z'^dm^ c'est-àdire Ap, en remarquant que Taxe X est principal. On trouve de même Bf , Cr pour les moments par rapport aux deux autres axes. Le couple
résultant ou le moment total est (/A*p* ■+- B*qf' -♦- CV* = D'. Il est donc invariable. En décomposant chacun des couples Ap, Bç, Cr en trois autres autour de (X', Y', Z'), on trouve Aap + B6g -^ Gcr pour le couple perpendiculaire à X', ou pour le moment du mouvement par rapport à X^, et la première équation (i2) exprime que ce moment est aussi invariable. Les deux autres expriment une propriété analogue pour les deux autres axes fixes. En faisant évanouir deux des trois constantes /, l'y /", on ne fait donc que choisir l'axe fixe Z' de manière que deux de ces sommes ou de ces couples soient nuls, ce qui a lieu évidemment si l'on prend pour axe des Z' l'axe instantané dans la position initiale, puisque les vitesses autour de X' et Y' sont nulles à cet instant.
Quant aux équations (10), on reconnaît sans peine que la première exprime que la quantité de force vive du corps est invariable, car w étant la vitesse de rotation autour de l'axe instantané et Y le moment d'inertie par rapport à cet axe, on a (N° 148)
.« ^ . Ap'- -4- Bff« ^ Cr« V = A cos*a -♦- B cos'p -+• C cos* y = -=- \ >
et par conséquent
dans laquelle Yw^ est cette quantité de force vive. On sait déjà que la seconde exprime que le couple résultant est invariable.
L'intégration de l'équation différentielle (11) dépend en général des intégrales elliptiques; mais elle peut se faire complètement avec les fonctions élémentaires dans certains cas particuliers; par exemple, si
530 CHAPITRE XVUI.
deux des trois momcnls d'inertie priacipaux sont égaux^ ou bien si le mouvement initial est tel que BD* — D'* soit nul. Dans ce dernier
cas, en désignant 2D \/ j^ par a, et une constante arbitraire par fx, rintégralc devient
D^B - C) 4p(r«- P A (A — C) (fx + c-«')* ' et par suite
« — ?! /'fillil!! V ^P^A — B) iiiT^^ ^ "" B V^^+ e-«7 ' ^ "~ C(A — C) (fx-*. c-«0*'
P Commet est constant, on conclut de la note de la page 532 que Taxe r
de rotation ne sort pas d'un plan passant par l'axe moyen B.
Dans la première hypothèse, si A est égal a B, on trouve
