VIII PRÉFACE

en général la préférence à celle qui emprunte à l'analyse le secours de ses signes et de ses transformations, comme présentant sur la méthode géométrique ordinairement plus expéditive, il est vrai, le grand avantage de mieux se graver dans la mémoire et de se prêter avec plus de facilité aux applications des principes généraux, ainsi qu'à des recherches ultérieures. Je crois du reste inutile d'entrer dans plus de développements sur le plan que j'ai adopté. Un coup d'œil jeté sur la table des matières le fera suffisamment connaître. Je me borne ici à déclarer qu'en publiant ce livre par la voie de l'autographie d'abord, et ensuite par l'impression typographique, mon seul but a été de faciliter à mes élèves, autant qu'il dépendait de moi et sans aucune préoccupation personnelle, l'intelligence de la branche la plus importante et la plus difficile de leurs études. Une expérience de près de vingt années me permet d'espérer que mon but n'a pas été complètement manqué.

TRAITÉ

Définitions. Matière. Corps. Espace. Volume. Masse. Point matériel. Corps solide. Corps fluide. Repos. Mouvement. -— Principe de Tinertic de la matière. Forces. Leur représentation. Leurs rapports. — Equilibre. Objet de la mécanique. -~ Axiomes fondamentaux. Résultante. Composantes. — Composition des forces. Parallélogramme des forces. — Démonstration analytique du parallélogramme des forces. — Autre démonstration imitée de celle de Simon Steven. — Conséquences immédiates du parallélogramme des forces. Leur décomposition. — Parallélipipède des forces. — Résultante d*un nombre quelconque de forces appliquées en un même point. — Expression analytique de cette résultante. — Théorème sur les forces estimées suivant une direction donnée. — Théorème sur le moment d*une résultante par rapport à un axe. — Théorème sur le moment d^une résultante par rapport à un point. Signes des moments. — Equilibre de forces appliquées en un même point.

1. Définitions. Matière, Corps. Espace. Volume. Masse. Point matériel. Corps solide. Corps fluide. Repos. Mouvement. — On donne le nom de matière à tout ce qui est capable d*affecter l'un de nos sens. Une portion limitée de matière ayant une forme déterminée prend le nom de corps. Le mot espace pris dans un sens absolu est employé

pour désigner une étendue sans bornes dans laquelle on fait abstraction de la matière qui peut s'y trouver. La portion de Tespace renfermée entre les limites d'un corps forme le volume de ce corps, et sa masse est la quantité de matière que renferme son volume. Si le corps a dans tous les sens des dimensions infiniment petites, il forme, quelle que soit sa masse, ce qu'on appelle un point matériel. Un corps peut être considéré comme composé de points matériels juxta-posés. Si tous ces points sont liés entre eux d'une manière invariable, ils forment t/n corps solide; si, au contraire, ils n'ont entre eux aucune adhérence, le corps est à\i fluide.

Lorsqu'un corps occupe constamment la même position dans l'espace, on dit qu'il est en repos; il est au contraire en mouvement si celte position varie à chaque instant. L'état de repos ou de mouvement d'un corps ne peut être reconnu qu'en rapportant sa position à certains points dont l'immobilité soit certaine. Or, on ne connaît dans l'espace aucun point semblable; il est donc impossible de constater le mouvement ou le repos absolus d'un corps ou d'un point; on doit se borner h rapporter la position d'un corps à certains points considérés comme fixes, quoiqu'ils ne le soient probablement pas, et h reconnaître l'état de repos ou de mouvement relatifs du corps.

2. Principe de l'inertie de la matière. Forces. Leur représentation. Leurs rapports. — La matière est susceptible de repos et de mouvement, mais elle ne peut d'elle-même changer ou modifier son état. Ce principe fondamental, qui constitue le principe de l'inertie des corps doit être considéré comme une des données les plus certaines de l'expérience. La cause, quelle qu'elle soit^ qui change ou qui est capable de changer l'état de repos ou de mouvement d'un corps, se nomme force. Le mode suivant lequel celle-ci transmet son action au corps nous est totalement inconnu. On ne peut apprécier une force que par l'effet qu'elle produit; aussi sont-elles pour nous identiques, lorsque les effets sont identiques, et nous devons considérer deux forces comme égales et opposées si elles s'entre-détruisent.

L'ensemble de toutes les connaissances que l'on possède en mécanique prouve d'une manière incontestable que, lorsque plusieurs forces agissent simultanément et dans le même sens sur un corps, chacune produit son effet comme si elle agissait isolément; c'est pourquoi la force unique qui produirait le même effet que deux, trois, etc., forces identiques réunies, est dite double, triple, etc., de chacune de celles-ci, ce qui permet d'établir des rapports entre des forces, comme pour des grandeurs géométriques ; ainsi, en représentant par un nombre ou par

une droite une certaine force prise pour unité ou pour ternie de comparaison, toutes les forces pourront être exprimées soit par des nombres, soit par des droites. Il y a deux choses h considérer dans une force, son intensité, c'est-à-dire, soa rapport & la force prise pour unité, et sa direction qui n*esl autre chose que la ligne droite qu'elle tend à faire parcourir à un point matériel auquel elle serait appliquée. 11 suit de là qu'une ligne droite peut servir à représenter complètement une force, car la longueur de la droite servira de mesure à son intensité et la direction de la droite indiquera la direction de la force. Oa voit donc que les différentes manières de Gxer la position et la longueur d'une droite en géométrie analytique pourront servir à indiquer la grandeur et la direction d'une force dans l'espace. Le moyen le plus simple consiste à mener dans l'espace trois axes rectangulaires que l'on considère comme immobiles; on donne les coordonnées de l'une des extrémités de la droite, laquelle forme le point d'application de la force ; sà direction sera donnée par les angles que forme cette droite avec les trois axes, en prenant ces angles entre les axes positifs et la droite prolongée dans le sens de l'action de la force. L'intensité sera exprimée par la longueur de la droite.

5. Équilibre, Objet de la mécanique, — Si plusieurs forces agissent simultanément sur un corps ou sur un point matériel, il arrive ou que le corps reste immobile ou qu'il se met en mouvement. Dans le premier cas, les forces s'entre-détruisent et on dit qu'ef/e^ se font équilibre. Dans le second cas, le corps tend à prendre un mouvement qui dépend des rapports de grandeur et de position entre ces forces. On appelle en général mécanique la science de l'équilibre et du mouvement. Elle se divise en mécanique proprement dite et en Hydraulique^ suivant qu'elle concerne le mouvement de corps solides ou de corps liquides. La mécanique proprement dite se divise elle-même en statique et en dynamique^ la première s'occupe des lois de l'équilibre, la seconde, des lois du mouvement des corps non fluides.

4. Axiomes fondamentaux. Résultante. Composantes, — Les principes de la statique ne sont que les conséquences de quelques axiomes fondamentaux que nous allons énumérer.

i** Lorsqu'un système est en équilibre sous l'action de certaines forces, on peut sans rompre cet équilibre, rendre fîxes quelques-uns des points du système.

2° On peut, aux forces appliquées à un système de forme invariable, en joindre d'autres ou supprimer certaines forces, pourvu que celles-ci appliquées seules, se fassent équilibre.

5*" Une force peut être considérée comme appliquée en un point quelconque de sa direction^ pourvu que tous ces points soient liés entre eux d'une manière invariable, puisque le déplacement communiqué à Tun d*eux dans le sens de la force se transmettra sans altération à tous les autres points.

Il suit de là que deux forces égales et opposées P etF (Gg. i), se font équilibre si elles sont appliquées à des points A et B liés invariablement entre eux, car la force V pourra être transportée de B en A où elle détruit la force P.

4*" Si un système de forces appliquées à un corps est tel que par rintroduction d'une nouvelle force P on peut produire l'équilibre, ces premières forces pourront être remplacées par une force unique V égale et directement opposée à P; car si Ton introduit les deux forces P et P' qui se détruisent, on n'aura rien changé et comme, par hypothèse, P fait équilibre au système, on pourra, d'après ce qu'on vient de voir, supprimer P ainsi que les forces données et il ne restera que la seule force P'. Cette force unique capable du même effet qu'un système de forces se nomme résultante du système. Ces forces primitives prennent elles-mêmes le nom de composantes,

5"* Si plusieurs forces sont appliquées à un même point matériel et dirigées dans un même sens, la résultante est égale à la somme de ces forces. Cela résulte de l'hypothèse que nous avons faite (N** 2) sur le mode d'action des forces.

6"" Si deux forces P et P' appliquées & un même point agissent dans des sens directement opposés, la résultante est égale à la différence P — P' de ces forces et agit dans le sens de la plus grande P ; en effet cette dernière peut être remplacée par deux forces dont l'une soit égale à la plus petite P' et l'autre égale à la différence P — P'; si donc on supprime les deux forces P' qui se font équilibre, il ne restera que la force P — P' qui sera par conséquent la résultante.

Il suit de là que la résultante d'un système de forces agissant sur un point matériel suivant une même droite dans les deux directions opposées, est égale à la somme des forces qui agissent dans un sens moins la somme des forces qui agissent dans le sens opposé.

7^ Si deux forces non en équilibre agissent simultanément sur un point matériel, ces deux forces ont une résultante; car il est évident que le point tendra à se déplacer dans une certaine direction, et que par conséquent une force convenable empêchera ce déplacement et maintiendra l'équilibre. Cette force prise en sens inverse est donc la résultante. (Voir 4".)

Celle-ci est renfermée dans le plan qui contient les deux forces; car il n'y a pas de motif pour qu'elle soit placée plutôt d'un côté que de l'autre de ce plan , attendu que tout est symétrique de part et d'autre. Elle est aussi dirigée dans l'angle formé par les directions des deux forces P et Q; en effet, si R (fig. â) pouvait être cette résultante, une force R' égale et directement opposée à R ferait équilibre à P et Q et en rendant fixe un point O du système lié au point A et pris entre R et P, l'équilibre devrait encore exister (voir i*"), ce qui évidemment n'a pas lieu, puisque R', P et Q tendent à faire tourner A autour de O dans le même sens. Si les deux composantes étaient égales, la résultante devrait diviser en deux parties égales l'angle formé par ces forces, puisqu'il n'y aurait pas de motif pour qu'elle se rapprochât de l'une des forces plus que de l'autre.

5. Compoiition des forces. Parallélogramme des forces. — On appelle composition des forces, l'opération par laquelle on détermine la résultante d'un système de forces, et décomposition^ l'opération inverse ayant pour objet de remplacer une force unique par plusieurs forces capables du même effet. La composition des forces est fondée sur le théorème suivant : Si la résultante de deux forces PetQ formant entre elles un angle a ainsi que celle de deux forces P et Q' formant entre elles le même angle, sont dirigées toutes deux suivant la diagonale du parallélogramme construit sur ces forces, la résultante des deux forces P et Q + Q' sera aussi dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux dernières forces; en effet si l'on représente par AB, AC et CD (fig. 5), les trois forces P, Q et Q' et qu'on construise les parallélogrammes CABË et DCEF, la résultante de AB et AC sera dirigée par hypothèse suivant AE, son point d'application pourra être transporté du point A au point E et si l'on construit le parallélogramme EGKH égal à ABEC, la résultante dirigée suivant EK pourra être remplacée par les deux forces £G et EH que l'on pourra concevoir appliquées l'une au point F et représentée par FL, l'autre au point C et représentée par CE. Les deux forces CE et FL tiendront donc lieu des deux forces AB et AC ; mais la résultante P'' de CE et CD est dirigée par hypothèse suivant CF et peut être appliquée au point F; les trois forces AB, AC et CD ou P, Q et Q' sont donc remplacées par cette dernière F' et par la force FL appliquées toutes deux au point F et ayant par conséquent une résultante qui passe par ce point; la résultante de P, Q et Q' est donc dirigée suivant AF qui est la diagonale du parallélogramme construit sur P et Q + Q'.

On conclut de là que la résultante de deux forces qui sont entre elles

0 CUiPlTRE I.

dans le rapport de deux nombres entiers, est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces ; en effet la proposition est évidente pour deux forces égales P et P, elle est donc vraie pour le système des forces P et âP en vertu du théorème qu'on vient de démontrer. La proposition étant vraie pour P et 2P d'une part et pour P et P d'une autre part, est vériGée pour P et 5P et ainsi de suite jusqu'à P et nP. De même la proposition étant vérifiée pour nP et P et pour nP et P, le sera pour nP et 2P et par conséquent pour nP et 5P et en général pour nP et mP, m et n étant deux nombres entiers quelconques.

11 en est de même quand les forces sont dans un rapport incommensurable; car si la résultante de AC et AB (fig. 4) pouvait être dirigée suivant AË, en divisant AB en parties égales plus petites que DE et en portant un certain nombre de ces parties sur BD, un point de division tomberait entre £ et D et l'on formerait un parallélogramme AceB dans lequel les côtés Ac et AB seraient commensurables; la résultante de AB et Ac est donc dirigée suivant Ae; la résultante de cette dernière et de Ce, résultante qui n'est autre que celle de AB et AC, serait donc dirigée suivant AE, ce qui n'est pas possible puisqu'elle doit être comprise dans l'angle CAe formé par les deux forces. On démontrerait de la même manière que la résultante ne peut pas venir rencontrer le cdté CD entre les points C et D; elle est donc dirigée suivant la diagonale AD.

11 reste encore à trouver la grandeur de la résultante dont on vient de fixer la direction; à cet effet observons que si R est la résultante de P et Q (fig. 5), une force R' égale et directement opposée & R leur fera équilibre; d'où il suit que Q fera équilibre à P et R' et que par conséquent le prolongement AC^ de AC sera la direction de la résultante de P et R'. R' <Ioit donc être tel que AC'soit la direction de la diagonale du parallélogramme construit sur AB et sur R'; il suit de là que si l'on mène BC parallèle à R et CD' parallèle à AB, AD' représentera la valeur de R' ou de R; or à cause des parallélogrammes ÂBC'D' et ADBC, AD' est égal à BC et BC à AD; donc AD' est égal à AD, <;'est-à-dire que la résultante de deux forces appliquées à un point, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces forces.

6. Démonstration analytique du parallélogramme des forces, — Cette proposition importante qui est due à Simon Steven et qui constitue le théorème du parallélogramme des forces, peut être démontrée par des considérations purement analytiques de la manière suivante : soient X et Y (fig. 6), deux forces appliquées au point 0 et dirigées sui-

vant deux droites formant un angle droit, ou en d'autres termes, deux forces orthogonales^ et soit R leur résultante faisant Tangle a avee X. Il est évident que les valeurs de R et de a dépendent de X et de Y et que par conséquent en désignant par /*, F, vp et 9 des fonctions de forme inconnue, on doit avoir

et en éliminant Y entre ces équations, il viendra

R=rvKX, a), d'où X = cp(R, a).

D'autre part, si les forces X et Y sont doublées ou triplées, la résultante R sera elle-même visiblement doublée ou triplée en conservant la même direction et, en général, si les forces X et Y croissent ou décroissent dans le même rapport n, la résultante R croîtra ou décroîtra dans la même proportion en conservant la même direction. II suit de là que si dans l'équation précédente on change X en nX, a restant invariable, R doit se changer en fiR et que par conséquent on doit avoir (*)

nX ou wcp (R, a) = 9 (nR, a),

ce qui n'est possible qu'à la condition que 9 (R, a) soit de la forme R9a; on doit donc avoir

En changeant a en ~ — a et X en Y, on aura de même

Cela posé, par le point d'application 0 (fig. 7), faisons passer trois axes rectangulaires et proposons-nous de déterminer la résultante R de trois forces X, Y, Z dirigées suivant ces trois axes. Pour cela on déterminera d'abord la résultante r des deux forces (X, Y), puis on cherchera la résul-

(*) Comme le second membre reste le même en changeant n en R et R en n, il en doit être de même du premier ; on doit donc avoir

«y(R,a) = Rf(n,a)

et par conséquent en faisant n égal à Punitc

X = «p (R, a) = R-sp (ï , a) ^ R^a.

tante R de r et de Z. Or si l'on désigne par a et z les angles que font r avec X et R avec Z, on doit avoir visiblement

et par conséquent

X=R(pa(py-zV

D'un autre côté, si Ton commence par chercher la résultante r' de Y et Z, et qu'ensuite on détermine la résultante R de r' et de X, on trouvera, en désignant par x l'angle formé par R avec X,

X = Rçpx.

En égalant ces deux valeurs de X on est conduit à la relation

cpa: = cpa(p ( - — z) (i)

Telle est l'équation de condition qui caractérise la fonction 9 et qui

va nous servir à déterminer sa forme. Remarquons que l'angle trièdre

OXRr rectangle en r donne entre les mêmes angles x, a et z cette

autre relation

cosx=3COS a sinz; (2)

or, si la relation (i) était distincte de cette dernière , on pourrait de ces deux équations tirer les valeurs de a; et de z en fonction de a , résultat absurde , puisque en laissant X et Y invariables et faisant changer Z, a ne changera pas , tandis que oc et z changeront visiblement de valeur. Les deux relations

(px == (paç ( z\ et cos x = cos a sin z

devant subsister en même temps et les angles x et z ne pouvant pas être exprimés en fonction de a, les fonctions çx, <pa et (pf z j ne

peuvent être que cos x, cos a et cos ( z ) = sin z(*) , ou plus

(*) Il est à remarquer que Péquation (t) serait identique et que par conséquent réquation (2) serait unique si la fonction 7 pouvait être constante et égale à Tunité;

mais cela n^est pas admissible, car ^a et ^1-^ — al auraient cette même valeur

constante, et par conséquent X et Y devraient être égaux, puisque Ton a

géDéralement (px doit être donnée par (cos xY^ ce qui fait prendre à la première équation la forme

(cos x)« = (cos a)*» (sin z)",

qui rentre en. effet dans la seconde en élevant les deux membres de celle-ci à la puissance a. L*exposant a se détermine en observant que si l'on décompose une force R (fig. 8) en deux forces orthogonales X et Y et qu'on décompose ensuite les forces X et Y en deux autres dirigées suivant leur résultante ÂR et suivant une perpendiculaire RG, les composantes suivant RG doivent être égales et opposées , et les deux composantes suivant ÂR réunies, doivent être égales à R. Les forces X et Y sont en effet égales à R (cos x)^ et R (sin x]", leurs composantes suivant RG sont toutes deux R(cosx)'' (sin x)% et les deux composantes suivant AR sont

R (cos xY (cos x)* et R (sin x)* (sin x)* ;

on doit donc avoir pour toute valeur de x, en supprimant le facteur commun R ,

(cos x)*" -i- (sin x)*« = i .

Pour X égal à 7 > sin x et cos x sont égaux à —-prei l'équation devient

— =1 d'où 2«==2, 2«

ce qui fait voir que a est égal à l'unité et que par conséquent (px=cosx. Les deux composantes X et Y de R (fig. 6) sont donc

XssRcosa, Ys=Rsina«

et comme on tire de là

X«-+-Y* = RS tanga = -,

on voit que la résultante de deux forces orthogonales est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du rectangle construit sur ces forces.

Le théorème peut être ensuite étendu à deux forces P et Q formant un angle quelconque RAG (fig. 9) en observant que si Ton décompose la force P représentée par AB en deux autres AE et AF dirigées l'une suivant la force Q et l'autre suivant une pcrpendi-

culairc AF, la résultante de P et Q sera la même que celle de AF et de AG + AE ou AG + GG = AG, résultante qui est représentée par la diagonale AD du rectangle FAGD; or AD est aussi la diagonale du parallélogramme construit sur P et Q, car en menant la droite GD on forme un triangle rectangle DGG qui est égal au triangle BAF, puisque DG et GG = AE sont égaux à AF et BF <= AE, d'où il résulte que DG est égal et parallèle à AB et par conséquent que BAGD est un parallélogramme construit sur AB et AG.

7. Autre démonstration imitée de celle de Simon Steven. — Gette proposition fondamentale du parallélogramme des forces peut aussi se déduire fort simplement des circonstances de Téquilibre d'une chaîne sur un plan incliné; en effet ABG (fig. 10) étant un triangle rectangle dans lequel BG est vertical, il est visible qu'une chaîne uniformément pesante et continue GADBG restera en équilibre, ce qu'on peut considérer soit comme un principe d'expérience, soit comme une conséquence de cette remarque qu'un mouvement, s'il avait lieu , serait sans effet et sans cause , puisqu'il ne ferait que placer la chaîne dans des circonstances toujours identiques. Gela posé, le point G de la chaîne est tiré d'un côté par la partie GA tendant à glisser le long du plan incliné et par la tension en A de la partie pendante AD, et de l'autre côté par le poids de GB et la tension de BDA en B. Or, AB étant horizontal, ADB se compose de deux parties symétriques AD et BD et les deux tensions extrêmes en A et en B sont égales. La traction sur G due au poids de GA est donc égale au poids de GB. L'équilibre subsistera encore si l'on concentre en un point M et en un point M' les masses de ces deux parties de la chaîne et qu'on les lie entre elles par un fil mathématique MG^^. La tension du fil MG est évidemment la composante du poids P de M suivant AG, composante qui est Pcpa (N° 6), a désignant l'angle G; la tension du côté GB est représentée par le poids Q de BG; on a donc

Q Q = P(pa , (f a = - »

cl comme P et Q sont proportionnels à AG et BG et que le rapport

•7— est égal au cosinus de a, on trouve, comme dans la démonstra- AC

lion analytique,

cpât = cos a.

STATIQUE. i I

8. Conséquences immédiates du parallélogramme des forces. Leur décomposition, — 11 résulte du théorème précédent que deux composantes quelconques et leur résultante sont représentées par les trois côtés d'un triangle ABD (fig. 5) et que Ton a par conséquent la proportion

P : Q : R = sin BDA : sin BAD : sin ABD ou bien

P : Q : R == sin DAC : sin BAD : sin BAC,

en remarquant que les angles ÂBD et BAC sont supplémentaires et ont le même sinus. Cette proportion apprend que chacune de ces trois forces est proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autres.

On voit aussi que si trois forces P, Q, R se font équilibre autour d'un point A (fig. il), il faut que R soit égal et directement opposé à la résultante R' des forces P etQ, c'est-à-dire, à la diagonale Al) du parallélogramme construit sur AB et AC, et comme on a

p : Q : R' = sin DAC : sin BAD : sin BAC,

il vient aussi , en remarquant que les aiigles supplémentaires ont le même sinus,

P : Q : R -= sin QAR : sin PAR : sin PAQ,

c'est-à-dire, que lorsque trois forces se font équilibre autour d*un point, elles sont toutes trois renfermées dans un même plan et chacune d'elles est proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autres.

Le triangle ABD donne l'expression analytique de la résultante de deux forces, car on a

AD« =3 AB« -4- BD« — 2AB.BD cos ABD,

ou bien en remarquant que les angles supplémentaires ABD et BAC c'est-à-dire a ont les cosinus égaux et de signe contraire ,

R« = P« -h Q« -H 2PQ cos a.

Si l'angle a était droit, cette valeur se réduirait à P- -*- Q*. La décomposition d'une force R' en deux autres dirigées suivant deux droites données AB et AC s'effectue en construisant le parallélo-

iâ

gramme BÂGD. La valeur des composantes résulte aussi de la proportion démontrée au numéro précédent, savoir

P : R' = sin DAC : sin BAC, Q : R' = sin BAD : sin BAC,

d'où l'on lire •

sin PAC sin BAD

sin BAC ^ sin BAC '

Si l'angle BAC est droit et qu'on représente par a l'angle BAD , les valeurs précédentes se réduisent à

R' cos a 9 R' sin a,

9. Parallélipipède des forces. — Si trois forces P, P', P", (fig. 42) représentées par les droites AB, AC et AD non renfermées dans un même plan , agissent sur un point A , on trouvera leur résultante en composant d'abord les deux forces P et F, c'est-à-dire en les remplaçant par leur résultante Q représentée par la diagonale AE; puis en cherchant la résultante des deux forces Q et V ou AE et AD, résultante qui est la diagonale AF du parallélogramme ADFË ; mais AF est visiblement la diagonale du parallélipipède construit sur AB, AC et AD; d'où résulte ce théorème plus général : /a résultante de trois forces qui agissent sur un point est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélipipède construit sur ces forces.

Ce théorème permet de décomposer une force donnée R en trois autres dirigées suivant trois droites données passant par un point situé sur la direction de la force ; il suffit pour cela de construire le parallélipipède ayant AF pour diagonale et les trois droites indéfinies, pour arêtes con ligues. La valeur des trois composantes prend une forme très simple lorsque les droites données sont perpendiculaires entre elles ou lorsque le parallélipipède est rectangle; en représentant par (a, p, y) les angles formés par ces droites avec la force, le triangle ADF sera évidemment rectangle en D et l'on aura

AD = AF cos DAF ou P" = R cos y.

On a de même

P = R cos a, P' == R cos (3.

Uoe propriété connue des parallélipipèdcs rectangles donne aussi la relation

à laquelle on est conduit par les valeurs précédentes en remarquant que Ton a

pî 4- p/î ^ p"4 = R« (cos«a -4- C0S*(3 4- COS*'/),

et que les trois angles (a, ^, y) que forme une même droite avec un système de trois droites rectangulaires, ont toujours entre eux la relation

cos*a -H cos*(3 -♦- cos *y s= 4 .

iO. Résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées en un point. — Ce qui précède suffit pour déterminer géométriquement la résullante d'un nombre quelconque de forces P, F, P", P'", etc. appliquées en un point dans des directions quelconques; pour cela on composera d'abord deux forces P et P' en une seule Q; on composera ensuite la résultante Q avec une troisième force P", ce qui donnera une nouvelle résultante Q' que l'on composera avec une quatrième force P"' et ainsi de suite. On arrivera ainsi à la résultante de tout le système. En effectuant ces opérations successives, on est conduit à une construction fort simple de la résultante R; car si l'on remarque que

BD, DF, FH (fig. i5) sont égaux et parallèles à AG, AE, AG ou

Vy V\ P"^..., on voit que pour obtenir la résultante AH, il faudra construire le polygone gaucbe ABDFH dans lequel un des côtés AB est une des forces et les autres côtés sont égaux et parallèles aux autres forces du système; le côté AH qui ferme le polygone représente la résultante. L'ordre suivant lequel se succèdent ces côtés est indifférent, puisque l'ordre suivant lequel on effectue les compositions successives des forces est lui-même arbitraire; si le polygone était fermé ou si le dernier point H tombait en A, la résultante serait nulle et il y aurait équilibre.

ii. Expression analytique de cette résultante. — L'expression de cette résullante pourrait être trouvée en fonction des composantes et des angles qu'elles forment entre elles; mais on y arrive d'une manière plus simple en rapportant toutes les forces à trois axes rectangulaires; en effet si (a, (3, y), (a', (3', /), (a", (3", /')..•• représentent les angles formés par les forces P, P', P".... (fig. i4) avec trois axes

rectangulaires fixes, on pourra (iN* 9) décomposer chaque force

P»P'>P" en trois autres (Pcosa, Pcos(3, Pcosy), (P'cosa',

P'cos(3', P'cos/), (P"cosa" ) dirigées suivant les trois axes, et

en faisant

X = Pco8a -^ P'cos a' -+- , Y=Pcos (3 ■+- P'cos (3' -4- ,

Z = Pcosy -h P'cosy' -f-

tout le système sera remplacé par les trois forces X, Y, Z; si donc R est la résultante et a, 6, c les angles qu'elle forme avec les axes , on aura

R*=X«-hY*-*-Z« = (Pcosa-hetc.)* + (Pcos(3+etc.)'+(Pcos7-+-etc.)*, Rcoso rr Pcosa-t-P'co8a'-*-elc., Rcos6=Pcos(3-^P'cosP'-*-etc.,

R cos c = P cos y -i- P' cos 7' -♦- etc. d'où Ton tire

P cos a H- P' cos al -h etc. . P cos 0 -♦- P'cos S' -h etc.

cosa = , cos 6= î- »

P cos y H- P' cos y' -h etc.

cos c = ' '-

Ces équations déterminent l'intensité de la résultante et les angles qu'elle fait avec les trois axes. Il est visible que les différents termes qui forment les valeurs de X, Y, Z sont positifs ou négatifs selon que

les angles (a, (3, y), [ai ) sont aigus ou obtus, ou ce qui revient au

même, selon que ces composantes sont dirigées dans le sens des axes positifs ou négatifs.

Si toutes les forces étaient renfermées dans un même plan, en le prenant pour plag des XY, les composantes parallèles à l'axe des Z disparaîtraient évidemment et les équations précédentes deviendraient

R==j/X«-+-Y«=|/(Pcosa-4-Fcosa'-*-etc.)«-*-(PcosP-hP'cos(3'-^ctc.)S

P cos a -h P' cos a' -+- etc. , P cos S -4- P' cos S' -*- etc.

cos a = 5 cos 0 = ■ =; — '

ou plutôt, en observant que les angles (a, (3j, (a', (3').... (a, 6) sont complémentaires et que par conséquent les cosinus de |3, j3'. .. b sont égaux aux sinus de a, a'.... a,

R =r |/(Pcos a -4- F cos a' -4- etc.)* -4- (P sin a -4- P' sin a' -4- etc.)*,

P cos a -H P'cos a! -4- etc. . P sin a -4- P' sin cd -»- etc. cos a == > sm a =

On peut aussi faire dépendre de la théorie du centre des moyennes distances la détermination de la résultante d'un système de forces P,P',P".... appliquées en un môme point; en effet les extrémités de ces forces qui font avec trois axes rectangulaires des angles (a, (3, y), (a'...), ont pour coordonnées (P cos a, P cos |3, P cos y), (P' cos û/....) ; <*n désignant donc par (x, ly, z) les coordonnées du centre des moyennes distances de leurs extrémités et par n le nombre de forces, on aura diaprés la définition des moyennes distances ,

2P cos a 2P cos S 2P cos v

Joignons par une droite le centre des moyennes distances à l'origine; celte droite fera avec les axes des angles ayant pour cosinus

2P cos a

•, etc.

/(2P cos a)» + {19 cos (3)« -*- (2P cos 7)* et elle aura pour longueur

,/Zr—rrrZÏ |/(^P cQS «)* + (2P cos P)« -t- {IpT^* ^ -^ n

En comparant ces résultats à ce qui a été dit plus haut sur la résultante d'un système de forces appliquées à un même points on est conduit à ce théorème : La résultante de n forces appliquées en un inéme point est représentée par n fois la droite qui joint le point commun d'application au centre des moyennes distances des extrémités de chacune de ces forces.

On verra plus loin (N*" 55) comment ce théorème se généralise lorsque les forces ne sont pas appliquées en un même point.

42. Théorème sur les forces estimées suivant une direction donnée. — Si l'on décompose une force en deux autres, l'une dirigée suivant une parallèle à une droite donnée et l'autre renfermée dans un plan perpendiculaire y la première composante, qui n'est autre que la projection orthogonale de la force sur cette droite, est dite force estiniée suivant la direction donnée; et l'autre composante, qui est la projection de la force sur un plan perpendiculaire à la droite, est dite force estimée normalement à la droite. En représentant donc par a l'angle formé par P avec une droite, Pcosa sera l'expression de P estimée suivant la droite et P sin a l'expression de la seconde compo-

santé. Il résulte de là que dans Téquation du numéro précédent, savoir:

R cos a = P cos a -1- F cos a' -♦- etc.,

le premier membre représente la résultante R ^estimée suivant l'axe des X et P cos a, P'cos (/.... représentent les forces P, V etc. estimées suivant le même axe. Comme cet axe est pris dans une direction arbitraire^ on conclut de cette équation que pour un système de forces appliquées à un pointy la somme des composantes estimées suivant une droite (Quelconque est égale à la résultante estimée suivant la même droite. Il est visible aussi que la projection de la résultante R sur le plan YZ est aussi la résultante de toutes les forces représentant les projections des forces P, P'.... de Tespace sur ce plan; car si Ton applique la résultante R en sens inverse, il y aura équilibre autour du point; si ensuite on décompose toutes les forces y compris la résultante prise en sens inverse, en deux autres, les unes renfermées dans Taxe des X et les autres renfermées dans le plan YZ, les premières se feront équilibre, puisque la composante de la résultante suivant Taxe sera la même que précédemment, mais en sens inverse, et en supprimant ces composantes en équilibre il ne restera que les composantes renfermées dans le plan YZ, qui devront donc aussi se faire équilibre entre elles; d'où il suit que la composante normale de la résultante R tiendra lieu des composantes normales des forces P, P', P"...

i5. Théorème sur le moment d'une résultante par rapport à un axe, — Il existe entre les composantes P, P'.... et la résultante R estimées normalement à un axe, une relation importante; soit CC (fig. i5) cet axe et P l'une des forces appliquées au point A et faisant avec CC ou avec une parallèle AX, un angle PAX désigné par a. Si l'on prend pour axes coordonnés la droite AX, la perpendiculaire AY sur ce et une perpendiculaire AZ sur le plan XAY, on a d'après ce qu'on vient de voir et en conservant aux lettres la même signification que plus haut,

Rcos6=Pcos(34-P'cosP'-Hetc., Rcosc=Pcosy-*-P'cosy'-t-etc..(i)

mais ces composantes des forces R, P, F,... suivant les axes des Y et des Z peuvent être obtenues d'une autre manière; si l'on décompose P en deux forces q ei (f dirigées l'une suivant l'axe des X et l'autre perpendiculairement à cet axe, on aura

q =sPcosa, g' = Psin a; et il est visible que (f renfermé dans le plan des YZ, pourra être

décomposé eu deux forces suivant les axes des Y et Z, qui ne seront autres que P cos ^ et P cos y. En représentant donc par e Tangle qr'AY que forme avec Taxe des Y la force 9', les deux composantes de €( seront 9' cos e et ((ûvl e; on a par conséquent

P cos P = (( cos e, P cos y = 9^ sin e ,

ou en remplaçant (f par sa valeur donnée plus haut,

P cos (3 = P sin Cf. cos £, P cos y ^= P sin a sin e.

Si Ton représente par e, s', e" les quantités analogues à e pour R, P', P".. ., la seconde des deux équations (i) devient

R sin a sin e = P sin a sin s 4- P' sin a' sin s' -h etc.

Pour interpréter géométriquement cette relation, multiplions les deux membres par OA = A et remarquons que OB perpendiculaire sur 9' est égal à Asin i\ il vient donc, en désignant OB par pet par r,p',j}'^... les quantités analogues pour R^ P', P" ,

rR sin a = pP sin a -t- p'P' sin a' -♦- etc.,

p ou OB est la plus courte distance de l'axe CC et de la force P, car on sait que si par Tune des droites AP on fait passer un plan PAX parallèle à la seconde GC, la plus courte distance est égale à la perpendiculaire OB abaissée d'un point 0 de GC sur ce plan. On appelle moment d'une force par rapport d un axe le produit de cette force estimée normalement à l'axe par la plus courte distance de la force à l'axe; on voit donc que l'équation précédente conduit à ce théorème : la somme des moments par rapport à un axe d'un système de forces appliquées à un point est égale au moment de la résultante par rapport au même axe,

14. Théorème sur le moment d'une résultante par rapport d un point. Signes des moments, — Si toutes les forces étaient renfermées dans un même plan, en prenant l'axe GG^ perpendiculaire à ce plan, il est évident que les angles a, a, a'.... seraient droits et l'équation précédente deviendrait

Rr = Pp -^ P'P' -^ etc.,

dans laquelle r^p^p' seraient évidemment les perpendiculaires

abaissées du point 0 (fig. 16), intersection de l'axe et du plan des forces, sur les forces R, P, P'.... Un produit de la forme Pp se nomme moment de la force P par rapport au point 0 qui prend le nom de

centre des moments; on voit donc que, pour des forces renfermées dans un même plan et appliquées à un même points le moment de la résultante par rapport à un point renfermé dans ce plan^ est égal d la somme des moments des composantes.

11 suit des deux théorèmes précédents : i* que pour des forces appliquées en un même point et dirigées d'une manière quelconque dans l'espace , la somme des moments par rapport à un axe est égale à zéro, quand l'axe des moments est rencontré par la résultante ou quand la résultante est nulle; 2" que pour des forces renfermées dans un même plan, la somme des moments par rapport à un point est nulle, si le centre des moments est placé dans la direction de la résultante ou si la résultante est nulle, car dans l'un et l'autre cas, on a Rr = 0.

Il est a remarquer que les moments des forces dans les relations précédentes peuvent être positifs ou négatifs; ce qui dépend du signe des différents termes P cos y, P' cos y'.... de l'équation

R cos c = P cos y -4- P'cos 7' -4- etc.

dont on s'est servi ; or ces termes sont positifs ou négatifs selon que les composantes Pcosy, Fcosy'.... sont dirigées dans le sens des Z positifs ou dans le sens des Z négatifs; c'est donc cette circonstance qui détermine le signe du moment de chaque force. On peut rendre l'observatioD du signe très facile par la remarque que les composantes positives tendent à faire tourner le point A autour de Taxe CC dans un sens, tandis que les composantes négatives tendent à le faire tourner en sens contraire; on doit donc énoncer le principe des moments de cette manière : Le moment de la résultante d'un système par rapport à un axe est égal à la somme arithmétique des moments des forces qui tendent à faire tourner le point matériel dans un senSy moins la somme arithmétique des moments des forces qui tendent à faire tourner en sens inverse.

15. Équilibre de forces appliquées en un même point. — Pour qu'il y ait équilibre entre les forces P, F, F'.... appliquées à un même point, il faut et il suffit que la résultante soit nulle ou que l'on ait

Les conditions d'équilibre entre les forces sont donc données par les trois équations

OU bien

Pcos a -+- P'cos a' -h etc. =0, Pcos ^ -*- P'cos (3' -♦- etc. = 0,

Pcos y -♦- P' cos y' -*- etc. == 0.

Si les forces iStaîeat renfermées dans un même plan (N° i5), les conditions d'équilibre se réduiraient aux deux suivantes

Pcos a -♦- P'cos a' -«- etc. = 0 , Psin a -4- P'sin a' -*- etc. = 0.

Il résulte aussi du théorème démontré au N<* ii que la condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre du système de forces appliquées en un point, est que le centre des moyennes distances des extrémités de toutes les forces se confonde avec le point unique d'application.

RésuIUiDte de deux forces parallèles agissant dans le même sens. — Décomposition des forces parallèles. Résultante de deux forces parallèles agissant dans des sens différents. — Couples. — Résultante d*un système de forces parallèles. — Théorème sur le moment de la résultante de deux forces parallèles par rapport à un plan. — Moment de la résultante d*un système de forces parallèles. — Détermination analytique de la résultante d*un système de forces parallèles. — Équilibre de forces parallèles.

i6. Résultante de deux forces parallèles agissant dans le même sens, — Considérons deux forces P et P' parallèles et agissant sur deux points A et A' (tig. 17), liés entre eux d^une manière invariable par une droite AA', et proposons-nous de trouver leur résultante ; pour cela décomposons la force P représentée par Aa en deux autres Q et 9 choisies de manière que Tune des composantes q soit représentée par la moitié AB de A A'. Si Ton fait la même décomposition du côté de P', les deux forces P et F se trouveront remplacées par les quatre forces Q, Q', q et 9' qui se réduisent aux deux forces Q et Q', puisque les composantes q et q^ se détruisent comme étant égales, directement opposées et appliquées à deux points A et A' liés invariablement entre eux. La résultante de Q et Q' est donc aussi la résultante cherchée de P et P'. Prolongeons les droites Ac et AV jusqu'en C et transportons-y les points d'application des forces Q el Q'. Si par le point C on mène des parallèles à P et à AA' et qu'on y applique suivant q'' 9"' deux forces q" et y'" égales à AB, la résultante de Q et de qr" sera une force P dirigée suivant CD, comme la résultante de Q et de AB était P représentée par A a. De même la résultante de Q' el de q^^' est une force P' dirigée aussi suivant CD. On voit donc que la résultante de Q et Q'

et par conséquent celle de P et P' est une force R égale à P -«- F dirigée suivant la parallèle CD. Pour que cette résultante soit entièrement déterminée, il reste encore à fixer la position du point D; remarquons à cet effet que les triangles Aac et ADC ainsi que AV(/ et A'GD sont semblables deux à deux, et Ton a

Aa : ac = CD : DA, aV : AV = A'D : CD,

d'où Ton tire , en égalant les deux valeurs de CD et observant que ae et u'cf sont égaux à la moitié de AA',

AD:A'D = AV:Ao = P':P.

Il résulte de ce qui précède que la résultante de deux forces parallèles est parallèle aux composantes, est égale à leur somme et divise la droite qui joint les points d^application en parties réciproquement proportionnelles aux deux forces.

Ce théorème peut être déduit de celui qui a été démontré sur la composition des forces qui concourent en un même point; il suffît pour cela de remarquer que si les forces P et P' concourent sous un angle a, la résultante sera donnée par Téquatîon (N° 8]

R« = P« -f- F« + 2PF cos a

qui, lorsque les forces sont parallèles ou lorsque a est nul, devient

R« = p« -t- P'« ^ 2PF ou R = P-*-P'.

La résultante est donc égale à la somme des composantes. L'inclinaison a de cette résultante sur la force F est donnée par Téquation

P sin a sin a == — - — R

qui apprend que a est nul quand a==0, d'où Ton conclut que la résultante est parallèle aux composantes. Enfin comme le point D est situé sur la résultante, la somme des moments des forces P et F par rapport à ce point est nulle (N"" 14); on doit donc avoir

P.Drf-^F.Dd' = 0,

ou plutôt, en tenant compte des signes des moments (voir N° 14),

P.Dd = F.Dd' d'où P;P' = Dd':Drf,

qui devient à cause de la similitude évidente des triangles ADd et A'Dd',