BD« — D'« AD* — D
TTTïï T^^^TTTi 7^7 ; or pour que, a une certaine époque, p et 7
aient été très petits, r* a dû ne différer que très peu de ces deux fractions qui« par conséquent, ne diffèrent que très peu entre elles, ainsi que de toutes les valeurs intermédiaires par lesquelles peut passer r*; les valeurs variables de p et 9 restent donc toujours très petites quand elles l'ont été à un certain instant.
Il reste encore^ pour compléter la solution du problème précédent, à 6xer pour chaque instant la position des trois axes (A, B, C) par rapport à trois axes (X', Y', Z') fixes dans l'espace, c'est-à-dire à déterminer les valeurs de (afa^a")^ (6, 6', 6"), {Cji/^cf')^ au moyen des équations (4) du N** i64. Pour cela remarquons que, comme p et q restent
de dcf de" toujours très petits relativement à r, les valeurs (4) de -v-> — > -7-»
Clf u» (tl
différeront peu de zéro, et (c, cfy d') ne varieront après un temps fini ,
de qu'entre des limites très resserrées; en effet si-7-=> ^, on a c=f\dt^
intégrale qui est de la forme fxt dans laquelle fx est la moyenne des
534 CHAPITRE xviu.
valeurs de Ç (N"" 142, 5** du Traité d'analyse y â*""* édition) , moyenoe qui reste très petite. Si done on prend pour aies fixes des (X^ Y', Z') les trois axes d'inertie principaux dans leur position primitive, on voit que c, </ resteront très petits et que c" différera peu de Tunité. Cette remarque réduit les six premières équations (4) aux suivantes, en négligeant les infiniment petits du second ordre, tels que Cf , cp, </qy dp,
(la , db
dt * dt
da' „ dV
dt ^' dt ^
Les quatre premières ont pour intégrales, en remarquant que r est constant comme on Ta vu plus haut,
a = a cos r(, 6 = a" sin r(,
o' = a' sin rf , 6' = a'" cos rf ,
ou plutôt
a = cos rf, 6 = — sin ri,
a' = sin r< , 6' = cos rf ,
en déterminant les constantes arbitraires a, a' par les conditions
que ces intégrales doivent satisfaire aux équations différentielles et que l'on doit avoir
aî 4- 6« -t- c* = 1, a'* -4- 6'« -4- c^* = 4, ou plutôt
parce que c et c' sont très petits.
Les deux autres équations différentielles, après qu'on a remplacé p et q par leur valeur, forment un système d'équations simultanées linéaires à coefficients constants, ayant pour intégrales
a" = TT- sin rnt — /"sin r {t -h j), Cr
6"*= -TT-cos rnt ---fcos r (( -t- j), Cr
OU phitàt
a" = —- (A sin rnt — Bm sin rt), Cr
, „ Bwm .
0 = — — (cos rnt — cos rt) ,
en dëlerminant les constantes f ei g par la condition que pour f =3 0, a'' et 6" sont nuls, c'est-à-dire que les axes G et Z' se confondent* On a fait dans ces équations
yA(A — C) /
AB
Enfin les valeurs de c, cf, c" s'obtiennent en intégrant les trois dernières équations (4) du N° 164. On trouve ainsi en négligeant les quantités inférieures du second ordre,
c=ï--- j -* sin r(n -♦- i)t h ^-sin r(n — i)t f j
^rln-^i ^ ' n — \ ^ ' \
</ = - T-sin' ^ , ^ -sin«-^-— — ^ »
c" = l 7rT-\ rsin*— î^ — - — -sin*-i — - — r:=r^ sin'rne
Cr* ( n-Hi 2 n — 4 2 2B»
Si par les axes Z' et G on fait passer un plan et qu'on désigne par e l'angle qu'il forme avec le plan Y'Z', on trouve, comme k la page 526,
tange = ::. = -
, sm r (/i -i- 4) * H 7 sin r (n — 4) (
</ 2 wî — 4
rsm' 5(^-^1) « --sin«~(n— 4)f
n-t-4 2^ ' yi — 4 2^ '
qui fait connaître la loi suivant laquelle l'axe d'inertie C tourne autour de l'axe fixe Z^ La valeur trouvée pour a apprend que l'axe d'inertie A qui reste sensiblement perpendiculaire a l'axe fixe des Z', tourne uniformément autour de lui, puisque si l'on désigne par $ l'angle variable formé par X' et A, il vient
a=3cosd=scosrf, d'où d = r(.
4 68. Conditions pour que Vaxe instantané ne change pas déplace dans
556 CHAPITRE XVllI.
un corps qui se meut sans forces motrices. — Proposons-nous de trouver la condition pour que Taxe instantané de rotation conserve constamment la même position dans le corps ; il est visible qu'il faut et qu'il suffît
pour cela que les cosinus — ^ ~> ^ > — -
|/p'-Hç*-+-r* [/p^-^q^-^r* (/p*-hç*-4-r*
soient constants; il faut donc que Ton ait
papa q b r c
a, &y e étant ces cosinus constants. Si dans Tune des intégrales (10) on remplace deux des trois lettres (p, g, r] par leur valeur précédente, on trouve que p, g et r doivent être eux-mêmes invariables; d'où il résulte que, pour que Taxe de rotation soit fixe dans le corps, il faut que (fp, dq^ dr soient nuls, et en remontant aux trois équations différentielles du mouvement (9), on voit que cette condition ne peut être satisfaite à moins que l'on n'ait
qr = Oy pr=0 et pqf=aO,
ce qui exige que deux des trois facteurs {p, q^ r) soient nuls, c'estnà-dire que l'axe de rotation doit se confondre avec l'un des trois axes principaux, lesquels jouissent donc seuls de la propriété d'être des axes permanents de rotation. C'est ce que nous avions déjà vu (N° 152). 169. Stabilité des mouvements de rotation autour des axes principaux. — Les deux intégrales (10) font connaître une propriété générale des axes instantanés, qui est liée à celle que nous venons de démontrer. Soient (x, y, z) les coordonnées d'un point de l'axe instantané, distant de l'origine d'une quantité égale à /. Les cosinus des angles formés par cet axe avec les axes coordonnés pourront être représentés
par y' 7' 7» on aura donc, en désignant |/p* -t- 7* -*- r* par tu,
Si l'on lire de là les valeurs de (p, q, r,) pour les substituer dans (10), et qu'on divise ensuite ces deux intégrales membre à membre, w et / disparaîtront^ et on trouvera pour équation de la surface décrite par Taxe instantané,
A V -\- hhj* -^ CV D^
Ax* -t- By« -H Cz* "^ D* '
OU bien
A (AD« — iy«) x« -*- B (BD« — D'*)j/« -*- C (CD« — IV*) z« = 0.
Cette équation appartient à une surface conique du second degré dont on reconnaîtra la forme et la position en la coupant par trois plans parallèles aux plans coordonnés et distants de ceux-ci d*une quantité h. Les équations des trois sections sont :
B (BD« — D'«) y* -♦- C (CD* — D'«) 2* = — A (AD« — ly*) A% C (CD« ^ D'*) z« .^ A (AD« — ly») x' = — B (BD« > D^*) A*, A (AD* — D'*) x« + B (BD* — D'«)y* = — C (CD* - D'*)/**.
Elles appartiennent visiblement à des ellipses ou à des hyperboles ayant respectivement leurs centres dans Taxe A, Bou C, et ayant chacune leurs diamètres principaux parallèles aux deux autres axes d'inertie. De \k résulte celte proposition : l*axe instantané de rotation décrit autour de l'un des axes principaux un cône droit ayant pour base une ellipse ou une hyperbole dont le centre est placé dans cet axe, et dont les diamètres principaux sont parallèles aux deux autres axes principaux d*inertie.
Pour reconnaître la forme du cône, supposons les moments d'inertie principaux rangés suivant l'ordre de grandeur A > B ]> C. Le coefficient AD* — D'* est nécessairement positif; car s'il était négatif, les coefficients BD* — D'* et CD* — D'* seraient négatifs h plus forte raison, ce qui rendrait la première des trois équations impossible, puisque le premier membre serait entièrement négatif et le second membre positif. D'un autre côté le coefficient CD* — D'* est toujours négatif; en effet s'il était positif, BD* — D'* le serait aussi et la première équation ne pourrait pas subsister. On voit donc que les circonstances initiales du mouvement ne peuvent influer que sur le signe du coefficient BD* — D'*. Si celui-ci est positif^ la troisième équation appartiendra à une ellipse, et les deux autres à des hyperboles; si BD* — ly* est négatif, la première sera une ellipse et les deux autres des hyperboles. 11 suit de là que la première ou la troisième équation appartient à une ellipse, et que par conséquent l'axe instantané tourne nécessairement autour de l'axe du plus grand ou du plus petit moment d'inertie A ou C, de manière à décrire un cône à base elliptique ; mais que dans aucun cas il ne tourne autour de l'axe moyen B, et par conséquent si l'axe instantané est écarté très peu de l'axe du plus
grand ou du plus petit moment d'inertie, il tend indéfiniment à y revenir en efTccluant autour de l'un d'eux une suite d'oscillations coniques, ce qui n'a pas lieu autour de l'axe d'inertie moyen. On sait (N** 452) que si le corps avait commencé à tourner autour de l'un des trois axes principaux , il aurait continué indéfiniment comme si Taxe avait été fixe, et il résulte de ce qu'on vient de voir, et de ce qu'on a dit au N" 167, qu'il y a entre les trois axes cette différence que, si l'axe de rotation est infiniment peu éloigné de l'axe d'inertie maximum ou minimum, il oscillera autour de ces axes sans s'en éloigner, tandis* que, s'il s'écarte tant soit peu de Taxe d'inertie moyen, il l'abandonne aussitôt et s'en éloigne de plus en plus. On exprime cette propriété en disant que le mouvement de rotation autour des deux premiers axes d'inertie est slable, tandis qu'il est instable autour de l'axe moyen.
170. 3fouvement d'un corps autour d'un point fixe^ provenant d'une percussion. — Les équations générales (8) du N"" 165 du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe peuvent servir h déterminer la position de l'axe instantané autour duquel il commence à tourner au moment où il reçoit une percussion, ainsi que la vitesse de rotation qu'il prend à cet instant; en effet, mettons ces trois équations sous la forme suivante , en supposant qu'une seule force de percussion (X, Y, Z) agisse sur le corps,
B-^ — (C — A) rp = zX — xZ,...[i)
Cj^-{X-B)pq = xY-yX.
On a vu (N'' 155) que, (X, Y, Z) étant les composantes suivant les axes principaux, de la force motrice qui nait de la percussion, les intégrales
\ Xdt^ \ Ydtf \ Zdt sont les composantes de cette percussion ,
c'est -à-dire les composantes de la quantité de mouvement que la percussion est capable de communiquer au corps dans la direction du choc. Si donc on représente par u cette quantité de mouvement ou
la mesure de la percussion» et par (a, 6, c) les angles que forme sa ùireclion avec les axes^ on aura
i Xdt = u cos a, i Y(/( = u cos 6^ l Zdl =» u
cosc.
Cela pose, supposons qu*au moment où la pci*cussion commence, le corps ait des vitesses de rotation quelconques mais finies; les termes (B — C)qry (C — A)rp et (A — B)pqf seront aussi finis pour cet instant, et pendant k durée de la percussion ils sont négligeables devant-^» -p> y» X, Y, Z; car les plus grandes valeurs de (p, 9, r)
sont les vitesses angulaires primitives jointes à celles qui sont acquises pendant la durée de la percussion, tandis que (X, Y, Z) sont les compo* santcs de la force qui naît de la percussion, force que Ton sait être très
considérable, et -t-> V » -r- sont les vitesses angulaires qui seraient
dt di dt b 1
engendrées si la percussion durait Tunité de temps. Si l'on multiplie les deux membres des équations (i) par (2^, et qu'on intègre en négligeant CCS termes et en remarquant que le point d'application de la percussion restant sensiblement invariable pendant la durée du phénomène, (x, y, z) sont constants pendant Tintégration, il viendra
Ap => ti (t^ cos c — z cos h) , Bf = ti (z cos a — X cos c) , Cr = u (X cos 6 — y cos a) ,
dans lesquelles les seconds membres sont évidemment les moments statiques de la percussion ti par rapport aux trois axes rectangulaires qui ici se confondent avec les trois axes d'inertie principaux. Ces équations serviront à déterminer les valeurs de (p, </, r) et par suite,
celle de la vitesse angulaire |/p^ + qr^ + r*, ainsi que les cosinus des angles formés par l'axe Instantané immédiatement après la percussion, avec les trois axes coordonnés, cosinus que nous savons être représen-
tés par -- ^ — 1 etc. Quant au mouvement subséquent, on le déterminera par les formules générales du N*" 1G5, en considérant
540 coAPiTaE xviii.
la vitesse de rotation due à la percussion comme étant le mouvement initial du corps.
Si l'on désigne par (U, U\ U") les moments de la percussion u par rapport aux trois axes, il vient
et en repi*ésentant par (a, (3, y) les angles formés par Taxe instantané avec les axes d'inertie principaux et par w la vitesse de rotation, on trouve
ti;=% / — -*-.^^-i--7;^ï cosa=a cosp=»elc,
11 est visible que u qui entre dans (U, U', U") disparait des valeurs de cosa, cos^, cosy; la direction de l'axe instantané est donc indépendante de l'intensité de la percussion; mais la vitesse angulaire w ne sera entièrement déterminée que lorsqu'on connaîtra la valeur de ti. Si la percussion provient d'une masse m animée d'une vitesse v et s'attachant au corps choqué supposé immobile, on a vu au N"* 155 que cette valeur de u est mv, pourvu que l'on ait soin d'augmenter la masse du corps entier de la quantité m. Si au contraire la masse m se sépare du corps après l'avoir choqué, la valeur du u sera différente de mv et se trouve déterminée plus loin au N*' 179.
Quant aux pressions, ou plutôt aux percussions qu'éprouve le point fixe, et qui sont représentées par fndt^ f^'dt^ fa^dtj on les déduit des valeurs de n, n', n" du N** i65, en suivant la mémo marche que plus haut, c'est-à-dire en négligeant les termes pqy,, prZf, (r* -4- qf*)x,, etc. On trouve ainsi
l nd( = i*coso — M/ ^z, — — y,j,
I u'dt^= ucosb — ^M TT «^^^ "~ "7 ^/ ) *
i i/'rf(= u cos c — M / - y, — j-or, j •
Les seconds termes de ces trois valeurs, mis sous la forme M{qZf — ry,), M{qXf — pz,)f M{ptj,— qXf) ne sont visiblement (N® 164) que les composantes de la quantité de mouvement que prend le centre de gravite. Ces trois équations ne font donc qu'exprimer que la percussion éprouvée par le point fixe est égale d la résultante de ta percussion exercée sur le corps et de la réaction de son centre de gravité.
471. Théorème sur l'axe instantané de rotation. — Ces valeurs conduisent h une détermination géométrique très simple de l'axe instantané. Si par l'origine et par la direction de la percussion on fait passer un plan, on trouve pour son équation, en désignant par (x', y, z!) les coordonnées courantes, et en observant que la direction de la percussion passe par le point (x, t/, z) et fait avec les axes des angles (a, 6, c),
(z cos 6 — y cos c) x' -4- (x cos c — zcos à)^/ -^(y cos a — x cos b)z' =0,
c'est-à-dire
Ux'4-Uy+U"z'=0.
Ce plan vient couper l'ellipsoïde des moments d'inertie relatif à l'origine, suivant un de ses plans diamétraux, et si l'on cherche les équations du diamètre de cet ellipsoïde , conjugué au plan diamétral précédent, en observant que l'ellipsoïde a pour équation
Ax'« -f- By'* -^ Cz'^ = n% on trouve
eu CU'
et on reconnaît que cette droite fait avec lés axes (X, Y, Z) des angles qui ont pour cosinus
eu CU'
Ces valeurs sont évidemment les mêmes que celles que nous venons de trouver pour î'axe instantané; on est donc conduit à ce théorème : l'axe instantané de rotation d'un corps retenu par un point fixe^ qui reçoit une percussion, est le diamètre de V ellipsoïde central^ conjugué au plan diamétral passant par la direction de la percussion»
On reconnaît de la mcnic manière que la vitesse w de roluliou est donnée par
en désignant par R le rayon de relUpsoïdc autour duquel tourne le corps et par Y le moment de la percussion par rapport h ce rayon. On voit donc que la vitesse de' rotation due à une percussion est proportionnelle au carré du rayon de l'ellipsoïde central autour duquel tourne instantanément le corps^ et au moment de la percussion par rapport à ce rayon.
472. Oscillations coniques d'un corps pesant. — Lorsque des forces motrices agissent sur le corps^ Tintégration complète des équations du mouvement et des équations (4) du N° 1G4 n'est possible que dans un petit nombre de cas, par exemple, lorsque le corps, soumis à la seule action de la pesanteur, ne s*écarte que très peu de la position d'équilibre et qu'il ne prend que des roonvemcnts de rotation très peu rapides autour des axes principaux. Alors, si l'on suppose que la verticale, quand le corps est en équilibre, soit un axe d'inertie principal G par rapport au point de suspension, en prenant les trois axes principaux dans cette position pour axes coordonnés fixes (X', Y', Z'j, les cosinus c, c', o", h" resteront infiniment petits, c" ne différera de l'unité que d'un infiniment petit du second ordre, les produits rq, pr cl pq seront négligeables dans les équations (8) (N"" 165) et en concevant le corps réduit à un poids M^ suspendu au centre de gravité qui a (0, 0, Zf) pour coordonnées fixes, les seconds membres se réduiront à — MgZfV'j Mgz^a" et 0, et ces trois équations deviendront (m)
A î^ = — M5fz,6", B-^=^lgz,a'\ 4:=^ o" r = const.
Les équations (4) (N** 164) deviennent aussi, en remarquant que les produits tels que a''^, 6"p, cq^ dp... sont négligeables comme étant du second ordre,
da , db de ,
dt ' dt ' dt ' ^^
da' ., db' , dd , .f . .
da" db"
Si dans (m) on remplace -r- et — par leurs valeurs— rr- cl n-
tirées (le ecs dernières, il vient
A rf,, = - Mi/z,6", B ^ M(,z,o",
qui ont pour intégrales
d'où Ton lire
Les quatre premières équations {n) se transforment dans les suivantes
d«a . rf*6
=» - r«o, -^j = — »'*o» etc., etc.,
qui ont pour intégrales
a =r=. cos (rf -4- v) , 6 = — sin (r^ -♦- y) ,
a'= sin [rt -f- v) , 6' = cos (r( +■ v) ,
dans lesquelles v représente la quantité angulaire très petite dont Taxe d'inertie A est écarté primitivement de Taxe fixe X'. Ces cquations font voir que les axes d'inertie  et B tournent uniformément autour de la verticale 71,
Les autres équations (n) donnent
c ==y ^. (3 sin y sin ( U /-^ -^ p' j— acos y sin ( e %/ ^^ c':=/--asinysin('(t/î^+a'V[3cosysin('«%^
OU plutôt, en observant que Técart prîmitirv est très petit,
c = — acosysin
i„(',y/ËE-H«'Y c'=-(3cosvsin(^«Y/^-*-P')
Si l'on désigne par (a/, ]f) les coordonnées variables du eenlre de gravité^ les équations (5) du N*" 464 donnent
x'=: z,c = — .az,cosy sin [ t \/ --— '^cil'\^ y^z/^ — Pz,eosysin 1 1 %/ -^ H-/3' j t
et une élimination de t donnera l'équation de la courbe sensiblement horizontale^ décrite par le centre de gravité. Lorsque  e= B , cette courbe est une ellipse ayant pour équation
(3V« -+- ay* — 2aP cos (P' — a') o/y' -= a«(3* sin» {(3' — a'), qui devient
pv« -^ «y» = a*ps
quand les axes Gxes X', Y' coïncident avec les axes de l'ellipse, ce qui
TT
a lieu lorsque l'on fait P' — «' =- .
On retrouve donc les lois du mouvement du pendule conique simple ou mathématique (N"" 155).
Si les moments d'inertie principaux  et B n'étaient pas égaux entre eux, l'axe principal d'inertie C n'effectuerait plus des oscillationd elliptiques, comme précédemment, mais des oscillations ondulées dont la forme s'obtiendrait encore en éliminant le temps t entre les valeurs de a/ et de y'. En appelant encore par analogie, durée d'une oscillation conique, l'intervalle entre deux retours consécutifs de l'axe G ou Z dans un même plan vertical et du même côté de la verticale, cette durée s'obtiendra en remarquant que l'angle y; formé k un instant quelconque par le plan qui contient G ou Z et Z' avec le plan fixe X'Z', est donné par
OU plutôt en faisant comme plus haut Ç/ — 0/ ==»^» puis preoant très petite la constante a' qui est arbitraire ,
tangyî=-
Si 1 on pose
celle-ci devient
y]=- ^ ^ =»^( cosse. cot(\/ -i-I-f-sinst ).
Gomme celte expression de tangvi passe visiblement par la même
valeur- toutes les fois que zi devient égal à 2n7r, n étant un nombre a
entier, il en résulte que Tintervalle entre deux retours consécutifs,
ou la durée d'une oscillation conique entière, est donnée par
£T = 27r, d'où T= ^^
475. Coordonnées et formules d'Euler. — Les équations différentielles (4) du N"" 164, que nous avons eu à intégrer dans les numéros précédents, pour déterminer en fonction du temps les valeurs des neuf
variables (a, 6, c), (a' ], étaient au nombre de 9; mais il suffisait
d'intégrer trois d'entre elles, parce que ces trois intégrales jointes aux six équations (2) déterminent complètement ces quantités. Euler, au lieu d'employer les 9 angles [a, b, c), (a'....) pour fixer la position des trois axes mobiles par rapport aux axes fixes, ne fait usage que de trois angles, savoir l'inclinaison 0 des plans XY et X'Y' et les inclinaisons 9 et ^ de rintersection de ces deux plans sur les axes X et X', ce qui réduit le nombre d'inconnues et par conséquent le nombre
546 CHAPITRE XVlll.
d'cquations à trois. Dans les Traités de géométrie analytique on démontre qu'il existe entre les anciens angles et les nouveaux les relations suivantes ^*^ :
a = cos 9 cos ^ — sin 9 sin ^ cos 8,
o' => cos 9 sin 4^ + sin 9 cos ^^ cos 9,
b = — sin 9 cos ^1^ — cos 9 sin ^ cos 0,
6' =» — sin 9 sin tj/ -*- cos 9 cos ^ cos 9 ,
a"==: sin 9 sin 9, (a)
6"= cos 9 sin 9,
c"==3cos9,
c = sin ^ sin 9 ,
</ = — cos ^ sin 9.
Si Ton substitue ces valeurs dans les 9 équations (4) , celles-ci se réduisent à trois équations différentielles distinctes auxquelles on peut donner la forme suivante :
sin Q~- = — p sin 9 cos 9 — q cos 9 cos 9 -*- r sin 9 ,
— = — gr Sin 9 -f- p cos 9 , (0)
sin 9-y- = p sin 9 -*- 9 cos 9.
Après avoir remplacé (p, g, r) par leurs valeurs en t tirées de (8), il faudra intégrer ces trois équations différentielles simultanées pour en tirer les valeurs de 9, ^^ 9.
174. Cas où le corps se meut sans forces motrices. — Dans le cas particulier où le corps se meut sans forces motrices, les trois équations (15) que Ton sait ne représenter que deux équations distinctes, sont deux intégrales des différentielles (4) du N*> 165 et par conséquent
{*) En désignant par R l'intersection du plan XT' par le plan XY, les quatre premières équations résultent de la considération des triangles sphériques XRX', XRY', YRX', YRY'. Les deux suivantes s'obtiennent eu considérant les triangles rectangles XRZ' et YRZ'. La septième est évidente , puisque Tangle compris entre Z et Z' est égal à Tangle formé par les plans XY et X'Y'. Enfin les deux dernières s'obtiennent en résolvant les deux équations
des différentielles (6) du numéro précédent. En remplaçant (a", 6", c") par leur valeur (a), ces intégrales deviennent (c)
Ap e=» D' sin 9 sin 8, Bq = D' cos ç sin 9, Cr = ly cos 6,
et il suffit d'obtenir encore une troisième intégrale pour que (p, ^^ B soient entièrement déterminés. Or, ces équations donnent les valeurs de d et 9 qui, étant substituées dans la troisième équation différentielle (6), lui font prendre la forme suivante
d| D« - Cr«
dr= "^ D" - C«r« W
en tenant compte des deux intégrales (40) du N"" 166. De plus on a vu au N** 166 que l'on a
i/D'« — BD« — c (C — B) r« |/AD« — D'« -h C (C — A) r«' il vient donc, en multipliant ces deux équations membre à membre,
D«~Cr« ^
c/^ = D'Ci/ÏB ....fe)
j/D'2— BD«-C(C— B)r«|/AD*— iy*4-C(C— A)r«
dans laquelle les variables ^ et r sont séparées. La solution complète de la question est ainsi ramenée à une intégrale elliptique.
175. Applications diverses. — Si deux des moments d'inertie principaux A et B sont égaux, toutes les intégrations deviennent possibles sans fonctions elliptiques; car on a vu au N"* 166 que dans ce cas r est constant; les intégrales (c) et {d) deviennent donc
Cr n= D' cos 0, -r- == const. ,
' dt '
d'où l'on conclut que ^ est proportionnel au temps, c'est-à-dire que rintersection du plan fixe X'Y' par le plan des deux axes pour lesquels les moments d'inertie sont égaux, tourne uniformément autour de l'axe Z', et que l'inclinaison 9 de ces deux plans est invariable. Les deux autres équations (c) étant divisées membre à membre, donnent
^=tang(p,
548 CUAPITRE XVllI.
d'où, en remplaçant p ei q par la valeur trouvée au N"* 166,
tang 9 = tang (t -- r) y ^^
ou
c'est-à-dire que l'angle 9 augmente aussi proportionnellement au temps.
Supposons encore que le corps soit soumis à l'action de la pesanteur^ que deux de ses moments d'inertie A et B soient égaux, et que le centre de gravité soit placé sur l'axe inégal à une distance l du point fixe. Prenons cette droite pour axe des Z, et la verticale dirigée vers le bas pour axe Z'. Les coordonnées (x, y, z) du point d'application du poids mg du corps seront (0, 0, 1], les trois composantes (X, Y, Z) de cette force seront mga^', mgV\ mgc!\ et les trois équations (8) se réduiront aux suivantes
A^-(C- A)pr = iinffa", [f)
dr C-T-=0 ou r = const. =»n.
dt
Multiplions respectivement les deux premières par p et 47, ajoutons-les membre à membre en remarquant que l'on a [(4) du N"" 163]
de"
il vient après avoir intégré,
Multiplions les mêmes équations (f) respectivement par o" et 6", puis
rfc" ajoutons-les comme plus haut en remplaçant a"q — o"p par — > on
trouve
A {a" dp ^ ¥dq) = (A - C) rrfc".
et en ajoutant A {pda" -f> 9^6") aux deux membres, et intégrant après avoir remplacé da", db", dd' dans le second membre par leur valeur (4 du N» 164), il vient
A (o"p -f- 6"^) == -- Cwc" ^ f, (;)
Si l'on élimine ensuite p et q entre (9), {h) et (j), en faisant usage de la relation
il vient ,, Arfc"
j/A*c — p -+- 2 (A/jm -*- C/h) c" — (A«e -h C«/i«) c"* — 2A/mgfc"^
dans laquelle les vilViables < et c" sont séparées et qui fait dépendre la valeur de c" en fonction du temps, de l'intégration d'une différentielle elliptique. Si l'on remplace (/' par sa valeur cos 6 (a), on trouve aussi
- — A sin 0 dQ dt=
|/A«e— /*-f-2(A/m3-i-C/w)cose — (A*e-4-C*n«)cos*0— 2A/»Mgfco&'e et en éliminant p et q entre (j) et les relations (4, N° 164)
OU
il vient aussi
A /"o" ^ - 6"^'^ = /c" - Cnc"« - An (i - c"*),
et si l'on remplace a" et 6" par leurs valeurs sin <p sin 6 (a) et cos cp sin 6, cette équation devient
A sin* 0^= Cwc"« -+- An{i — c"«) — /c".
rfcp =
et en multipliant membre h membre par (A;),
(fcos 9 — Cn cos* 9 — An sin « 6) dQ
sine |/A*e — /^ -*- 2(A/ffigf-+-C/'n)cos9 — (A*e -♦- C*n«) cos * 0 — 2A /mj cos ' 0
550 CHAPITRE xviri.
dans laquelle les variables sont séparées et le»second membre est une différentielle elliptique. Enfin en éliminant p et 9 entre (j) et les deux suivantes (4, N"" 164)
en tenant compte des deux relations
a' a!' -4- VW + c/c" = 0 , aa" -+- 66" -*- ce" = 0 , il vient
/ dd dr\
et après avoir remplacé a, 6, c, a'.... par leur valeur (a) en 0, <p, ^{/, on trouve
Asin«9-^==/'— CncosO,
dt '
et en multipliant membre à membre par {k)^
(CncosG — /"jrfe
sin e p/A«e— /^-fr-2(A/mgf-4- C/h) cos 9 -^ ( A*e -+- C*n«) cos» 0 — 2A/mg cos'O
dans laquelle les variables sont aussi séparées et le second membre est une différentielle elliptique. La solution complète du problème , c*està-dire la détermination de 9, ^, 0 en fonction du temps, est ainsi ramenée à la recherche de trois intégrales elliptiques {k), ({), (m).
Connaissant 9, ^, 0, les équations (6) donnent immédiatement les valeurs de p, 9 et r ou n.
Comme le corps est quelconque, on peut le réduire h un point matériel m placé à Textrémité d'une droite sans pesanteur d'une longueur L Dans ce cas les trois équations {k)j (/) et (m) se simplifient et font connaître toutes les circonstances du mouvement d'un pendule conique simple d'une longueur L Ces trois équations donnent aussi la solution complète du problème de la détermination du mouvement de la toupie.
Les formules de la fin du N** 165 font connaître les pressions exercées sur le point fixe dans le sens des trois axes d'inertie principaux. On trouve sans peine
Il = mjfa"'— m/ (-p-»-prj = mfgf j sm 9 sin 0 — j n«p j >
uf U^V \ f A— mZ* . ^ C , \
n' =» mj6" ■*- *wn -^ — 9^ ) = «M S T cos ç sin 0 — j***? ) '
gf cos 0 -4- 2jf — -cos 9 -+- /« j •
i76. Jlfot<t7em(!nf d'un corps solide libre, — Déterminons enfin le mouvement que prend un corps solide entièrement libre et soumis à l'action de certaines forces; pour cela, rapportons le corps à trois aies rectangulaires fixes dans l'espace et désignons par(X,Y,Z) les trois composantes de la force accélératrice qui agit sur l'élément dm
du corps et par (x, y, z) ses trois coordonnées. /TT^^j
T^^^i — TT dm sont les forces d'inertie de dm dans le sens des
or at^
trois axes fixes, et comme il doit y avoir à chaque instant équilibre
entre les forces motrices et les forces d'inertie^ on est conduit aux six
équations suivantes :
d*x dhi dH
dt^ ' dt^ ' dt^
1 f^rr^- y ^ j dm = 2(xY — yX) dm,
^(y^,-z^^dm = l(yZ^zY)dm,
2(2 -7— — X -7— ]dm = l (zX — xZ) dm, \ dl* dt^J ^ '
Soient (a, 6, c) les coordonnées du centre de gravité du corps, et (x', y', z') les coordonnées de l'élément dm rapporté à des axes parallèles aux premiers et passant par le centre de gravité. On sait que l'on a
x==x'-H-a, y = y'-*-6, z=3z'-f-c, d'où
d«x dV d*a d^y^ dH) d^ ££ d^ di^'^l^'^lï^' dP ~~ di« ■*" d«« ' 5?""d? ■*"€»«'
En substituant ces valeurs dans les six équations, et remarquant que les facteurs compris sous le signe sommatoire 2, qui se rapportent au
352' CHAPITRE XVIil.
centre de gravite, sont des facteurs communs et que Ton a par conséquent
2aYc^m = aZYc/m, etc. , on trouve toute réduction faite ,
2-j-T-rfm -h M-pr- = 2Xrfm, l-J}r-dm -h M j-T-=2Ydm, dv dl* a(* dt*
di* dt^ '
\ dt* ^ d(*y d«* d(« d««
— b2Xdm, etc., etc.
Gomme le centre de gravité est situé dans les plans des (X', Y'), (X',Z'),(Y',Z'), on a aussi
Ix^dm = 0, ly^dm = 0, Iz'dm = 0, d'où Ton tire en dérivant deux fois,
