r-dm==0, 2-7^ dm ^0, 2-TTdm = 0, d(* d(« d
ce qui réduit les trois premières équations aux suivantes :
M^ = 2Xdm, MjJ=2Ydm, M^«2Zdm, d(* di* d(*
et les trois dernières, en y remplaçant iXdm^ 2Ydm, 2Zdm par les valeurs précédentes, prennent la forme
1 (^^- ^ ^) ''»» = 2 (z'X - x'Z) dm.
On voit que les trois premières sont identiquement les équations du mouvement d'un point matériel d'une masse M, ayant (a, by c) pour coordonnées, et mû par les forces motrices IXdm, lYdm^ iZdm; d'où il suit que le centre de gravité du corps se meut de la tnéme manière que si toute ta masse y était concentrée^ et que toutes les forces y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes. Quant aux trois dernières équations, elles sont identiquement celles que Ton trouverait en supposant fixe l.'origine, c'est-à-dire le centre de gravité; d'où il suit que pendant le mouvement de translation du centre de gravité, le corps se meut autour de ce point de la même manière que si ce point était rendu fixe.
Cette remarque fait évidemment dépendre la connaissance du mouvement d'un corps entièrement libre dans l'espace, de la détermination du mouvement d'un point matériel et du mouvement d'un corps autour d'un point fixe. On voit, par exemple, que si un corps pesant de forme quelconque est lancé dans le vide suivant une direction quelconque, le centre de gravité décrira une parabole, tandis que le corps tournera autour de ce centre, en suivant les lois que nous avons établies pour le mouvement d'un corps pesant autour de son centre de gravité rendu fixe (NM 66).
Pour appliquer les deux principes précédents, proposons-nous de
déterminer les lois du mouvement de la roulette dans la machine dite
jeu des émigrés. On sait qu'il se compose de deux roues solidaires en
bois séparées par un cylindre Oa (fig. ii5^'') concentrique et plus petit.
Sur ce cylindre s'enroule un fil suspendu verticalement en A et attaché
au cylindre à l'autre extrémité. Si l'on abandonne la roulette à l'action
de la pesanteur, celle-ci descend en tournant et lorsque le fil est
entièrement déroulé, la roue, en vertu de la vitesse de rotation
acquise, continue à tourner, enroule de nouveau le fil et s'élève
verticalement pour descendre ensuite. Il est visible que les deux forces
qui agissent sur la roulette sont le poids P de la roue et la tension T
du cordon aA. L'équation du mouvement du centre de gravité est
P d*z donc — r-r s=» P — T. Quant à la rotation , si l'on conçoit le centre 0 g dt*
rendu fixe, le poids P sera détruit, et la seule force motrice sera la tension T du fil; l'équation du mouvement de rotation est donc
du>^ TR dt Imr^
r»'i^ CBiPITRE X\lll.
daDS laquelle w esl la vitesse de rotation, R le rayon Oa du cylindre, et Zmr* le moment d'inertie de la roacbioe par rapport à Taxe O. EoGn, à cause de l'inextensibilité du fil, il est visible que dz étant la quantité dont le centre de gravité descend pendant dty et Rtcdt la quantité dont le fil se déroule, on doit avoir
dz = Rwdt.
, d^z Ces deux dernières équations donnent T en fonction de -j-r » et en
or
substituant dans la première, on trouve que — et par suite T sont
constants.
On conclut de là que le mouvement du centre de gravité 0 obéît aux lois de la chute des corps graves et que la vitesse de rotation croit pendant la descente et décroit en montant proportionnellement au temps.
477, Mouvement d'un corps libre par suite d* une percussion. — On peut, en partant de la propriété énoncée plus haut, déterminer les lois du mouvement d'un corps libre qui reçoit une percussion; en effet, si u est rintensité de cette percussion, c'esl-à-dire la quantité de mouvement qu'elle est capable d'engendrer, en la transportant au centre de gravité, elle agira sur un point matériel d'une masse M à laquelle elle communiquera parallèlement à sa direction une certaine vitesse U, ou une quantité de mouvement MU qui sera la mesure de la percussion u ; la vitesse du centre de gravité engendrée sera donc
représentée par — qu'il faudra composer avec la vitesse antérieure de
ce point. Quant au mouvement de rotation autour du centre de gravité, comme il est le même que si ce point était fixe, on le déterminera comme on Ta fait plus haut; ainsi, en désignant par (x, y, z) les coordonnées du point d'application de t/, rapportées aux trois axes principaux du corps choqué relatifs au centre de gravité, par (a, 6, c) les angles formés par u avec ces axes, par (A, B, C) les trois moments d'inertie principaux et par (p, f , r) les composantes des vitesses angulaires autour des axes, engendrées pendant la percussion, on a vu (N" 170) que Ton a
u [y cos c — z cos 6) = Ap, m (z cos a — x cos c) = Bqr,
u [x cos 6 — y cos a) = Cr.
DYNAMIQUE. ô\}l)
Ces trois équations font connaître les valeurs de (p, q, r), et en les ajoutant aux vitesses de rotation antérieures, on aura la position de Taxe instantané et la vitesse de rotation immédiatement après la percussion, pourvu que u soit connu^ et le N<* 166 donne le moyen de déterminer ce mouvement aii-delà de cet instant.
Si la direction de la percussion est renfermée dans l'un des trois plans CB, AG, BA, deux des trois vitesses (p, q, r) sont nulles, et le corps prend un mouvement de rotation autour de Taxe perpendi* culaire au plan qui contient la direction de la percussion.
11 résulte d'ailleurs de ce qu'on a vu aux N*" 168 et 169, que si le corps est primitivement en repos, et si Taxe instantané de rotation après la percussion est un des trois axes d'inertie principaux du centre de gravité, il conservera, outre le mouvement de translation de son centre de gravité; un mouvement de rotation uniforme indéfini autour de cet axe d'inertie. Réciproquement, si le corps tourne constamment autour de la même droite, on doit en conclure que celle-ci est un axe prin« cipal relativement au centre de gravité. Quand la direction de la percussion passe par le centre de gravité du corps, les moments de u par rapport aux axes sont nuls et l'on a
y cos c — z cos 6 = 0, z cos a — x cos c = 0, X cos 6 — y cos o = 0.
Ces équations rapprochées des précédentes, font voir que les vitesses angulaires engendrées (p, q^ r) sont nulles, et que dans ce cas la percussion ne change rien à la vitesse de rotation primitive.
178. Mesure d'une percussion contre un corps libre, — 11 nous reste à trouver la mesure u d'une percussion contre un corps libre, ou ayant un point fixe, comme nous l'avons déjà trouvé (N" 154 et 155) lorsque le corps est traversé par un axe fixe. Si le corps choquant est un point matériel m animé d'une vitesse t?, et qui reste attaché après la percussion au corps choqué supposé immobile^ sa quantité de mouvement mv sera la valeur de ti, comme on l'a vu au N** 154, pourvu que dans les moments d'inertie on considère le corps choqué comme composé du corps primitif et du corps choquant réunis.
Quand la masse m se sépare du corps après la percussion, la valeur de u n'est plus mv, mais on l'obtient en remarquant comme au N° 155, que la pression des deux corps persiste jusqu'à ce qu'il se soit effectué entre eux un échange de vitesse tel que celle-ci devienne la même dans les deux corps, c'est-à-dire tel qu'au moment où finit la per-
556 CHAPITRB XVIII.
cussioo, il y ait égalité entre les vitesses des deux corps estimées daDS la direction de la percussion. Or, pour le corps choqué^ cette vitesse est la résultante de la vitesse de translation commune du centre de gravité et de la vitesse provenant de la rotation. Représentons par (U, U', U'') les trois composantes de la première suivant trois axes rectangulaires représentés par les axes d'inertie principaux du centre de gravité du corps. Les vitesses suivant ces axes provenant de la rotation sont q,z — r,y, rpc^-p^z, p,y — q/jc (fin du N» 464), (p„ ?„ r,) représentant les sommes des vitesses angulaires antérieures à la percussion que nous désignerons par (p, 9, r), et des vitesses angulaires gagnées par l'effet de la percussion, vitesses qui sont données par....(l}
ti (y cos r — z cos 6) u (z cos a — x cos c) u{xcosb — y cos a  B ' C
La vitesse dans le sens de la percussion, c'est-à-dire estimée suivant une droite qui fait avec les axes des angles (a, 6, c) est donc
(U -+- qfZ — r,y) cos a -4- (U' -h r^ — PfZ) cos 6
-+- (U" -H p,y — qfX) cos c,
et comme (U, U', U") sont les sommes des composantes suivant les axes de la vitesse du centre de gravité, antérieure à la percussion et de la
vitesse engendrée -jt^ ) en désignant les premières par V cos {, V cos m,
V cos n, on a aussi (2)
U = V cos /-+--- cos a, U' = V cos m -f- — cos 6,
U" = V cos n -t- — cos c,
et l'expression précédente de la vitesse suivant la droite (a, 6, c) devient (3)
^ -+- 1 (î^— r,y) cos tt H- (r;r — p,z) cos 6 h- {p,y — q/c) cos c j
•+■ V (cos / cos a -t- cos m cos 6 -t- cos n cos c).
Quant au corps choquant m, comme sa vitesse avant la percussion est
V faisant avec les axes des angles (a, P,/)» et que pendant la percussion
DYNAHIQUB. 557
une force u a agi sur sa masse m dans une direction directement op-
u posée à (a, 6, c), cette force aura fait naître une vitesse — dans cette
direction^ et la vitesse totale après le phénomène sera la résultante
u des deux vitesses v et — Les composantes suivant les axes de la pre-
mière sont v cos a, t; cos P, v cos y; les composantes de la seconde
sont— cos a, — cos 6, — cos c, ou plutôt cos a, cos 6,
cos c, parce que cette force u est directement opposée à celle qui
agit sur le corps choqué; les vitesses totales suivant les axes sont donc
V cos a cos a, t; cos 8 cos 6, t? cos y cos c, et la vitesse
dans le sens de la percussion est par conséquent
( V cos a cos a ) cos a + ( V cos 3 cos 6 | cos 6
ou bien
I r cos y cos c I cos c,
V (cos a cos a -4- cos P cos 6 -h cos y cos c) >
tt
qu'il faut, d'après ce qu'on a vu, égaler à la vitesse analogue trouvée plus haut pour le corps choqué. Si l'on remplace ensuite p,, y,, r,, par leur valeur indiquée plus haut , l'équation finale donnera la-valeur de ti. On trouve, toute réduction faite,
V (cos a cos a + cos 6 cos P -♦- cos ccos y) — V(cos a cos ^ + cos 6 cosm + cos c cos n)
i i (zcos6 — y cos c)' (xcosc -^ z cos a)'
— {qz — ry) cos a — (rg — pz) cos 6 — {py — qx) cos c {y cos a — X cos 6)*
En désignant par W la vitesse du corps choquant, estimée dans la direction de la percussion et représentée par le premier terme du numérateur, et par W la vitesse totale primitive du corps choqué au
360 CHAPITRE XVIIK
mesurera par le produit de la masse M du corps choqué et de la vitesse que la force u aura communiquée à M; on a donc
w = MV.
La rotation se faisant invariablement autour de la droite des pôles de la terre, il faut en conclure que cette droite est axe d'inertie principal par rapport au centre de gravité; or, d'après le théorème démontré (N° 171), l'axe instantané doit être conjugué dans l'ellipsoïde central, au plan diamétral passant par le centre de gravité et par la direction de la percussion , et comme dans un ellipsoïde un diamètre principal est perpendiculaire à son plan conjugué, on voit que la direction de la percussion doit avoir été renfermée dans un plan perpendiculaire à l'axe de la terre et passant par son centre, c'est-à-dire que la percussion doit avoir eu lieu dans le plan de l'équateur.
Il reste encore à trouver la distance à laquelle la direction de la percussion a passé ; désignons cette distance par /*, par r la vitesse connue de rotation et par MA* le moment d'inertie par rapport à l'axe de la terre pris pour axe des Z. On a vu (N° 170) que l'on a, U" étant le moment de la percussion par rapport à cet axe,
Cr = U", qui revient à
Cr = /il, d'où l'on tiro, en remplaçant u par sa valeur MV et G par MA^,
On trouve ainsi que fesi égal à -— du rayon de la terre environ.
180. Axe spontané de rotation» — On a vu que le mouvement d'un corps dans l'espace peut toujours être décomposé en un mouvement de translation du centre de gravité et en un mouvement de rotation autour d'une droite passant par ce centre et changeant continuellement de position. On peut aussi concevoir le mouvement réel comme produit par un mouvement de rotation du corps autour d'un certain point, combiné avec un mouvement de translation de ce point; en effet, v étant la vitesse du centre de gravité, (a, (3, y) les angles formés par la direction de cette vitesse avec les trois axes d'inertie
DYKAMIQCE. 364
principaux de ce centre et (p, 9, r) les vitesses angulaires du corps autour de ces axes ; comme la vitesse absolue d'un point se compose de la vitesse commune de translation et de la vitesse provenant de la rotation autour de ce centre considéré comme fixe, les composantes de la vitesse absolue d'un point qui a pour coordonnées (x, y, z) seront
V cos a -4- (qz — ry), d cos (3 -h (rx — pz) et v cos y 4- {py — qx).
Si l'on transporte l'origine en un point ayant pour coordonnées (a, 6, c), en conservant le parallélisme des axes, on aura pour ces mêmes composantes, (x', y', z!) étant les nouvelles coordonnées du même point,
V cos a -h qc — rh -¥- {qz! — ry), etc., etc.
à cause des relations
Or, ces dernières vitesses peuvent être considérées comme provenant d'une rotation autour de la nouvelle origine, engendrant suivant les axes des vitesses représentées par [qz' — rt/), {rxf — pz'), {py' — qrx'), et d'une vitesse de translation de cette nouvelle origine, cette dernière vitesse étant telle que ses composantes soient v cos a -4- {qc — rb), etc. On voit que la nouvelle vitesse de rotation aura encore (p, 9, r) pour composantes autour des nouveaux axes, c'est-à-dire qu'elles sont les mêmes qu'autour des axes parallèles passant par le centre de gravité. 11 résulte de ce qu'on vient de voir qu'il y a un nombre infini de doubles mouvements qui produisent le mouvement effectif. Parmi eux se trouve un système remarquable ; c'est celui où la direction de la vitesse de translation de l'origine se confond avec la direction de l'axe de rotation; comme cet axe fait avec les (X, Y, Z) des angles dont les cosinus
sont — ^ > etc., la circonstance qu'on vient d'indiquer
arrivera lorsque l'on aura les égalités
V cos a H- qfc — rb p
y etc., etc..
|/(i;cosa H- çc — r6)*-+- ( )*-♦-( )* (/p* -f q^ -+- r*
qui serviront à déterminer les valeurs de (a, 6, c), ou la position de la nouvelle origine relativement aux axes principaux du centre de gravité. 11 est facile de s'assurer que deux de ces équations renferment la troisième ; au lieu des valeurs de (a, 6, c), on ne trouve donc que deux relations entre (a, 6, c), que l'on rend linéaires en les divisant deux h
deux, membre à membre, c'est-à-dire que cette propriété existe pour une suite de points situés sur une ligne droite dont les équations sont
(f. ûf (pcos a -♦- ocos8-t-r cosy)\ cos p — -î— ^- i-- — î--- 1-' I > p' -f- qf* -f- r' J
f / p (pcosa-*-(7COs8-4-rcosy)\
r6 — ûrc = t? I cos a — ^--^^- = — ^-r — î--- '-^ 1 »
et qui n*est autre que la droite autour de laquelle s'effectue le mouvement de rotation. Cette droite se nomme axe spontané de rotation. Elle est parallèle à l'axe instantané qui passe par le centre de gravité, puisque l'un et l'autre font avec les axes (X, Y, Z) des angles qui ont
pour cosinus
[/p^ -f- g* -4- r* j/p* -H 9* -+- r* j/p' -H q* et la distance entre ces deux axes ou la distance entre Taxe spontané et le centre de gravité, est représentée par
j/p* -♦- ç* -4- r' — (p cos a H- </ cos (3 -♦- r cos y)' v sin d
p* -H ç* -4- r* ir
ti? étant la vitesse de rotation ou j/p* -f- ç* -♦- r*, et $ l'angle formé par la direction de la vitesse v du centre de gravité avec l'axe instantané> angle qui est visiblement donné par
^ p cos a -f- ûf cos 8 -f- r cos y cos5=î- ^ ^ ^»
puisque cos «,•••• •••• sont les cosinus des angles for-
j/p* -+- qf* -4- r*
mes par ces deux droites avec les axes coordonnés.
Quand on aura remplacé dans les deux équations de l'axe spontané, V, <x, p, y, p, 9, r par leur valeur en fonction du temps, celles-ci ne seront plus que des relations entre (a, 6, c) et f, et elles seront à chaque instant les équations de l'axe spontané rapporté aux axes principaux du centre de gravité. Comme on peut déterminer à chaque instant la position du centre de gravité et la direction de ces axes mobiles relativement à trois axes fixes (4 du N^ 164], on connaîtra la position de l'axe spontané par rapport à ces derniers axes.
Ce qu'on vient de voir est vrai, soit que le mouvement du corps résulte de l'action de certaines forces motrices, soit qu'il résulte d'une
DYNAUIQUE. 3G5
percussion. Dans le premier cas, les valeurs de (p, q^r) sont données au N*" 165; dans le second, elles le sont au N"* 470. Gomme les composantes de la vitesse de Torigine sont
t? cos a -4- qfc — r6 , etc., etc.,
la vitesse avec laquelle le corps glisse le long de Taxe spontané est visiblement représentée par
l/{v cos a-^ qc — rb)* •+• {v cos ^-^-ra — pc)* -+- (i? cos y -h p6 — ça)* qui, au moyen des équations précédentes, se réduit à
p cos a -f- ûf cos 3 -h r cos y *,
v*^ ' ^ = V cos o.
(/p* -H jf* -+- r*
Ce qu'on vient de voir du double mouvement que prend à chaque instant un corps qui se déplace d'une manière quelconque, est du reste la conséquence des théorèmes établis en Statique. On sait en effet (N** i05) que les quantités de mouvement qui animent les différentes parties d'un corps sont les mesures de véritables forces, et on a vu en Statique (N<* 54) que les forces qui animent un corps peuvent être remplacées par une force unique appliquée en un certain point et par un couple. Si donc on mène par le point une perpendiculaire au plan du couple, celui-ci engendrera une rotation autour de la perpendiculaire, qui devient Taxe instantané de rotation, tandis que la force unique produira une translation simultanée.
On a vu aussi (N** 54) que, si l'on change la position de ce point, l'inclinaison de Taxe instantané sur la force unique change de grandeur, et pour un point déterminé et unique il y a coïncidence complète et l'axe sera alors celui que nous avons appelé spontané,
484. Axe spontané d la suite d'une percussion. — Si la vitesse de translation v du centre de gravité et les vitesses de rotation to^p^ q^r autour de l'axe instantané et autour des axes d'inertie principaux du centre de gravité, étaient dues à une percussion u, il faudrait d'après ce qu'on vient de voir, donner à ces quantités les valeurs suivantes :
u «(ycosc — xcos6) w(«cosa — xcosc) u(xcos6 — t/cosa)
^=irr p  «=-^ — B ''-- — c-^^ — •
/-s z 7 /(ycosc — -zcos6)' (zcosa— xcosc)* (xcos6 — wcosa)*
= /p*-+-gf«.*-r« = wy/ j^ ^-4-^ g^ i- + i ^ L
364 CHAPITRE XVUl.
et on aura les équations de Taxe spontané après la percussion , rapporté aux axes d'inertie principaux du centre de gravîlé, en substituant ces valeurs dans les équations du numéro précédent, et remarquant que les angles (a, ^, y) se confondent avec (a, 6, c), parce que l'on sait (N*» 477) que la direction que prend le centre de gravité représente la direction de la percussion.
Ce qui distingue Taxe spontané, e*est qu'il reste immobile pendant l'instant qui suit la percussion , et que par conséquent pendant cet instant celle-ci est sans action sur lui. Il résulte de cette remarque que Vcixe spontané représente la droite qui n'éprouve pas de choc, et qui reste par conséquent immobile pendant que le corps éprouve une percussion appliquée au point (x, y, z) et dirigée suivant les angles (a, 6, c).
On voit donc que les équations de cet axe font connaître l'axe sans percussion , connaissant la direction de la percussion exercée sur le corps.
Appliquons les formules précédentes à la sphère supposée homogène. Par la direction AB (fig. i 16) de la percussion et le centre de gravité G, faisons passer un plan, et prenons pour axes principaux du centre de gravité une parallèle GX , une perpendiculaire GY à AB et une perpendiculaire GZ au plan XY. Il est évident qu'en considérant le point B comme étant le point d'application de la percussion , il faudra faire
x = 0, y=BG=/, z=0, a = a=0, l3=-6=^, y = c = y
Comme dans la sphère homogène les trois moments d'inertie sont
égaux, on a aussi
et il vient
ul î> = 0, 9 = 0, r = ---,
d'où Ton conclut que l'axe instantané et par conséquent l'axe spontané est parallèle à l'axe des Z. Les deux équations de l'axe spontané deviennent
a=:0 et 6 = — — -j
qui apprennent que cet axe passe par un point C situé dans l'axe des Y, à une distance GC =r7^ du centre. Le point B est visiblement
ail
le centre de percussion relatif à un axe de suspension passant par G et perpendiculaire au plan des XY. La vitesse de glissement le long de Taxe est nulle.
482. Théorèmes sur la force vive d'un corps solide en mouvement. — On a vu (N"" 180) qu'en désignant par v la vitesse du centre de gravité d* un corps, par (a, P, y) les angles formés parla direction de cette vitesse avec trois axes rectangulaires passant par le centre de gravite et fixes dans le corps , par (p, 9, r) les vitesses angulaires du corps autour de ces axes, et par (x, y, z) les coordonnées d'un point du corps, les composantes de la vitesse totale de ce point peuvent être représentées par
V cos a -h {qz — ri/), v cos (3 h- (rx — pz), t? cos y -h {py — qx) ; la force vive du corps est donc représentée par y j (v cos a -♦- qz — rj/)* -+- [v cos j3-t- rx — pz]'-»- {v cos y -npy — qfx)' j dm,
c'est-à-dire par
fv'^dm -4-y j (qz — ry)* + (rx — pz)* 4- {py — qfx)' [ dm
— 2yr cos afydm -h ^vq cos a f zdm -♦- etc.
Or les sommes fxdm, fydm^f zdm sont nulles, et fv'^dm est égal à v^J'dm ou Mv^; le moment d'inertie du corps se réduit donc à
Mu* -v- y j (?« — ryY -+- (rx — pz)' -4- {py — qx)^ j dm.
Mv^ est la force vive du corps concentré dans son centre de gravité, et comme ry — gz, pz — rx, qx — py sont les vitesses du point (x, y, z) parallèles aux trois axes coordonnés, provenant de la rotation du corps autour de l'axe instantané, il est visible queyj(q'z — rr/)'-h (rx — pz)*
■*" ipy — qx)*\dm est la force vive du corps due à ce mouvement de rotation. De là résulte ce théorème : la force vive d'un corps solide en mouvement se compose de la force vive du centre de gravité et de la force vive du corps tournant autour du centre de gravité.
En développant les carrés des binômes et en prenant pour axes coordonnés les trois axes principaux d'inertie du centre de gravité, on reconnaît que cette dernière force vive se réduit à
Ap« -h Bq* -*- Cr«.
Si l'on décompose le mouvement d'un corps en un mouvement de rotation autour de l'axe spontané et un glissement le long de cet axe.
566 CHAPITRB XVllI.
il est facile de voir que sa force vive est aussi représentée par la force vive due à cette rotation, plus la force vive due au glissement; en effet, on a vu au même numéro^ que la vitesse d'un point (a/, y', z') peut se décomposer dans les trois suivantes :
17 cos a -+- qc — rb -h {qz^ — ry'] , t? cos P -H ra — pc -^ [rs/ — pz') , t? cos y H- p6 — qa-i- [p%/ — qjf)^
et par conséquent la force vive peut être représentée par y I (v cos oL-^-qc— r6)*-i- (t? cos ^-^-ra — f>c)*-i- (v cos y -+- p6 — qaY j dm
-h 2y j (v cos OL-^ qc — rh) [qz! — ry') h- (i? cos (3 -*- ra — pc) (rx' — pz')
H- (v cos y h- p6 — qa) {pt/ — qxf) j dm.
La première ligne représente visiblement la force vive provenant du glissement le long de l'axe spontané; la deuxième représente la force vive due à la rotation autour de cet axe, puisque qzf — r^, rxf — pzfj py' — qoif sont les composantes de la vitesse du point (x', y\ zf) provenant de cette rotation, et la troisième ligne est nulle, ce dont on peut s'assurer en remplaçant qc — rh, ra — pc et pb — qa par leur valeur donnée par les équations de Taxe spontané. Enfin, si le corps a un point fixe, la force vive est représentée par
J*\{qz — ryy dm •+• (rx — pz)* dm -h {py — qx)^ dm \ ,
et en développant les carrés des binômes et prenant pour axes coordonnés les trois axes principaux d'inertie, cette expression se réduit o
Ap« + Bg« -h Cr«.
Exemple du mouveinent d^un système de forme variable. — Mouvement d*un fil flexible. Tbéorie élémentaire des cordes vibrantes. Durée d'une vibration transversale. — Nœuds de vibration. Vibrations longitudinales.
185. Mouvement d'un fil flexible. Théorie élémentaire des cordes vibrantes. Durée d'une vibration transversale, — Nous prendrons pour exemple du mouvement d'un corps de forme variable celui d'un fil flexible, ce qui nous conduira à la théorie des vibrations d'une corde flexible et tendue entre deux points fixes, que l'on écarte très peu de la direction rectiligne et qu'on abandonne ensuite k elle-même^ en imprimant à quelques-uns de ses points des vitesses initiales. Désignons par fx la masse de l'unité de longueur de la corde au point (x, y, z).
d*x La réaction due à l'inertie de cette unité de longueur est — y--rz^
ar
— |EJi-rT> — fJ--r2 9 les forces extérieures et les forces d'iner-
/ rf*A j
tie qui agissent sur l'élément ds sont donc fX — f^T/Ti / '
fY — (Xjljrfs, (z — fx— j dSf et si l'on suppose la corde
élasticité ou du moins si l'on suppose cette élasticité assez faible pour
être négligée , comme il y a alors équilibre entre les forces précé-
d*x dentés (N"441), on aura, en substituant X — fx-rr-' etc., h X, etc.
sans
dans les trois équations d'équilibre d'un fil soumis aux actions des forces X — fx— -, etc. (N« 69)
T cos a H
Tcos6
dx
ds "
ds
dz ds
Tcos c
qui vont nous faire connaître toutes les circonstances du mouvement de la corde.
Si on la suppose écartée très peu de la position reetiligne, et soustraite à l'action de toute force motrice, (X, Y, Z) seront nuls, (a, by c) seront sensiblement constants, la tension t sera sensiblement la même que dans l'état d'équilibre, par conséquent égale à une constante co, et ces trois équations étant dérivées par rapport h Tare s, deviennent en remarquant que les trois intégrales sont prises par rapport à cette variable,
^dt^ ds^ ^dt^ ds^ ^ dl^ ds^
Ces* trois équations aux dérivées partielles du second ordre donnent les valeurs de {x, y, z) en fonction de l'arc s et du temps t. En prenant pour axe des Z la droite qui joint les deux points fixes (Gg 117), et pour origine l'un des deux points, les variables $ et z se confondent sensiblement ainsi que ds et dz; les deux premières équations deviennent alors, en représentant- par a*,
di^ dz^ dr- dz^ ^^
Quant ù la troisième, qui représente les lois du mouvement d'un point de la corde dans le sens de l'axe des Z ou dans le sens de sa longueur, elle est étrangère à la question qui nous occupe.
Pour intégrer l'une des équations (i), nous supposerons la corde uniformément épaisse, ce qui rend fi et à^ constants. La première est satisfaite en posant {Traité d'analyse^ 2*»« édition, N» 223)
x = Ae'"'+'",
A, m, n étant des constantes quelconques^ pourvu que m et n vérifient réquation
n^ = a^ni^y
ou pourvu que Ton ait
ns=:ufn ou n=: — am ;
d'où l'on conclut que Tintégrale générale est
X =3 A6***+«*"* -♦- Be*"--«"*' -H A'e*''"^^*""'' -f- B'e"*'»-»"»" -*- etc., -f- Ce""""*"' -+- De""*'''^'*** -+- C'c~"*'*~ '»"•'' -H D'c"*»'*"^*"^' h- etc.,
A, B, G, D.... m, m'.... étant des constantes arbitraires, c'est-à-dire des quantités indépendantes de z et de t, dont la valeur dépend de la forme et des vitesses initiales données aux. différents points de la corde. Cette intégrale peut être écrite de cette manière
X = e"»« (Ac*"»' -4- Be-«*"') -h e--» (Ce-«*»' -h De"*"') -h etc., ...(2)
et comme tn, m', etc. sont arbitraires, si on les remplace par m j/— 1,
m' j/ — 4, etc., et qu'on substitue ensuite aux quantités exponentielles leur valeur trigonométrique, il viendra, en réunissant les termes semblables,
X = P cos amt, cos mz + Q sin ami. sin ms 4- R cos amt. sin mz
•+- S sin amt. cos mz h- etc.,
P, Q, R, S, m, etc. étant des constantes dont les valeurs dépendent du dérangement initial de la corde. Gomme les deux extrémités sont des points fixes, si l'on désigne par / la longueur de la corde^ il est visible que pour z<=0 ctz=/, il faut quexsoit nul indépendamment de toute valeur de (; or pour z nul, x devient
P cos amt -4- S sin amt •+• P' cos am't -*- S' sin am't -+■ etc. = 0,
équation qui ne peut être satisfaite pour toute valeur du temps t et pour toute valeur constante de m, m'...., qu'en faisant évanouir les coefficients P, S, F, etc. Quand z est égal & /, on a aussi pour x, en tenant compte des valeurs de P, P', S, etc.^
sin wi/ (Q sin amf +Rcos amt) -4-sinm'/(Q'sin am't -4- R'cos am't) -♦- etc. =0,
équation qui n'est satisfaite quel que soit f, que si sin mf, sin m'/, etc. sont égaux à zéro, c'est-à-dire si m/, m'I sont des nombres entiers de
demi circonférences, c'est- à-dire si m, m', m", etc. sont égaux à
7* "T* T ' ^^^' ï-'in^cgrale générale a donc la forme l l i
x = sin— I Qsm— ~-H Rcos— r- j
sm-T-f Q'sm — --f- R'cos—y- j-f. etc.
. 27rz
Pour déterminer les coefficients Q, R, Q' R'.... d'après l'étal initial de la corde, observons que cet état qui correspond à t = 0, est donné par l'équation
X = R sin — -*- R' sin — j- -♦- R ' sin — — h etc. ;
si donc on représente par x=^ (pz la projection connue de la courbe dans le plan XZ au moment de l'ébranlement, ces deux dernières
équations devront s'accorder identiquement; or, en remplaçant -y
/ par z' et en développant cp— z' suivant les sinus des arcs multiples de z'
{Traité d'analyse^ 2"" édition, N® 145), l'équation ac^cpz est remplacée par
X = fc sin z' -t- c sin ^z! -^ d sin Sjî' -+- etc.
dans laquelle h, c, J.... sont connus; il faudra donc égaler ces coefficients à R, R', R''.... qui seront ainsi déterminés. D'un autre cdté, si l'on dérive par rapport à Ma valeur générale de x et qu'on fasse ensuite i = 0 pour se placer à l'instant initial, on trouve
dx an ^ , nz 2a7r^, . 27rz
qui indique la vitesse initiale suivant X du point de la corde correspondant à z; or ce mode d'ébranlement doit être connu. En le représentant par v = \^z el en développant, comme plus haut, cette fonction suivant les sinus des arcs multiples de z', on calculera de la même
manière les coefficients Q, Q', Q"
On peut, sans fixer les valeurs des constantes Q, R, Q', R', Q", R".... reconnaître plusieurs propriétés importantes. Remarquons d'abord
que réquatioD générale (3) donnant la forme de la courbe à Tépoque ty on aura Téquation de la courbe à Tépoque t -i — en y remplaçant t par cette valeur; mais on reconnaît qu'en donnant à f un accroîssement égal à un multiple quelconque de — ) la valeur de x reste identiquement la même; d'où Ton conclut qu'après cbaque intervalle de temps égal à — 9 la projection de la corde dans le plan XZ reprend la
même forme. Gomme il en est de même de la projection dans le plan YZ,
2/ on voit que la durée d'une vibration est représentée par — ou par
sin
2/% / -> c'est-à-dire que /a durée d'une vibration est proportionnelle à la longueur l de la corde et à la racine carrée de la masse /ix de l'unité de longueur. Cette durée est inversement proportionnelle à la racine carrée de la tension o) de la corde.
Remarquons aussi que, si l'on remplace ( par ( + - ou par ( augmenté
/ d'un multiple impair quelconque de -9 l'équation de la corde devient
. îr«/ . anl aKt\ X = — ^*""ri Qsm-y- -+-Rcos -j- 1
in— p( Q sin — ^ — h R'cos — j— j — sin— r- (etc.),
dans laquelle les termes sont alternativement positifs et négatifs; mais si Ton change j: en / — z, ce qui revient à transporter l'origine A à l'autre extrémité B de la corde AB (fîg. 117), tous les termes changent de signe et par conséquent x ou ab et a'6' prennent la même valeur pour z et pour / — z ou pour Aa = Ba', si ce n'est qu'elles sont de signe contraire; d'où l'on conclut que la corde A6B prend de l'autre côté
de l'axe, et après des intervalles de temps égaux à-» —9 — >
une forme Bb'A inversement symétrique à celle qu'elle avait du premier côté.
184. Nœuds de vibration. — Si les circonstances initiales de l'ébranlement sont telles qu'un certain nombre de constantes Q,
R, Q'y R' soient nulles, et que la valeur de x se réduise
. nitz/ . nant naT:t\ . 2/i7rz/ \
x = 8in-|— ( Q<"+*^sin —z — h R^*-»-*^ cos —r— j-i-sin— y— i j-*- etc.,
n étant un certain nombre entier, il est visible que, pour les points z
nz de la corde, pour lesquels -y est un nombre entier, tous les sinus
. rncz . ânTTz . , ,
sm— y— > sin —j—y etc., seront nuls et par conséquent x sera nul
quelle que soit la valeur de f; d'oii il suit que si Ton divise la corde en un nombre n de parties égales, chaque point de division restera imm obtlc comme s'il était fixe, et je dis que chaque division de la corde vibrera de la même manière que si la division était isolée et que ses deux extrémités
fussent fixes ; en effet- étant la longueur d'une division, si Ton désigne
celle-ci par {', la formule précédente deviendra
X = sin — ( Q«-+*» sin-F "^ ^ ^^^HT )
. 27rz/,. ^,. . ^ant ^,. ^,, 2a7r(\ -♦- sin-y-( Q<*''+*' sin —p -^ R^*""^*' cos -y- j -h etc.
11 est visible que si z est plus petit que /', cette équation fera connaître les vibrations de la première division, et en remplaçant zpar 2/'+ 2, 4/'+z,etc., réqualion restera visiblement la même, et cependant donnera les vibrations de la S'', 5% etc. division, qui, par conséquent oscilleront de la même manière que la première. Pour ce qui est de la 2", 4", etc. division, si Ton remplace z par 2/' — z, 4/' — z, etc., réqualion restera aussi la même, sauf les signes qui seront tous changés; ce qui prouve que les ondulations de la 2<>, 4"^, etc. division sont identiquement les mêmes que celles de la 1'**, 5**, S'', etc. division, mais qu'elles sont inverses. Les points immobiles dont nous venons de reconnaître Tcxistence, se nomment nœuds de vibration,
La seconde équation aux dérivées partielles conduit & une intégrale de même forme, qui fait connaître les lois des vibrations de la corde dans le sens de Taxe des Y.
Outre les vibrations transversales dont nous venons de nous occuper, la corde prend encore un mouvement vibratoire dans le sens
loogitudinal, c'est-à-dire que chaque point de la corde se rapproche et s*é!oigDe alternativement des deux extrémités fixes. Ln troisième des équations précédentes (1), convenablement préparée, fait connaître toutes les circonstances de ce mouvement, qui dépend d'une équation aux dérivées partielles du second ordre de même forme que ci-dessus, et Ton trouve que la durée d'une semblable vibration est encore proportionnelle à la longueur totale de la corde , et à la racine carrée de la masse fx comprise dans l'unité de longueur de lo corde supposée uniforme. Elle est aussi inversement proportionnelle à l'extensibilité de la corde, c'est-i-dire à la force nécessaire pour l'allonger dans un certain rapport constant.
Propriétés générales du mouvcmeul d^un système de corps. — Mouvement d'un système de corps, décomposé en un mouvement du centre ^e gravité et un mouvement du système autour de ce point. — Conservation du mouvement du centre de gravité. Cas d*une percussion contre un corps extérieur. — Conservation des aires. Plan du maximum des aires. — Propriétés générales du mouvement relatif. Conservation des aires dans les mouvements relatifs. Plan invariable. — Principe de la conservation du mouvement de rotation. — Principe général des forces vives. — Conséquences de Téquation des forces vives. — Principe des forces vives dans le cas d'une percussion. Théorème de Carnet. • — Maximum et minimum des forces vives. — Maximum et minimum de force vive dans une machine à poids, à liens inextensibles. — Principe des forces vives dans les mouvements relatifs. — Principe de la moindre action. — Appli* cation à la théorie du choc. — Application du principe des forces vives au calcul de TciTet des machines.
185. Propriétés générales du mouvement d'un système de corps. — On sait (N** i41) que dans tout système de corps en mouvemenl il y a à chaque instant équilibre entre les forces extérieures, les forces intérieures et les forces d'inertie. De plus il est évident que bien que ces forces soient appliquées à un système de forme variable , les six équations d'équilibre que nous avons trouvées pour un système de forme invariable (N*» 64) doivent encore avoir lieu , parce que les forces se faisant équilibre dans un syslème de forme variable , se feraient à plus forte raison équilibre si le système devenait rigide. 11
suit de là que si l'on désigne par m, m' les masses des points
matériels, par (a:, y, z), (a/, y', zf) leurs coordonnées rapportées à
des axes fixes, et par (X, Y, Z), (X', Y', Z').... les composantes suivant les axes, des forces motrices qui agissent sur ces points, on doit avoir
les signes 2 indiquant des sommes de quantités de même nature, étendues au système entier. Les forces intérieures ou les tensions des liens intérieurs disparaissent totalement de ces six équations, car étant égales deux à deux et de signes contraires, elles se détruisent dans les trois premières, et comme elles sont directement opposées, elles ont deux à deux le même moment de signe contraire, par rapport aux trois axes, ce qui les fait disparaître des trois dernières.
Ces six équations font connaître certaines lois qui régissent le mouvement d'un système de points matériels et qui étant indépendantes de leur mode de liaison et des actions mutuelles, doivent être considérées comme des propriétés générales du mouvement (Tun système de corps.
En multipliant par dt les six équations précédentes, et intégrant entre deux limites quelconques, comme au N<* 113, la première exprime que dans un système en mouvement la somme des accroissements des quantités de mouvement estimées suivant un axe fixe quelconque est égale à la somme des impulsions des forces extérieures estimées suivant la même direction. La quatrième apprend que la somme des accroissements des moments des quantités de mouvement par rapport à un axe fixe quelconque est égale à la somme des intégrales des moments des impulsions élémentaires.
iS6 . Mouvement d'un système de corps^ décomposé en un mouvement du centre de gravité et un mouvement du système autour de ce point. — Soient (a, 6, c) les coordonnées du centre de gravité du système. Transportons y l'origine des coordonnées en faisant
Les trois premières équations deviennent
^'Wji?"^2'W— = 2X,elc.
GomiDC les nouveaux plans coordonnés passent par le cenlre de gra vite, on a aussi
Ztnxf = 0, Imy' = 0, Imz^ = 0,
et par conséquent
Im-j-T =» 0, etc.
ai*
ce qui réduit les trois équations aux suivantes :
(Pa d«6 (Pc „„
ou bien en représentant par M la masse totale ou 2m, et en remar-
quant que -j-j-i etc. ne se rapportant pas à Tun des corps du
système^ mais au centre de gravité du système entier, est un facteur commun,
Ces trois équations sont identiques à celles du mouvement d*un point matériel M placé au point qui a pour coordonnées (a, 6, c), et soumis à l'action des forces 2X, 2Y, 2Z; d'où résulte ce théorème analogue à celui que nous avons démontré au N"" 176 pour un corps de forme invariable : le centre de gravité d'un système de corps en mouvement se meut de la même manière que si toute la masse y était concentrée et que toutes les forces motrices y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes.
En faisant les mêmes substitutions dans les trois dernières des six équations du mouvement, elles se réduisent aux trois suivantes, après qu'on aura fait usage des trois équations du mouvement du centre de gravité comme au N° 176,
Im (^-r^ — a/— j (/m = 2'/X - a/Z), etc., etc.
Ces équations ne renferment plus aucune trace des coordonnées (a, 6, c) du cenlre de gravité, et ne contiennent que les coordonnées (a/, y, zf) des différents points relativement à ce centre. D'où il suit que le mouvement du système relativement au centre de gravité est
indépendant du mouvement de ce points que Von peut même supposer immobile.
On reconnaît aussi, en multipHanl ces ëqualions par dt ainsi que celles qui précèdent, et en raisonnant comme h la fin des N'OMIS etii5, que Taccroissement de la quantité de mouvement du centre de gravité estimée suivant une droite quelconque, est égal à la somme des impulsions de toutes les forces extérieures estimées suivant cette direction, et que le théorème de la fin du numéro précédent sur les moments des impulsions élémentaires par rapport à un axe fixe subsiste encore pour un axe mobile passant par le centre de gravité.
i87« Conservation du mouvement du centre de gravité. Cas d'une percussion contre un corps extérieur. — Si le système ne renfermait aucune force motrice extérieure, ou si ces forces transportées au centre de gravité se faisaient équilibre, on aurait, quel que fût le mode de liaisons et d'actions mutuelles,
^•dïi"^' «rfr.=«' "dr.=«'
d'où Ton tire
dt ' dt ' dt '
et
C, G', C, D, ly, D" étant des constantes arbitraires. Comme
— ) — et -r- sont les trois composantes de la vitesse du point qui dt dt dt ^
a (a, b, c) pour coordonnées, les trois premières équations appren-.
nent que le centre de gravité prend alors une vitesse uniforme, et
les trois dernières font voir que ce point se meut suivant une
ligne droite, puisqu*en éliminant le temps ( entre deux d'entre elles,
on trouve
pour les équations de la trajectoire.
Ces propriétés constituent le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité. Comme les trois équations du mouvement ne renferment aucune trace des actions mutuelles des corps du
système, on voit que le mouvement du centre de gravité ne sera pas altëré : 1° par des percussions survenues entre ces corps, 2'' par des explosions intérieures qui diviseraient un ou plusieurs corps en fragments, 5^ par la rupture de quelques-unes des liaisons iuté- Heures, etc., etc.
Si une percussion avait lieu entre un des corps du système et un corps extérieur, il faudrait considérer la force qui en résulterait comme une force extérieure, et Ton aurait en la représentant par T, et par (a, |3, y) les angles formés par sa direction avec les axes ,
rf*a rf*6 ^ dH
M-^ = Tcosa, M — =.Tcosp, M— =Tcosy,
d*où Ton tire
M-^=cosa( Tdf, Mj-=cospl Trft, M^^cosyi Trf^
ou bien, en remarquant que ces trois intégrales sont les composantes u cos a, ti cos Çiy u cos y de la force de percussion i«,
M-r-=ticosa, M-7-=»ttCosp, M-r:=3ticosy, di ^ dt ^^ dt '*
qui nous apprennent que le centre de gravité se meut de la même manière que si toute la masse y était concentrée et que ce point reçût la percussion.
Gomme on a, par la théorie des moments,
2mx =3 Ma , on en tire
, dx da 2m -7-= M-7-»
dt dt
ou bien v, t/ étant les vitesses de m, tn^ etc. estimées suivant
da Taxe des X, et V la vitesse -77 du centre de gravité estimée dans cette
direction ,
2mws=MV,
c'est-à-dire que la somme algébrique des quantités de mouvement du système estimées suivant une direction quelconque est égale d la quantité de mouvement du centre de gravité estimée dans le même
sens. S'il n'y a aucune force extérieure, la vitesse V du centre de gravité est constante, et par conséquent la somme algébrique des quantités de mouvement du système estimées dans une direction quel* conque est alors invariable.
i88. Conservation des aires. Plan du maximum des aires. — Les trois dernières équations du N** 185 sont aussi susceptibles d'une interprétation géométrique fort simple, toutes les fois que les seconds membres sont nuls. Les seconds membres sont nuls dans trois cas principaux : i" lorsqu'il n'y a aucune force motrice, 2*^ lorsque ces forces sont dirigées vers l'origine fixe des coordonnées , puisque les binômes yZ — zY, zX — orZ, xY — t/X sont (N® 54) les moments par rapport aux trois axes , de la force qui a (X, Y, Z) pour composantes, 5"* lorsque ces forces se font équilibre (N"" 64). On a donc dans le mouvementM'uu système de corps qui ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, ou à des forces dirigées vers l'origine fixe des coordonnées.
On tire de là, en multipliant par dt et intégrant^
-, / dx dz\ ,
zm l z^ a-p- I =» a',
\ dt dtj '
où a, a', a" sont trois constantes arbitraires, invariables pour une même origine et pour une même direction des axes. En multipliant de nouveau par dt et intégrant, on trouve enfin, en faisant commencer les intégrales du premier membre avec le temps f,
Iim/(x(ly— yrfa;)=a'7, 2m/(yd« — zdy)=sa«, lm/{zdx—xdz)==a't.
On a vu (N** 115) que les trois intégrales
f{xdy — ydx) , /(yrfz — zdy) , f{zdx — xdz)
représentent le double des projections sur les plans coordonnés, des aires décrites par les rayons vecteurs menés de l'origine fixe au point m;
580 cnAPiTiiE XX.
ces équations expriment donc que le mouvement d'un système de corps réagissant les uns sur les autres dune manière quelconque^ mais dont les forces motrices y s'il y en a, sont toutes dirigées vers un même point fixé dans l' espace ^ s'' effectue toujours de telle manière qu'yen prenant ce point pour origine des coordonnées^ la somme des produits de chaque masse par la projection sur les plans coordonnés^ de taire décrite par son rayon vecteur ^ est proportionnelle au temps employé d la décrire.
C'est dans cette propriété que consiste le principe de la conservation des aires. Comme elle est indépendante des actions mutuelles des corps» elle ne cessera pas d*avoir lieu, 1^ s'il survient des percussions entre eux^ â"" si une explosion fait éclater un des corps en plusieurs fragments, 5^ si quelques uns des liens viennent à se rompre, etc. S'il n'y avait pas de forces extérieures, le principe serait vrai pour une origine fixe quelconque. Il a encore lieu quand le système renferme un point fixe, pourvu qu'il soit pris pour centre des aires, ou pour origine des coordonnées; car les pressions ou réactions de ce point devront à la vérité être considérées comme forces extérieures, mais comme elles sont appliquées à l'origine des coordonnées, leurs moments par rapport aux axes seront nuls, et par conséquent les sommes 2 (jzX — xZ), etc. seront encore égales à zéro. Enfin s'il y avait plusieurs points fixes renfermés dans une même ligne droite, en prenant celle-ci pour axe des Z, la première des trois équations précédentes subsisterait encore, puisque les moments des résistances de ces points par rapporta cet axe seraient nuls; mais le principe des aires ne subsisterait plus que pour un plan perpendiculaire à cette droite.
Comme dans un système entièrement libre, le principe des aires subsiste pour toute direction des plans coordonnés, il est évident que si l'on projette les aires décrites par les rayons vecteurs sur un plan quelconque , la somme des produits de ces aires par les masses correspondantes sera encore proportionnelle au temps , mais les constantes a, a', a" ou les facteurs constants de t changent avec la direction de ce plan. La loi suivant laquelle varient ces facteurs avec la direction de ce plan est facile & trouver; si l'on désigne par (a, (3, y) les angles qu'il forme avec les plans coordonnés (ou les angles formés par une perpendiculaire au plan avec les trois axes), par e^s l'aire décrite par le rayon vecteur de m dans le temps </(, et par yi l'angle formé par le plan de cette aire ds avec le plan de projection donné, ds cos 7} sera la projection de l'aire ds. Or en désignant par e, e', s"
les angles formes par le plan de l'élément ds avec les plans coordonnés, on sait que Ton a
cos Yi = cos a cos s -4- cos j3 cos s' -4- cos y cos s" ;
la projection de Télément ds devient donc
cos a cos îds -¥■ cos (3 cos z'ds •+• cos y cos e"rf« ,
et Ton trouve pour la somme des produits des masses par les projections des aires décrites par les rayons vecteurs pendant le temps dtj
2tn (cos a cos sds -t- cos (3 cos e'ds -*- cos y cos e"d«) ,
ou bien , parce que les angles (a, j3, y) sont les mêmes pour tous les corps,
cos a2m cos tds •+• cos ^Im cos efds + cos ylm cos s^'ds.
On sait que ds cos s, ds cos e' et ds cos e" sont les projections de Télé-
ment ds sur les trois plans coordonnés, c'est-à-dire - (ydz — zdy)^
-(zrfjF — xrfz), -^{xdy — ydx); cette somme revient donc à
- cos alm {ydz — zdy) -+■ - cos ^Im [zdx — xdz) -*- - cos ylm [xdy — ydx) ,
et en intégrant depuis f = 0, on trouve pour la somme de ces produits pris pendant le temps (,
- cos cfSjm f (ydz — zdy) -f- - cos j32iw / {zdx — xdz)
-*- - cos ylm f {xdy — ydx),
ou bien, en remplaçant les trois sommes par leur valeur at, a'(, a"^,
- (a cos a -♦- a' cos (3 -H a" cos y) (,
qui vérifie la loi des aires pour un plan faisant des angles (a, (3, y) avec les plans coordonnés, c'est-à-dire que la somme des produits de chaque masse par la projection de Taire que décrit son rayon vecteur sur ce plan, est encore proportionnelle au temps, puisque (a, a', a"), (a, (3, y) sont des constantes. Cette expression fait connaître en outre la loi suivant
laquelle la valeur de cette somme pour un môme centre des aires change avec la direction du plan de projection, c'est-à-dire avec (a, (3, y).
Si Ton cherche les valeurs de (a, |3, y) qui donnent à cette expression une valeur maximum, en ayant égard à la relation
cos* a -*- cos* (3 -♦- cos* y = i, on trouve
COS g g= , COSp =
cosy=s
Ces équations fixent la position du plan maximum pour une même origine et la valeur de ce maximum est
189. Propriétés générales du mouvement relatif. Conservation des aires dans les mouvements relatifs. Plan invariable. — Désignons par (a, b, c) les coordonnées d'une nouvelle origine variable d'une masse m', et par (A, B, G) les forces qui agissent sur ce point dans le sens des axes (X', Y', Z') parallèles à (X, Y, Z). Si Ton remplace (x, y, z) par a '\' af^ b -♦- y'> c -h z' dans les équations générales du N"" 185, elles deviennent
2m^ = 2X-2m^ = 2n,(^--^j, etc.,
= 2(cX — aZ) + 2(2'X — a/Z).
Cette dernière se simplifie en remarquant que
d^x cSm-r-r-ŒcSX, 2cX==c2X, etc..
Imc
dt»
car elle devient
rfV
