KI-S)-<^S

et en remarquant que les équations du mouYemènt de Torigine mobile sont

^ïï(i-=^' *"dii^=^' ^di^==^' les équations précédentes prennent les formes suivantes :

Zm -rr = 2»w I : j > etc. etc.,

OU plutôt en désignant comme précédemment par (X', Y', Z') les composantes de la force motrice relative (voir le N*» 115),

d'à/ 2m-j:T-s= 2X', etc. etc.,

Imfjs' — -a:'^, j«2 (z'X' - a/Z'), etc. etc.

Telles sont les équations générales du mouvement relatif d*un système. En les multipliant par dt et intégrant entre des limites fixes, on est visiblement conduit aux théorèmes sur les impulsions relatives démontrés à la fin du N"" 185 pour les impulsions absolues.

Lorsque toutes les forces motrices relatives sont dirigées vers l'origine mobile d'où se comptent les coordonnées {sf^l/^z!), les binômes (z'X' — x^Z% etc. sont tous nuls et Ton est conduit après deux intégrations à réquation

2/m(2'dx' — a;'dz')==(/(,

qui exprime que la somme des produits des masses par les projections des aires apparentes décrites par les rayons vecteurs est proportionnelle au temps.

Les forces relatives sont visiblement dirigées vers l'origine mobile lorsque les forces absolues (X, Y, Z) résultent d'actions et de réactions entre l'origine mobile et les différents points du système, sans qu'aucune autre force (A, B, C) n'agisse sur l'origine, car dans ce cas(z'X' — a/Z') se réduit à z'X — a/Z qui est le moment de la force absolue par rapport à Y, moment qui est nul quand cette force passe par l'origine.

584 CBAPITRB XX.

Dans les luémes circonstances le binôme si'X — txfZ' est encore nu] quand Torigine est animée d'une vitesse rectiligne et uniforme, car cela suppose que ce point se meut sans force motrice.

En suivant la marche indiquée au N** 188, on parvient aussi à déterminer la somme des produits des masses par les projections des aires apparentes décrites par leur rayon vecteur, pour un plan quelconque faisant des angles (a, (3, y) avec les plans coordonnés; on trouve de cette manière

- (C cos a -H C cos (3 -H C" cos y) U

Enfin on détermine, comme on l'a vu au même numéro, la direction du plan de projection passant par l'origine mobile, pour lequel la somme des produits des masses par les projections des aires apparentes décrites par les rayons vecteurs est un maximum, et l'on trouve que ce plan a une direction invariable dans Tcspace, puisque l'on a

fins g =3 > cosp= -> cosy =

Laplace, à qui on doit ce théorème, a donné le nom de plan invariahle^^^ au plan dont on vient de fixer la direction, et il s'en est servi dans sa Mécanique céleste pour y rapporter les positions variables des corps de notre système planétaire.

190. Principe de la conservation du mouvement de rotation. — On peut donner une autre interprétation des trois équations des N'^'iSS et 189. Si on les écrit de cette manière :

dx du

Comme m-r-> ^^-y-* ^^^* sont les quantités de mouvement de la at dt

masse m parallèlement aux axes, il est visible que ces sommes ne

sont autre chose que les moments des quantités de mouvement du

système par rapport aux trois axes, de même que 2(xY — yX) etc. sont

(1) A la rigueur, le plan invariable de Laplace diffère un peu du plan maximum déterminé plus haut; car dans ce dernier ou suppose les corps réduits à des points matériels, taudis que pour le plan invariable, on donne aux différents corps célestes des dimensions finies et on tient compte de leur rotation autour de leur axe.

les sommes des moments des forces (X, Y, Z), el ces trois équations apprennent que ces sommes restent constantes pendant toute la durëc du mouvement, ce qui constitue le principe de la conservation du mouvement de rotation. A ce nouveau point de vue, le plan du maximum des aires relatif à un centre de forces n*est autre chose que le plan perpendiculaire à celui de tous les axes passant par ce point, pour lequel la somme des moments est la plus grande, et la propriété du plan invariable s'énonce alors de cette manière : Caxe de la plus grande somme de maments passant par le centre de gravité d'un système de corps en mouvement ou par un point quelconque ayant un mouvement rectiligne et uniforme, reste parallèle à lui-même pendant ce mouvement et ce plus grand moment est invariable,

191. Principe général des forces vives. — On a vu que dans tout système de corps en mouvement, il doit y avoir à chaque instant équilibre entre les réactions dues à l'inertie des différents corps, les forces extérieures et les forces intérieures^ ce qui constitue le principe de Dalembert. Si l'on applique le principe des vitesses virtuelles à ce système de forces, on est conduit à une équation d'une grande généralité, qui renferme toutes les lois du mouvement d'un système, pourvu que l'on y joigne toutes les équations de condition qui définissent les modes de liaisons, etc.

Avant de poser cette équation générale, observons que si quelques unes des équations de condition contenaient implicitement le temps t ou toute autre vaiiable changeant de valeur par une cause étrangère aux forces motrices du système, celte circonstance indiquerait qu'une certaine cause fait varier de grandeur et de position les liens intérieurs, et cette cause serait une véritable force dont il faudrait tenir compte dans l'équation des vitesses virtuelles. Gela posé, soient nt, m\m'\ etc. les masses des points matériels auxquels sont appliquées les forces motrices, (x, y, z),.... les coordonnées de ces points et par conséquent

— m — » — m-— ' — w TT ' les forces d'inertie parallèles aux

di^ dt* dt*

axes, P, P', P", etc. les forces motrices extérieures, Q, Q'.... les forces

intérieures ou les tensions des liaisons^ U, U', U'^ etc. les forces

inconnues dont on vient de parler^ produisant les changements de

forme indiqués par les équations de condition des liaisons; l'équation

des vitesses virtuelles sera

d^jc du d £

Intjjdx — ^m-r^Sy - 2m —hz -»- 2P(îp + IS^hq + 2Ua«==0,

dans laquelle dx, Sp^ Su^ etc. sont des dcplaccmenls infiniment petits quelconques de m et des points d'application de P et de U eslîmës dans le sens des axes et de la direction de P et U, et soumis à la seule condition d'cUre compatibles avec les conditions des liaisons. S'il y a

des ressorts, Sq sont leurs allongements sous Taction des tensions

Q, Q' etc.

Cette équation fait connaître plusieurs propriétés dont jouissent les mouvements d'un système de corps, et qui sont indépendantes de s:i forme. Observons que parmi les déplacements virtuels des points du système se trouvent évidemment compris, comme cas particulier, ceux qui ont lieu en réalité pendant Tinstant dt; de sorte qu'en désignant par dsy dfy dq et du ces valeurs particulières de $8^ dp, Sq et iuy on a toujours

2m [ -Tjdx -*- -TY^y "*■ Ti ^^ ) '^ 2Prfp -^ ZQrfqf -h 2Urfii,

c'est-à-dire,

dH Im-T-^ds = I9dp -^ IQdq -^ lUdu^

d$ ou bien, en remarquant que — est égal à v,

2mvdv =3 îiPdp -*- 2Qdq -h IVdu.

Si l'on suppose les conditions des liaisons indépendantes du temps et de toute autre variable modificative des conditions des liaisons, les forces U seront nulles et il viendra

Imvdv =3 iPdp -*- IQdq.

En intégrant depuis le temps ('jusqu'au temps t" et représentant par Vo et V les vitesses de m à ces deux époques, on trouve enfin

2mt?* — 2mro« = 22 ( Pdp -»- 22 ( Qdq.

Si l'on se rappelle les définitions du N^ 414, il est visible que cette équation exprime que V accroissement de force vive d'un système entre deux époques quelconques est égal au double de la quantité d'action développée par les forces motrices tant intérieures qu'extérieures, dans te même intervalle de temps , pourvu que les conditions des liaisons soietit indépendantes du temps.

L'équation des forces vives se met souvent sous une forme différente de la précédente. Dans l'équation des vitesses virtuelles introduisons les composantes suivant trois axes rectangulaires fixés (X, Y, Z) de la force P, appliquée au point qui a pour coordonnées (x^y, z); leurs moments virtuels sont visiblement X^x, Ydy^ ZSz , et l'équation des forces vives deviendra

Imv* — Imvo* = 22 \ (Xrfx h- Ydy -♦- Zdz) -4- 21Qdq.

On a vu aussi (N<> 114) que la force vive gagnée par un corps n'est autre chose que le double de la quantité d'action développée par sa force d'inertie; ce théorème peut donc être énoncé de cette manière : dans tout système de corps en mouvementy la quantité d'action due aux forces motrices tant intérieures qu'extérieures, est égale d la quantité d'action due aux forces d'inertie ^ pourvu que les équations de condition soient indépendantes du temps»

Si les liens intérieurs sont inextensibles, les dq sont nuls et les forcer intérieures disparaissent de l'équation des vitesses virtuelles ; elles se font d'ailleurs équilibre entre elles (N"" 141) et par conséquent la somme de leurs moments virtuels est nulle (voir la statique, N"* 90). L'accroissement de force vive est alors égal au double de la quantité d'action des forces motrices extérieures.

192. Conséquences de l'équation des forces vives. — Il est à remarquer que l'équation précédente ne peut servir à évaluer la force vive que lorsque Pdp est intégrable, c'est-à-dire lorsque P est fonction d'une certaine variable p dont dp est la différentielle ; or on peut toujours considérer la force P comme émanant d'un certain centre pris dans sa direction, et en désignant par p la distance au point d'application de la force, il est visible que si ce centre est fixe, la différentielle ou le déplacement virtuel dp qui entre dans l'équation ne sera autre chose que la différentielle de la distance p et l'intégration de Vdp ne sera possible que si P est une fonction de p, auquel cas l'accroissement de force vive sera exprimé en fonction de ces distances p. Pour ce qui est des forces de ressort Q, Q'...., l'intégration àeQdq sera toujours possible si la tension est fonction de son allongement. Il résulte visiblement de la forme de l'équation précédente que lorsque les forces extérieures d'un système sont dirigées vers des points fixes et sont des fonctions quelconques des distances des points d'application à ces points fixes, 1® l'accroissement de force vive entre deux époques

ne dépend pas des courbes que décrivent les points matériels, 2^ il ne dépend que de la forme du système aux deux époques, S"" la force vive redevient la même toutes les fois que le système reprend la même forme, ou plus généralement, toutes les fois que les distances entre les points attirants du système redeviennent les mêmes, 4^ si le système est à liens inextensibles et s'il n*y a pas de force motrice extérieure, la quantité de force vive reste invariable.

L*équation des forces vives ne changerait pas s*il y avait un ou plusieurs points fixes ou assujettis à demeurer sur des surfaces ou des courbes; car il faudrait introduire comme forces extérieures, les résistances de ces points et de ces surfaces dans l'équation des vitesses irirtuelles, et on sait que ces pressions n'ont pas de moment virtuel dans le premier cas, parce que le point d'application reste fixe, et dans le second, parce que laforce étant normale àla surface ou à la courbe, son déplacement virtuel sera normal à la direction de la force et par conséquent le moment virtuel sera aussi nul. Cette remarque n'est vraie que si l'on ne tient pas compte du frottement. Dans le cas contraire il faudrait introduire un terme de la forme y*N/fis, ou plutôt — f^fds^ N étant la pression, f le coefficient du frottement et ds l'élément de courbe décrit par le point d'appui. La différentielle N/cIs est prise négativement parce que le frottement agit toujours en sens inverse du déplacement. Le plus souvent cette différentielle n'est pas intégrable^ mais sa valeur toujours négative indique que cette force détermine une perte de force vive. Il en serait de même d'une résistance due à la présence de l'air, puisque cette force agit aussi en sens inverse du mouvement.

195. Équation des forces vives dans le cas d'une percussion. Théorème de Carnot. — S'il survenait une ou plusieurs percussions entre les corps du système, les forces auxquelles ces percussions donnent naissance devraient être jointes aux forces intérieures pendant la durée de la compression des corps choqués, puisque ces corps pourraient être considérés comme liés l'un à l'autre pendant la durée de la percussion, et ces forces intérieures ne doivent pas disparaître de l'équation comme pour le cas de liens inextensibles, parce que la percussion est toujours accompagnée d'une compression et d'un appla* tissement des corps choquants et que par conséquent leur distance, ou le lien fictif qui les unit, doit être considérée comme variable de longueur. S'il y avait percussion contre un obstacle extérieur, la force qui en résulterait devrait être rangée parmi les forces extérieures; on aurait donc dans les deux cas, en désignant ces forces par T, par

dq rapplalissement opéré dans le temps dt et dans les deux corps, c'est-à-dire la diminution du lien élastique qui les unit, par v et V les vitesses immédiatement avant et après la percussion, et par r sa durée,

2mV« - 2mv« = 22 ( Prfp -♦- 22 ( Trfqr,

Jo •'o

ou plutôt, en remarquant que les actions des forces motrices ordinaires peuvent être négligées en présence des forces presqu'inûnies provenant de percussions , •

2mV* — 2mv« = 22 f Tdq.

Pour déterminer la valeur du second membre de cette équation^ il faudrait connaître la loi suivant laquelle varie pendant la compression la pression de deux corps qui se choquent, c'est-à-dire connaître la valeur de T en fonction de q. Mais cette loi ne nous est pas connue;

cependant on peut affirmer que 22 \ Tdq est une quantité négative,

Çjdq

car pendant que deux corps se compriment, les forces T qui agissent sur chacun d'eux, tendent à les éloigner l'un de l'autre, tandis qu'ils se rapprochent en réalité en se comprimant; T et dq sont donc de signes contraires, le produit Tdq est négatif et la somme de tous ces produits

est nécessairement une quantité négative. Il suit de là que

ou\ Tdq ^0

dans un système en mouvement, toute percussion détermine une perte de force vive.

Si la force T provenait d'une explosion dans l'intérieur du système, Tdq serait positif, et au lieu d'une perte de force vive il y aurait augmentation.

Quoiqu'il soit impossible d'intégrer Tdq, on peut cependant trouver

la valeur de l'intégrale définie l Tdq. Représentons par w et w^ les

vitesses que la percussion fait naître dans les points matériels m et m'

suivant la direction de la percussion, vitesses qui ne sont autre chose

u u que — et — » si t* est la mesure de la percussion. La force T ayant

590 CnAPlTBB XX.

fait naître la force vive mw^ -h m'tt;'*, on aura

ou plutôt,

Tdq = mw* -^ mV« = — 4- --; , Q m m'

Jq mm

parce quel Tdq est négatif. On a donc pour tous les corps qui reçoivent des percussions simultanées,

et par conséquent,

2ml;»-2mV»= + 2(^îî! + -^ = 2/'i+l^ll^

\m m J \m mj

qui apprend que la force vive perdue par suite de percussions est égale à la somme des carrés u* des tnesures des percussions multipliées

respectivement par la somme — i — , des inverses des masses cho^

quantes.

Ainsi, si le système se réduit à deux masses m, m' ayant des vitesses

primitives v, i/ et prenant à la suite de la percussion les vitesses

V et V, on a

mi?* + fw'i;'* — mV* — m'V'*= mw* 4- mV = ( — h — ) w*,

et s'il n*y a qu'un seul point qui vient se heurter contre un obstacle

extérieur fixe,

ti* mv* — m V* = mtc* = — •

Dans le premier cas la valeur de u doit être celle qui est donnée au N« 178. Dans le second, il faudra y faire M', A', B', C infinis et W nul, pour exprimer que le corps M' reste immobile.

Le théorème qu'on vient de démontrer est ordinairement énoncé d'une manière un peu différente. Puisque v est la vitesse de m avant

DYNABlQUe. 591

la percussion, w la vitesse engendrée dans m par la percussion et V la vitesse de m après la percussion^ il est visible que cette dernière vitesse est la résultante de t; et u;; si donc on décompose la vitesse v en deux autres, dont Tune soit V ou la vitesse qui a réellement lieu après la percussion, la seconde composante sera égale et directement opposée à w. Appelons cette seconde composante, vitesse perdue par m, par suite de la percussion; l'équation précédente pourra être énoncée de cette manière : la quantité de force vive perdue dans un système en mouvement^ par suite de percussionSy est égale à la somme des produits de chaque masse choquée par le carré de sa vitesse perdue. Ce théorème est dû à Garnot et porte son nom.

i94. Maximum et minimum des forces vives. — Reprenons Téquation des forces vives, en supposant les conditions des liaisons indépendantes du temps, savoir :

2mvdv = iPdp -h IQdq^ ou Imv^ = ^1/Pdp -^ âl/Qrfç -t- C.

Si les forces P sont fonctions des distances p, IJ'Pdp sera une fonction de p, p\ etc., et la force vive du système atteindra son maximum ou son minimum toutes les fois que sa différentielle, c'est-à-dire Imvdv

et par conséquent la dérivée de la fonction dep, p',p" sera nulle,

ou quand les forces satisferont à l'équation

iVdp -f- IQdq = 0,

dont le premier membre est la différentielle de IJ'Pdp -+- ^J^Qdq; or il est visible que cette équation subsistera toutes les fois que le système passera par une position telle que les forces motrices appliquées seules (abstraction faite des forces d'inertie) se feront équilibre par l'intermédiaire des ressorts et que par conséquent le système se mouvra pendant un instant en vertu des seules vitesses acquises; car si l'on applique aux forces P, P'...., etc. Q, Q'...., etc. le principe des vitesses virtuelles, en prenant pour vitesses virtuelles les déplacements infiniment petits effectifs opérés pendant l'instant df, on trouve pour condition de cet équilibre

2Prfp -+- IQdq = 0.

Il suit de là que tout système en mouvement atteint son maximum ou son minimum de force vive toutes les fois que les corps passent par des positions où les forces motrices appliquées seules se font équilibre par l'intermédiaire des liaisons du système. Puisqu'après le passage | ar un maximum de force vive, cette quantité doit commencer

592 CHAPiTnE XX.

à diminuer, et qu'elle augmente au contraire après un minimum, on voit que si à Tune de ces deux époques on imprime au système une force vive totale très petite, dans le premier cas cette somme de forces vives composée de termes essentiellement positifs, ne prendra plus une grandeur finie, tandis que dans le second rien ne limitera cet accroissement; d*où il suit que dans le premier cas aucun point du système ne prendra une vitesse finie, tandis que dans l'autre, ces vitesses pourront croître indéfiniment. Mais Taccroissement de force vive est égal au double de la quantité d'action des forces motrices; ces quantités restent donc très petites ou peuvent croître indéfiniment dans les mêmes circonstances, et comme celles-ci sont représentées par les intégrales des forces multipliées par leurs déplacements élémentaires, intégrales qui, comme on sait (Traité d'analyse, 2* édition,'p. 242} sont représentées par les valeurs moyennes des forces multipliées par leur déplacement total, on en conclut que dans le premier cas ces déplacements resteront tous infiniment petits, tandis que dans l'autre cas, ils pourront croître sans limite, ce qui signifie que s'il y a maximum, le système ne s'écartera qu'infiniment peu de la position d'équilibre, tandis qu'il pourra s'en éloigner indéfiniment quand il y a minimum. On dit qu'un système est dans un état (Véquiéibre stable, si après l'avoir dérangé infiniment peu de sa position d'équilibre, il ne tend pas à s'éloigner indéfiniment de cette position; l'équilibre est dit au contraire instable lorsque le système peut s'en éloigner indéfiniment. Il suit de là qu'il y a maximum ou minimum de force vive suivant que les forces motrices sont dans un état d'équilibre stable ou instable.

495. Cette proposition importante peut être établie d'une manière plus rigoureuse comme suit : supposons que l'on ait

IfPdp + I/Qdq = <p(p, p',p" ) + •}(?. î*. f ) + C.

et par conséquent,

1 mv^ — ImvJ^ == 29 (p, p', p"....) — 2(p (p», pj, po"".,)

H- 2cp'(qr, q\ f ....)- 2<p'((7o, ?o', ^o"...,)

ImVo^j Po, pj"'- se rapportant au moment ( = 0 où les forces se font équilibre, et 2mi;^.p, p' ... se rapportant à un instant f après le passage du système par une position d'équilibre. Remplaçonsp,p',p'\... (7,9'.... par Po -4- x, p/ -4-0/....; si l'on développe (p{po -4- x, pj -4- a/....) et 9'(qro -+■ oc'\ qj -4- a:'",....) en série suivant les puissances croissantes de a:, x', a/',... {Traité iVanalijse, 2° édition, N° 104), cette fonction

pourra se décomposer en deux parties l'une égale à 9 Ipo^po^pJ^---») "♦■ 9' (9o> îA 9o"««»0> l'outre que nous désignerons par ^ (x,x', x",...) s'évanouissant avec a:, x', x".... L'équation des forces vives devient ainsi

2mt>* — 2mi;o* = 2^ (x, x', x''....).

Il est visible que ImVo* est un maximum ou un minimum suivant que ({^(XyX', x"....) est négatif ou positif pour des valeurs croissantes de X, x'y a/'... à partir de zéro. Or, je dis que dans le premier cas, si Ton trouble infiniment peu le système en équilibre, c'est-à-dire si on lui imprime des vitesses VojW**** très pelites, il ne s'écartera qu'infiniment peu de la position primitive, ou en d'autres termes, que X, x', x^'.... et par suite ^ (x, x', x''....) qui est négatif, n'atteindront pas des valeurs finies r, r', r".... et ^{^ (r, r', r"....) ; en efifel les

vitesses initiales t?», Vo étant aussi petites que l'on veut, on peut

faire en sorte que Ton ait, quelle que soit la valeur négative de

Imvo^ <— 2^(r,r',r"....),

et si au bout d'un certain temps après cette perturbation, x, x', x".... pouvaient devenir r, r', r'' on aurait aussi l'égalité

2mu* — Imvo* = â'^^r, r', r"....).

Celle-ci combinée avec l'inégalité précédente conduirait à

2inv«<0,

résultat absurde , puisque le premier membre se compose de termes tous positifs.

Dans le cas du minimum, ^ (x, s/, x"....) est positif pour des valeurs croissantes de x, x', x".... et Lagrange démontre dans la Mécanique analytique que ces quantités prennent nécessairement des valeurs finies après un temps fini.

496. Maximum ou minimum de force vive dans une machine d poids j à liens inextensibles. — S'il s'agit d'une machine à liens inextensibles et n'ayant pour forces motrices que des poids, on peut distinguer le maximum du minimum par un autre caractère. En prenant l'axe des Z vertical et dirigé vers le bas, et désignant par Zy z\ etc. les distances de nt, m', etc. au plan des (X, Y), on

aura, parce que toutes les forces sont parallèles à Z et égales à mg, fn!g^ etc. ,

2mi;* =s C -*- ^g2mz*

Or, si Ton désigne par M la masse totale et par z, l'ordonnée du centre de gravité, on sait que Ton a

on a donc aussi

2iwt?« = C-t- ^gMz,y

qui apprend que dans une machine à poids en mouvement^ la force vive sera la plus grande ou la moindre possible toutes les fois que le centre de gravité de tous les poids sera le plus bas ou le plus haut possible. Dans ces deux positions les poids se font équilibre et cet équilibre est stable ou instable suivant que le centre de gravité est le plus bas ou le plus haut possible.

Si par exemple on fait rouler un corps pesant sur un plan incliné, son centre de gravité décrira une courbe, et la force vive du corps sera un maximum ou un minimum, toutes les fois que ce centre se trouvera placé en un des points de la courbe où Tordonnée verticale est un minimum ou un maximum.

197. Principe des forces vives dans les mouvements relatifs. — Supposons le système rapporté par des coordonnées (x, t/, z).... à des axes rectangulaires fixes dans l'espace et par des coordonnées (a/, y', zf) à des axes rectangulaires mobiles dans Fespace mais constamment parallèles aux premiers. £n désignant par (a, 6, c) les coordonnées variables de l'origine mobile, on aura

et l'équation des vitesses virtuelles du N"" 191, mise sous la forme suivante, dans laquelle (X^Y, Z) senties forces extérieures, Q les forces intérieures et q les distances mutuelles des points du système,

d«« rf(« ^ dt*

-t- iXdx -t- lYdfj + lZ$z -k- IQiq -4- llJdu = 0

devient en substituant,

d^ti /i*2.' d^c d}f!

d(* di^ dt* di* ^ '

-I- 2Y (V -f- d6) + 2Z (^s' -I- $c) -f- 2Qag -4- 2U5u = 0,

ou plutôt, en observant que oa, -r-^v* sont des facteurs communs

rf*x rf*f/

pour tous les points du système, et que 2m -ty» Zm-jY"" sont ëgauxà2X,2Y... (NM85),

(/(* de ^ de* \m d<*/

dont la forme est identiquement la même que celle de l'équation primitive^ si ce n'est que les coordonnées absolues (x,y, z) sont remplacées par les coordonnées relatives (x', y\ z!) et qu'aux forces absolues

(X, Y,Z) on substitue les forces relatives m 1 r- 1 ...-On conclut

\m ai* y

de là qu'en général toutes les propriétés des mouvements absolus d'un système subsistent encore dans les mouvements relatifs; ainsi^ si l'on remplace les variations arbitraires dx', dy'.... Sq^ au par les accroissements différentiels dx', dt/,., dq^ du que prennent réellement x',!/'..., qr, q\.. et u pendant l'instant df, et qu'on représente par (X^ Y',Z') les forces extérieures relatives, l'équation des vitesses virtuelles devient, en supposant les équations de condition indépendantes du temps, ce

qui fait disparaître U,

'L±daf-^^dy'-i- ^ dz' W22(X'dx'-+-Y'dy'4-Z'dz')-+-22Qd9,

et si l'on intègre cette équation entre deux époques (' et (, en désignant par Vo' et t/ les vitesses relatives du point m à ces deux instants, il

396 cHAPiTRe XX.

viendra

ZiMw'* - 2mr;* = 22 f (X'dx' -+- Y'dy' -4- Z'rfz') -^ 22 i Qdq. Les produits mv'^, X'dx' et les intégrales \ X'daifj \ Qdq sont

Je h

appelés par analogie^ la force vive relative du point m, la quantité d'action relative élémentaire de X\ la quantité d*action relative de X' entre les époques t' et t^ et la quantité d'action des ressorts Q, Q'....; cette équation exprime donc que V accroissement de force vive relative d'un système entre deux époques est égal au double de la quantité d'action relative des forces extérieures augmentée du double de la quantité d'action des forces intérieures. Cette équation, qui constitue le principe des forces vives relatives» est en tout point semblable à celle trouvée au N** 191 pour les forces vives absolues. Quand 2 [X'dxf -4- Y'rfy' -I- Z'rfz') est la différentielle exacte d'une fonction 9(^9 y', 2^...) et que Q.... sont des fonctions de 9...., en désignant par xJi yJi zj.,.. q^ les valeurs de a/, y, z'.... qr à l'époque t\ elle prend la forme

Zwn/* — 2mt7o'* ==» Î9 (a/, y', z'. . .) — 2(p(xo', yo', zj, . .) -♦- 21'^q — 22'|gr,

et en considérant f comme une époque fixe et ( comme une époque variable quelconque, on conclut de cette équation que la force vive relative 2mv'* d'un système reprend la même valeur toutes les fois que a/, y', z'... et q,., reprennent les mêmes valeurs, c'est-à-dire toutes les fois que les positions relatives des différents points du système redeviennent les mêmes. Si le système se meut sans forces motrices relatives, et si les liens intérieurs sont inextensibles, (X', Y', Z'}.... seront nuls ainsi que l'intégrale de IQdq et la quantité de force vive relative reste invariable.

Si Ton prend le centre de gravité pour origine mobile, la deuxième équation de ce numéro se simplifie. En effet on a

h cause de

Imx" = 0, d'où Imàa! = 0.

Ou n aussi

2m — - 5o =» da2m -r7= SalK = SaM. -rz > d(* de* de*

à cause des équations des N""* 185 et i86.

L'équation en question devient ainsi, en changeant les d en d et supposant les U nuls,

— 2mi/di/— M^da - M^d6 - M^dc

dfi (il* dt*

-*- 2(Xdx H- Ydi/ -*- Zdjs) -*- IQdq = 0,

ou bien en désignant par des v les vitesses absolues et par V la vitesse du centre de gravité,

2mi/dt/= Imvdv -«- IQdq — MVdV,

et en intégrant,

2mt/* — ImvJ* = 2mv« — Imvo^ + 22/Qdg - M(V* — Vo)*.

Si les liens intérieurs étaient inextensibles, les Qdq seraient nuls, et Ton voit qu'alors V accroissement de force vive relativement au centre de gravité est égal à l'accroissement de force vive absolue diminué de l* accroissement de force vive du centre de gravité,

198. Usage de l'équation des forces vives dans le calcul de l'effet des machines. — Calculer l'effet d'une machine, c'est estimer la quantité de travail qu'elle peut produire pendant un temps donné. Tout travail d'une machine^ dans le sens vulgaire de ce mot, s'obtient en surmontant une résistance exercée contre un point en mouvement et ce travail est proportionnel à l'intensité de la résistance et au chemin que décrit son point d'application dans le sens de cette résistance. C'est ainsi que le travail destiné à élever de l'eau est proportionnel au poids de l'eau et à la hauteur à laquelle elle est élevée. Le travail fait par un rabot est proportionnel à la résistance du bois et au chemin parcouru par le rabot. On peut donc évaluer un travail par le produit d'une force par un chemin parcouru.

On nomme travail élémentaire d'une force, le produit de cette force par la quantité dont elle avance ou recule pendant l'élément de temps d(; un travail élémentaire est donc exprimé par Pdp. Le travail de la même force P pendant un temps fini est la somme des pro-

duits Pdp prise pendant ce temps, c'est-à-dire qu*il est Tiotëgrale (le Pdp prise dans cet intervalle.

Gela posé, considérons une machine quelconque dont toutes les parties sont liées par des liens inextensibles, comme il arrive dans la plupart des machines. Parmi les forces qui agissent sur cette machine en mouvement, les unes ne sont autres que celles qui y ont été appliquées pour la mettre en mouvement. Nous les appellerons forces mouvantes; les autres proviennent des efforts que la machine est destinée à produire et des obstacles qu'elle doit vaincre pour rester en mouvement. Nous les appellerons forces résistantes»

Il y a encore une troisième espèce de forces qui proviennent de ce que les différents points de la machine, ayant acquis une certaine vitesse, tendent à la conserver indéfiniment sans altération. Ces forces qui peuvent maintenir pendant quelque temps le mouvement de la machine, se nomment forces d'inertie.

On a vu (N"" 191) que dans tout système de forces à liens inextensibles, la somme des produits mvdv est égale à chaque instant au travail élémentaire des forces motrices; on a donc dans toute machine en mouvement, en désignant par m, m', etc. les masses des différentes parties de la machine, par i7, t/.... leur vitesse, par P, P'.... les forces mouvantes, par cfp, dp\ etc. leurs déplacements pendant dty par Q» Q'9 Q"» ^^^' ^^^ forces résistantes et dq^ dcf^ etc. leurs déplacements,

2mydi? = SPcfp -4- ^(^dq ,

ou en intégrant depuis le temps t jusqu'au temps f , et désignant par Uo, Vo' ... les vitesses initiales de m, m', etc.,

~2mv' — - Imvo^ = 1\ Vdp -^ 1 \ Qdq

dans laquelle le premier membre représente la moitié des forces vives gagnées entre les deux époques, ou, ce qui est la même chose (N** 114), la quantité d'action due aux forces d'inertie. Remarquons que le mouvement de la machine ayant lieu dans le sens des forces mouvantes et en sens inverse des forces résistantes, il en résulte que Pdp est positif et Qdq négatif; l'équation précédente prend donc toujours la forme

1 1 f*' f*' Vmu«~i2mt?o* = 2 \ P(ip-2\ Qdq.

Telle est réquation générale des forces vives employée dans la théorie des machines. Elle exprime que pendant un intervalle de temps quelconque, la quantité de travail des forces d*inertie ou la moitié de l'accroissement des forces vives est égale à l'excès du travail des forces mouvantes sur celui des forces résistantes.

On a donné aux sommes 29dp et IQdq différentes dénominations, telles que quantité d^action élémentaire y effet dynamique, etc. Nous leur laisserons, d'après M. Goriolis, la dénomination de quantité de travail élémentaire des forces mouvantes et résistantes, ou travail moteur et travail résistant.

On tire de l'équation des forces vives la valeur suivante :

1\ Qdq = l\ Pdp--(2mv«~2mt?o*),

c'est-à-dire que le travail résistant est toujours égal au travail moteur diminué de la moitié de la force vive qui a été introduite dans les organes de la machine pendant un certain intervalle de temps.

Si le temps t est compté à partir du moment où la machine était immobile, lifnvo* sera nul, et il viendra

( Qdq'^^li Pdp-|2mt?«.

On voit donc qu'à une époque quelconque, le travail résistant de la machine est inférieur au travail mouvant, de la moitié de la force vive qui l'anime. D'un autre càté, si, à une certaine époque, les forces motrices cessent d'agir et que le mouvement continue par le seul effet des forces d'inertie , on aura pour le travail résistant obtenu depuis cette époque jusqu'à l'entière destruction des mouvements ,

lfQdq = ^lmv\

c'est-à-dire que le travail résistant fourni par les forces d'inertie est égal à la demi-somme des forces vives qui animaient la machine. En rapprochant ce résultat du précédent, on voit qu'en évaluant le travail d'une machine depuis sa mise en mouvement jusqu'au repos, son travail résistant sera toujours égal à son travail mouvant.

Si la force mouvanle est ud poids P qui descend el la force résislante UD poids Q qui s'élève, P et Q seront constants et il viendra

- 2mt?« = Pp ^ Qq,

p et q seront évidemment les hauteurs dont P et Q seront descendus et montés depuis le commencement du mouvement. On tire de là

Qqr = Pp — - 2mt?«,

c'est-à-dire que, quelle que soit la machine employée pour soulever un poids au moyen d'un autre poids, le produit du poids soulevé, par la hauteur à laquelle on l'aura élevé est toujours inférieur au produit du contrepoids par la hauteur dont celui-ci est descendu, d'une quantité égale à la moitié de la force vive qu'on a communiquée aiix parties de la machine.

i99. Travail utile. Travail perdu. Unité dynamique. — Observons que le travail résistant se compose du travail que la machine est destinée à produire, ou travail utile ^ et du travail résultant des frottements, de la résistance de l'air, etc. qui sont autant de forces s'opposant au mouvement. Si donc on réserve la lettre Q pour les forces qui produisent le travail utile, et si l'on désigne par R celles qui proviennent des résistances passives proprement dites, et qui ne produisent qu'un travail perduj il viendra

^lmv^--lmVo*==2\ Prfp-2i Qdq^l\ Rrfr,

d'où l'on tire

l{ (idq = l{ Vdp^l[ Rrfr — i(2mi;«-2m'o«),

c'est-à-dire que le travail utile d'une machine pendant un certain temps est égal au travail moteur diminué du travail des forces passives et de la moitié de la force vive qui a été ajoutée aux organes de la machine pendant ce temps.

Si les intégrales sont prises depuis le moment où la machine est

DYfiAHlQUe. 401

mise en mouvement jusqu'au moment où elle s*arrélc, il viendra

2( Q.dq = l[ Prfp — r( Rdr.

Celte équation exprime que le travail utile est toujours inférieur au travail moteur d'une quantité égale au travail des frottements, etc. Comme on ne peut soustraire une machine aux actions de ces dernières forces, on voit que toute machine produit nécessairement un travail utile inférieur au travail des forces qui la mettent en mouvement.

11 est visible que ^J*Qdq représente toujours une force multipliée par une ligne droite parcourue par son point d'application, et comme toute force peut être assimilée à un poids, cette somme peut toujours être assimilée h un poids multiplié par une certaine hauteur à laquelle on l'aurait élevé. Pour rendre ces intégrales comparables dans les différentes machines, on a adopté pour unité de travail le produit de iOOO kilogrammes par une hauteur de i mètre, c'est-à-dire qu'une machine aura produit un travail égal àl'unité^ lorsque son travail utile sera égal au produit de 1000 k. par 1*° de hauteur. On a donné à ce produit le nom d*unité dynamique,

200. Principe de la moindre action. — L'expression générale de la variation d'une intégrale définie (N*» 269 du Trailé d'analyse^ 2"" édition) conduit à un principe important de mécanique, connu sous le nom de principe de la moindre action qui consiste en ce que, entre deux positions par lesquelles passe à deux époques quelconques un système de points matériels sans ressorts, soumis à l'action de forces motrices, les vitesses acquises et les courbes décrites par les différents points sont celles pour lesquelles la somme des intégrales des produits de la masse de chaque point par la vitesse et par l'élément de la courbe décrite, ces intégrales étant prises depuis les premières positions jusqu'aux secondes, est un minimum, pourvu que 2(Xdx 4- Ydy-^Zdz) soit une différentielle exacte, ou pourvu que les forces vérifient le principe de la conservation des forces vives. Comme mv est la quantité de mouvement du point m, mvd$ est sa quantité d'action et 2J*mvds est la quantité d'action du système dépensée pour passer de la première position à la dernière, et il s'agit de démontrer que cette somme d'intégrales prises pour les courbes'que suivent en réalité les points matériels du système est moindre que pour tout autre mode de déplacement entre les deux mêmes positions extrêmes, obtenu soit en

rendant fixes certains points, soit en les assujettissant à glisser sur des courbes fixes, soit enfin en introduisant de nouvelles liaisons entre les points, pourvu que celles-ci soient de longueur invariable. En désignant par (a/, y', 2') et (x", y, z") les coordonnées extrêmes de la courbe décrite en réalité par Tun des points m du système, cette somme est représentée par

2 i mvds =* 2 l mv |/l -♦- p« -+- p,*dx;

Jx* Ja/

il faut donc démontrer que des variations quelconques infiniment petites introduites dans la forme des courbes passant par les deux positions extrêmes et dans les vitesses, ne produisent dans l'intégrale précédente aucun accroissement ou aucune variation, c'cst-à-dirc que l'on a

32 i mv j/1 -f-p* -t-p,* dx = 0,

ou

25 i mv 1/4 -4- p* -t- p;* dx =3 0. Jx'

Pour le démontrer, remarquons que dans cette somme d'intégrales

définies, chaque fonction mo[/i -4- p* + P/* contient trois variables fonctions de x, savoir v, p et p, fonctions de y et z; on a donc, en représentant mv |/i -+- p* -*- p;* par V et en prenant séparément les variations pour chaque point matériel, sauf à les réunir ensuite,

•■^ 5 i ày ^ dV ^ dV /T 5 î

V = mi;(/i-*.p*-*-p;S ^==0, -^=0, -^=mj/4-*-p*-*-p,S

dV mrp dV mvp,

dp ^/Y—T^t ' dp, |/i -t. p« H- p,«

L'intégrale définie qui entre dans l'expression de la variation de

♦rtt? j/i -H p* -4- p,* dx (2G0 du Trotté d'analyse, 2™*» édition) est x'

DYNAUIQUB. 403

donc

Jaf L «^ \/i + p« -*- p,V «^ \|/l -^ p« ^ p,V

(/l -+-P* -*-p,*A'M dx,

OU, en remplaçant y\ -♦- p* -f- P;', A, A' et A" par leurs valeurs -y-

dx

$y — p5x, Sz — Pfdxy et dw — pSx dans laquelle p représente — >

dx

i mdsdv — J mprf« — prf { twv j^ j — p,rf | mi? — )| (îx

Cette intégrale devient en remarquant que v a pour valeur j-» et si Ton remarque que Ton a

Hti-m-i^)'

et par conséquent en différentiant,

rf'v rf*^ rf^JP

Texpression précédente prend la forme

ou plutôt, en désignant par t' et t" le temps au moment du passage du système par les deux positions extrêmes ,

Ci-^' -p' -> -r^y-

Cette intégrale ne se rapporte qu'à la seule masse m; si Ton prend les valeurs analogues pour les autres masses m\ m"^ etc. la somme des intégrales définies qui entre dans l'expression de la variation de

2i m\) ^/i -♦- p* -f- p,* rfx,

deviendra, en observant que les limites (' et (" sont les mêmes pour toutes les masses,

$( 2mi?dv — 2m— n Sx — Im -j^Sy — Im -.— Sz ] dL ^\ rf«« d(« ^ di* )

Or, je dis que la quantité comprise entre les parenthèses est nulle , pourvu que les forces tant intérieures qu'extérieures, représentées par (X, Y, Z), soient telles que

2(X(ix-+-Ydy + Zdz)

forme une différentielle exacte d'une fonction de coordonnées considérées comme indépendantes; en effet en représentant l'intégrale par 2(p(x, y, z)^ le principe de la conservation des forces vives donnera

2mu* = 22(p (x, y, z) ,

équation qui subsiste après comme avant la perturbation, puisque les forces restent les mêmes, et qui n'est pas altérée par l'introduction de nouveaux liens intérieurs (pourvu que ceux-ci soient inextensibles], puisque l'on sait (fin du N^ 191) que les forces provenant des liaisons de cette espèce n'entrent pas dans l'équation des forces vives. Il suit de là que le second membre ne contient d'autres variables que les coordonnées (x, i/, z), etc. et que par conséquent sa différentielle et sa variation sont identiques; on a donc

Imve/t; = 2 ( -p rfx -f--7^ rfy -♦- -~dz \ > \dx dy '^ dz J

et en écrivant dt?, Sx au lieu de dv, cfx....,

\ax dy dz J

Gt par suite

lmv$v = iXàx 4- lYSy -h lZ$z,

attendu que l(Xdx -^Ydy -^ Zdz) est la diffërcntiellc totale de ^9(^9^9 2)* I^'un autre côte, le principe des vitesses virtuelles donne entre les forces motrices (X, Y, Z) et les réactions dues k rinertie qui leur font équilibre , la relation suivante , attendu qu'il n'y a pas de ressorts,

on a donc

dt* di* -^ rf(« '

ce qui fait disparaître complètement l'intégrale définie qui entre dans

çxf' la variation de \ Imvds, dont il ne reste que les termes qui se rap-

portent aux limites, savoir :

2m fr/' 1/4 -«- «"» + »,"« ^'if*-*-?/'*) \ j^„

— Im (v' j/1 + p'» -t- p/« <^(p"-«-p/*) \ ^j^

+ 2,» ^'P" - az" - 2m— —=^4=^ ^2',

ou bien on réduisant,

/i -^ p'« H- p/* ou enfin

406 CQAPITRE XX.

parce que Ton a

ds" dsf

Comme les positions extrêmes des différents points sont invariables par hypothèse, les variations {^x", 5y", dz"), etc., (da/, 5y, Jz'), etc. sont nulles et Ton a par conséquent

52 \ mvds == 0,

d'où Ton conclut que 2 \ nivds est en général ou un raaximuai ou

un minimum.

11 est à remarquer que les termes aux limites peuvent disparaître et par conséquent, qu'il peut y avoir maximum ou minimum sans que les variations Sxf^f etc. soient nulles, ou sans que les positions extrêmes soient

invariables; il suffît en général que Im ( -r-^x -♦- -r <îy -*- -j-^^ ) soit

nul aux deux limites^ ce qui a lieu, par exemple, entre deux positions extrêmes où les vitesses des mobiles sont nulles. Cette condition est aussi remplie dans les positions du système où les quantités de mouvement des points extrêmes se font équilibre, puisque les équations des vitesses virtuelles, appliquées i ces quantités de mouvement ou à des forces équivalentes, sont visiblement

\dt dt ^ dt J

Comme des quantités de mouvement appliquées à des points fixes sont aussi détruites, on peut dire d'une manière générale que dans le mouvement d'un système^ IJ^mvds a une valeur maxima ou minima entre deux positions pour lesquelles les quantités de mouvement appliquées seules aux points matériels extrêmes soit fixes soit mobiles sont détruites. Celte propriété subsisterait encore si quelquesuns des points étaient assujettis à demeurer sur des surfaces; car dans ce cas tous les raisonnements précédents seraient encore vrais et par conséquent la variation de l'intégrale définie s'évanouirait encore.

maximum

Quand le système se réduit à un point matériel glissant sans force motrice entre deux points fixes sur une surface, on sait que la vitesse est constante; d'où il suit que c*est alors fds^ c'est-à-dire l'are $ décrit qui est maximum ou minimum.

La somme d'intégrales 2\ mvds peut être mise sous la forme

ÎléKnvHt en remplaçant ds par vdi^ et comme 2mt;* est la quantité de

force vive qui existe à une époque quelconque, on voit que le principe

de la moindre actioti consiste en ce que le passage du système d'une

position donnée à une autre position donnée se fait de manière que la

quantité de force vive intégrée par rapport au temps entre ces limites^

est un minimum ou un maximum. Si le système se meut sans forces

motrices, on sait que Imv* est invariable et l'intégrale définie devient ftr

Imv^ \ dt = (t" — (') Imv^'f c'est donc alors t" — t' qui est

ou minimum, c'est-à-dire que le passage d'une position à l'autre se fait dans le moindre temps possible.

Nous ne nous arrêterons pas à recherclier les caractères généraux auxquels on peut reconnaître qu'il y a maximum ou minimum, parce que cette distinction sera ordinairement facile dans chaque application. Bornons-nous à remarquer que, sauf quelques cas particuliers tels que ceux où les points sont assujettis à demeurer sur des surfaces fermées, les questions en général ne comportent pas de maximum , attendu qu'il est visible qu'on peut faire croître indéfiniment ces intégrales en allongeant les courbes décrites.

201. Applications du principe de la moindre action. Lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière. — Le principe de lu moindre action peut servir à trouver les équations du mouvement d'un système de corps; mais comme son existence est soumise à de nombreuses restrictions, son usage est beaucoup plus borné et moins commode que celui du principe des vitesses virtuelles. Nous nous bornerons à l'appliquer à la recherche de la loi de la réflexion et de la réfraction de la lumière dans l'hypothèse de l'émission.

Supposons qu'une molécule lumineuse émanée d'un point B (fig. 116^^') soit réfléchie par l'axe des X au point D et arrive au point G. Soient m sa masse, BDC sa trajectoire et s une portion quel-

conque de sa longueur comptée à partir du point B, et v la vitesse de rémission. On devra avoir entre les points extrêmes B et C,

S\ mi?rf« = 0, ou bien ê\ d8='0,

parce que le rayon restant dans le même milieu, la vitesse v est constante;

mais

BD ■+• DC ou .s -H «'; on a donc

lis l ds n'est autre chose que le chemin total parcouru, e'est-à-dirc

ou bien en représentant ÂD par x,

d [/(x — x')* -*- y* -H |/(x" — x)« -^ y"*] = 0. En prenant la variation ou la différentielle par rapport h x, on trouve

X — xf x" — X

c'est-à-dire

X — x' x" — X 6D cD

, ou âD = CD'

Cette proportion fixe la position du point D cl il est facile d'en conclure que les angles d'incidence et de réflexion BD6 et GDc sont égaux.

Si la molécule lumineuse émanée du point B arrivait au point C en passant d'un milieu dans un autre séparé par l'axe des X, en appelant V la vitesse constante de la propagation de la lumière dans le premier milieu et t/ dans le second, l'équation de la moindre action donnerait encore

fX"

à\ mvd$ = 0^

d'où l'on tire en prenant l'intégrale d'abord depuis B jusqu'à D et ensuite depuis D jusqu'à C,

on tire de là comme précédemment

et en effectuant la différenciation ,

-i__i=-A__^, ou bien t;=t/^.

EE' étant une normale à Taxe des X, on a

sinBDE«?^, sinC'DE'^^;

il vient donc

sin RDE i/

sin C'DE' V

Gomme v et v' sont des constantes, on conclut de là que le rapport des sinus des angles BDE et E'DC est invariable et par conséquent que dans le passage du rayon lumineux d*un milieu dans un autre ^ le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction est invariable.

Théorie du choc des corps élastiques ou imparfaitement élastiques. — Mesure du choc de deux corps. — Choc de deux sphères homogènes. ■— Détermination par Texpérience du coefficient d^ciasticité dans le choc de deux sphères respectivement homogènes.

202. Théorie du choc des corps élastiques ou imparfaitement élastiques. — Jusqu'ici on a supposé que lorsque deux corps viennent se clioquer, ils s'aplatissent d'une certaine quantité au point de contact, et que pendant cette compression il se développe entre eux une force variable de grandeur, qui finit par s'évanouir quand la compression est h son maximum. Nous avons appelé ce phénomène percussion; mais dans tous les corps connus, cette percussion est suivie d'un autre phénomène qui consiste en ce que, après la compression, les deux corps tendent à reprendre en partie leur première forme, en recommençant à se presser mutuellement avec une certaine force qui, après avoir été en décroissant pendant quelque temps, finit aussi par s'évanouir. Nous appellerons choc l'ensemble de ces deux effets. Si cette seconde compression n'avait pas lieu, ou si les corps ne tendaient pas & reprendre leur première forme après la percussion, les corps seraient dits non élastiques. Celte seconde partie, qui constitue la détente des corps , est due à leur élasticité. Tous les corps sont doués de celte propriété, quoique à des degrés bien différents ; tous tendent à reprendre leur première forme en exerçant de nouveau un effort plus ou moins énergique contre ceux qui ont servi à les comprimer; mais en général ils ne reprennent qu'en partie leur forme primitive, et le rapport de retendue de cette détente à l'étendue de la compression.

DYNAMIQUE. 4ii

aussi bien que le rapport de riotensité de la pression avant et pendant la détente, forment les éléments essentiels de la mesure de l'élasticité d*un corps.

Pour soumettre au calcul le phénomène du choc, on admettra que pour tous les corps 1® la durée de la détente est la même que celle de la percussion , 2^ que dans les deux parties du phénomène la pression varie suivant la même loi, ce qui suppose que pour des instants également éloignés du moment moyen ou du moment de plus grand aplatissement, le rapport des pressions reste le même; enfin 5° que le rapport de l'aplatissement et de la dilatation pendant un instant dt également éloigné de l'instant moyen reste invariable. Cela posé, appelons comme plus haut, v et V les vitesses des corps avant cl après le choc. Y' la vitesse après la percussion, T et T^ les forces de pression développées entre deux corps & une époque quelconque de la percussion et de la détente, dq et dq, les aplatissements réunis des deux corps pendant des instants dt pris à égale distance de l'instant moyen, c'est-à-dire l'allongement ou le raccourcissement du lien fictif qui unit les deux corps. On a vu au N"" i93 que si l'on compare le commencement et la fin de la percussion, on a

2mV'«

2mt« = 2 ( Tdq.

D'un autre côté, en comparant les forces vives au commencement et à la fin de la détente considérée comme une seconde percussion , on a aussi

lm\* — lm\'* = 2 l T//7, , d'où Ton (ire en additionnant,

2mV2 - Imv^ = 2 f Td(/ -^ 2 ( T,^^,,

ou plutôt,

Lmu* = 2( Tdq-- "ii T,dq,

parce que pendant la période de la percussion , dq répond à un rapprochement des deux corps, tandis que pendant la détente, dq, répond à un ccartemcnt.

4i2 CHAPITRE XXI.

Par hypothèse, les rapports -=7 et -p des pressions et des aplatissements pour des moments ëquidistants de l'instant moyen restent invariables; si donc on les désigne par n et n', on aura

T,dq, = nn'ldq , et en, substituant, la dernière équation des forces vives deviendra

2wV« — 2mt?« = 2 (i — nn') { Tdq.

Dans tous les corps connus, les rapports n et nf sont inférieurs à Vuniié^ parce que la détente est toujours moindre que Taplatissement et que T^ est plus petit quel. Il suit de là que le facteur constant i — nn' est positif, et comme on a vu (N<> 194) que Tdq^ et par suite i Tdq est une

quantité négative ^ il résulte de cette équation qu'il y a toujours perte de force vive dans le choc de corps qui ne sont pas parfaitement élastiques. Si n etn', d'où dépend le degré d'élasticité combinéedcs deux corps, étaient égaux à l'unité, auquel cas l'élasticité des deux corps serait parfaite, le second membre serait nul et il n'y aurait pas de perte de force vive ; si au contraire n ou n' était nul, ce qui indiquerait l'absence de toute détente, il viendrait

SmV» — 2fnv« = 2 ( Tdq y

comme au N"* 194.

On a vu que u étant la mesure de la percussion, on a

Tdq = - WII7* — mV* = — t*M 7- ) ;

il vient donc, en désignant le produit nn' par A;^, que nous appelle-, rons coefficient de l'élasticité dans le choc des deux corps m et m',

Imv^ — 2wV* == (1 - k^) u« ^l^mL = (i — ifcî) «« /^i H. 1 Y

mm' \m iwy.

qui apprend que la quantité de force vive perdue par suite d'un choc entre deux des corps du système, est égale au produit du binôme 1 — fc* par le carré de la mesure de la percussion et par la somme

des inverses des deux masses, ou est égale à la somme de ces produits, s'il y a plusieurs chocs simultanés.

Cette somme est nulle si tous les corps sont parfaitement élastiques.

Elle est égale à 2u'( — i — -, ) si les corps sont dépourvus d'élasticité.

Quand le système se compose de deux corps m et m' qui viennent se choquer, Téqnation se réduit à

mv^ -^ mV« — mV« — m'V* := (1 — k^) ti« ( - h- -- ) ,

et si le système se réduit à un point matériel exerçant un choc contre un corps fixe, il vient

valeur que l'on déduit de la précédente en y faisant t/ et V nuls et m! infini; car supposer m' infini est l'équivalent de dire que cette masse reste fixe, puisque dans les deux cas il restera immobile malgré le choc. 11 est à remarquer que le coefficient d'élasticité k^ n'est pas absolu pour chaque corps, mais dépend de la' nature des deux corps en contact et doit être déterminé par expérience comme on le verra plus loin.

203. Mesure du choc de deux corps. — L'hypothèse que nous avons faite au numéro précédent sur le rapport entre les forces de pression des corps choquants pendant la détente et pendant la percussion, conduit immédiatement à la mesure du choc, c'est-à-dire de la quantité de mouvement que le choc communique aux corps choqués, comme nous avons déterminé plus haut (N°H55, 178, 179) la mesure u de la per* cussion; il résulte en effet de l'invariabilité de ce rapport n, que les quantités de mouvement communiquées pendant un même instant dt sont aussi dans le rapport constant n, qui sera aussi celui des sommes des quantités de mouvement engendrées pendant chacune de ces deux périodes. La quantité de mouvement engendrée pendant la percussion étant t/, celle qui l'est pendant la détente sera donc nu et la quantité totale de mouvement due au choc, c'est-à-dire sa mesure, sera u -h nu s=3 u(l + n). Cette valeur devra être substituée à u dans les formules des N°' 153 et suivants pour avoir les circonstances du mouvement après le choc. La valeur du facteur n, comme celle de k*, n'est pas absolue pour chaque corps, mais est relative aux deux corps en contact, à moins que ceux-ci ne soient de même nature.

Les forces qui se développent pendant la détente entre les corps choquants d*un système devant aussi être considérées comme des forces intérieures, il est visible que les principes de la conservation des aires et du mouvement du centre de gravité (N""* 187 et 188) qui sont indépendants de ces forces» subsisteront quel que soit le degré d'élasticité des corps, et si des chocs avaient lieu contre un obstacle ne faisant pas partie du système (N® 137), le centre de gravite se mouvrait de la même manière que si toute la masse y était concenirëc et que ce point reçût des chocs équivalents.

204. Choc de deux sphères. — Considérons en particulier le cas où une sphère homogène est choquée par une autre sphère homogène, et déterminons d'abord les vitesses après la percussion. Comme la normale suivant laquelle agit la percussion passe par les centres des deux sphères, centres qui sont aussi leurs centres de gravité, l'on sait (fin du N^ 177] que la percussion ne change rien au mouvement de rotation antérieur des deux corps. Quant à l'équalion du N" i78 qui donne la valeur de u, elle devient, en désignant par d et e les angles formés par les directions des vitesses V et v du corps choque M et du corps choquant m avec la normale commune, ou la droite qui joint les deux centres au moment du contact,

V C08 0 -4- -r = V cos e

qui exprime visiblement que les vitesses des deux corps dans le sens de cette normale sont égales. On en tire

Mm

(VC0S£ — Vcos(î).

La vitesse communiquée au corps M par rciïct de la percussion,

ou — est donc M

qui, après le choc entier, devient

(v cos Ê — V cos d)

(1 -4- n) (v cos £ — V cos o).

Celle vitesse devra ensuite être composée avec V, ce qui donnera pour les composantes totales dans le sens des axes des (X, Y, Z) de la vitesse

OYNAIIIQUE. 415

de la sphère M après le choc, (L, M, N) étant les angles de V avec les axes et (a, 6, c) les mêmes angles pour la normale au point de contact des deux sphères,

V cos L -♦- — (1 -¥■ n) (v cos e — V cos $) cos a, etc.

M -+- wi ^ ^ '

Quant à la sphère choquante m, le choc lui communique la vitesse

— (1 + n) dont les composantes sont

(4 •+• n) {v cos e — V cos $) cos a,

(1 -h n) (v cos e — V cos d) cos 6, etc. ;

les (rois composantes de la vitesse de m après le choc sont donc, en désignant par (/, m, n) les angles de v avec les axes,

V cos / — — (1 •+• n) (v cos £ — V cos d) cos a, etc.

M -H Wi

Ces six composantes font connaître la direction des deux corps après le choc. Si les deux sphères se meuvent dans la même ligne droite et dans le même sens, en prenant cette droite pour axe des X, il faudra faire

cos e c= 1 , cos 5 = 1 , cos a => i , cos L =3 i, cos / =» 4 et les vitesses de M et de m deviendront

En supposant les corps dépourvus de détente, ce que Ton exprime en faisant n égal à zéro, ces corps prennent une vitesse commune

[v — V). et v — rz (t? — V) ou

qui est aussi la vitesse après la percussion,, et si la détente est parfaite, ou si n est égal à l'unité, les vitesses après la détente deviennent

-- - *» („v) = 22iL±Jîîr-V.

On arrive immédiatement aux expressions précédentes des vitesses des deux sphères se mouvant dans une même ligne droite, en remarquant que la quantité de mouvement du système avant la percussion est MV + mv et que, comme les deux sphères restent réunies après la percussion, si l'on désigne par U la vitesse commune, la quantité de mouvement à cet instant sera

et par conséquent on aura, à cause du principe de l'invariabilité de la quantité de mouvement, pour une même direction (fin du N" 187),

U(MH^m)=:MV-*-wti?, d'où U =. ^,y "^ ^^ .

Pour tenir compte de la détente, remarquons que la vitesse de M après la percussion est

MV -H mv m

d'où il résulte que la percussion communique à M un accroissement de

vitesse égal h (v — V), La détente devant engendrer la même

vitesse multipliée par n (N° 205), la vitesse totale après le choc sera

De même, la vitesse de m après la percussion étant

MV -i- mv M ,

ns = r — Tz (v — V ,

on voit que la percussion fait perdre au corps choquant une vitesse

(v — V), et comme la délente engendre dans le même sens

la même vitesse multipliée par n, la vitesse de m après le choc sera

Supposons encore qu'une sphère 0 immobile (Hg. il8) soit choquée en un point A par une sphère o animée d'une vitesse v suivant Bo; en prenant la normale commune Oo pour axe des Y et pour plan des XY

celui qui contient Oo et la direction Bo de la vitesse v» il est visible qu'il faudra faire dans les formules précédentes,

l=-T: — fn, n = -7r, a = -7r, 6 = 0, c = -7r, Vc=0, Ê = m,

et les trois composantes suivant les axes, de la vitesse de o après le

choc seront

m — Mn . ,

vsine, v-— C08 6, et zéro.

Ces valeurs font voir, l"" que le centre de la bille ne sortira plus du plan XY, â"" que sa vitesse après le choc est égale à

/T\ /m - MnV " v\ / sin'e -+- I 1 cos*

et S"" que Tangle CoY que forme la direction de cette vitesse avec Taxe des Y a pour tangente Irigonométrique

sin 6 M -h w

tang e.

m — Mn m - Mn

Si la délente des deux corps est parfaite, et que la masse M soit infinie par rapport à m, ce qui revient à dire que la sphère 0 est un corps fixe, les vitesses de la sphère o avant et après le choc seront égales et la tangente de Tangle CoY deviendra — tang £, ce qui indique qu'alors les angles d'incidence et de réflexion CoY et BoY sont égaux. Comme ces résultats sont indépendants de la grandeur de la sphère 0 pourvu que celle-ci soit fixe, ils subsisteront encore en remplaçant cette der* nièrc par la surface plane d'un corps.

205. Détermination par l'expérience^ du coefficient d'élasticité dans le choc de deux sphères respectivement homogènes. — Si le corps M est en repos, on trouve pour vitesse de m après le choc, en supposant comme plus haut les deux sphères en mouvement dans une même ligne droite,

m — Mn

cl si la masse M est infinie relativement & m, ou bien si M est fixe, la

vitesse de m deviendra

qui fait connaître la vitesse avec laquelle rejaillit une bille lancée avec une vitesse v normalement contre la surface d*un autre corps rendu fixe ou infiniment grand. Si la détente des deux corps est parfaite, cette vitesse est — v, c'est-à-dire qu'elle est égale à la vitesse de la bille incidente. Elle peut aussi servir à déterminer expérimentalement la valeur du facteur n relatif à deux corps m et M; car si on laisse tomber la sphère m verticalement d'une hauteur h sur la surface horizontale du corps fixe M, la vitesse v acquise au moment du choc sera

\/^ghy et si A' est la hauteur à laquelle la sphère remonte, l^^gh' sern la vitesse après le choc; on aura donc

l/âffÂ' = » |/ i^Â d'où »*==T--

La même expérience donne la valeur du coefficient d'élasticité k^\

car si Ton remarque que les vitesses avant et après le choc sont l/^^gh

et [/^gh\ et que la mesure u de la percussion de la sphère m contre

une sphère immobile et infinie M est représentée par mv=:nn/2gh^*\ il est visible que l'équation de la fin du N*> â02 donnera en substituant

j/2gfft et Y^gK à t? et V, et remplaçant u par mv,

A' k' = »' ou — •

Il suit de là que le coefficient k^ a la même valeur que n^, et comme Areprésente le produit de nn\ on voit que les rapports n et n' sont toujours égaux. Dans le choc de deux sphères, les valeurs de la pression varient donc suivant la même loi pendant la percussion et pendant la détente.

(1) La formule de la fîn du No 178 conduit à cette valeur en posant W=0, W = V, M = 00 , M' = m, A' = 00 , B' = ao , C = oo\ et remarquant que les binômes zaosh — ycosc, etc. sont nuls (fin du N*» i77), parce que la direction de la percussion passe par le centre de gravité de la sphère choquante.

Etats d*agrégation des corps. Force moléculaire. Fluides aériformes ou élastiques. Fluides incompressibles. ~ Principe de Tégalité de pression. Pression hydrostatique. — Pression dans les fluides élastiques. — Pression dans un fluide incompressible soumis à des forces motrices. Conditions dVquilibre d'une masse fluide. — Pression dans les fluides élastiques soumis à des forces motrices. Conditions d'équilibre d'une masse fluide élastique. — Équation de la surface libre dans un fluide incompressible. Surface d'égale pression. Couches de niveau.

— Équilibre de plusieurs fluides incompress blés dans un même vase. — Équilibre d'une masse fluide élastique de température uniforme ou variable. Loi des densités. — Problèmes divers. — Pression atmosphérique. Mesures barométriques. — Applications aux fluides pesants. -> Centre de pression pour une paroi plane. — Pression sur une paroi courbe. — Pression contre un corps plongé. — Équilibre d'un corps flottant. — Position d'équilibre d'un corps flottant. — Application au prisme triangulaire. — Stabilité des corps flottants. Métacentre. — Oscillations des corps flottants. Oscillations du centre de gravité. — Oscillations autour du centre de gravité. — Théorie générale des oscillations d'un corps flottant. — Oscillations des différents points d'un système de forme variable. Principe de la superposition des petites oscillations.

— Applications au prisme triangulaire et au parallélipipède.

206. États d'agrégation des corps. Force moléculaire. Fluides aériformes ou élastiques. Fluides incompressibles. Pour rendre compte des (iiffércnls états d^agrëgation des corps et des phénomènes qui en dépendent, on considère les corps comme formés d'une agrégation de particules retenues à une certaine distance les unes des autres par la double action très énergique de forces attractives et de forces répulsives. Les forces attractives résident dans la matière de chaque particule; elles diminuent rapidement quand la distance augmente, et leur sphère d'activité ne s'étend qu'a de très petites distances, de telle sorte qu^clles

n*agisscnt qu'entre les particules immédiatement voisines. Les forces répulsives dont l'intensité diminue aussi quand les distances augmentent, sontattribuéesà la présence du calorique qui, en pénétrant dans les vides laissés entre les particules, tend à les écarter; ces forces augmentent par conséquent avec la quantité de calorique et diminuent lorsque le volume du corps augmente, le calorique et le nombre des particules restant les mêmes. La différence des deux forces qui agissent entre deux particules voisines se nomme force moléculaire. Quand le corps est dans un état permanent sous la seule action de ces forces, c'est-à-dire dans un é(at d'équilibre intérieur, les forces attractives et répulsives doivent être égales pour se détruire; mais si l'on change la forme du corps et par conséquent la distance entre certaines particules, ou si Ton accroît ou diminue la quantité de calorique, les forces moléculaires tendent à devenir positives ou négatives, ou à rester nulles, c'est-à-dire que le corps tend à reprendre sa forme primitive, à s'en éloigner indéGniment ou est indifférent à ce changement^ suivant que l'équilibre entre les forces moléculaires dans l'état permanent, est un équilibre stable, instable ou indifférent, ce^iui dépendra pour chaque nature de corps, de la distance particulaire et de la quantité de calorique. Celte hypothèse admise, on voit que si la force moléculaire devient positive quand on déforme un corps en éloignant ses particules, un effort sera nécessaire pour rompre un semblable corps qui présentera ainsi les différents degrés de solidité , pendant que cette force passera par ses différents états de grandeur positive. Au-delà d'une certaine limite, le corps sera appelé dur; en deçà, il présentera les différents degrés de viscosité indiqués par les mots mou, visqueux, etc. Si la force moléculaire devient négative, les particules tendront à s'éloigner, comme cela a lieu pour les liquides au moment où ils commencent à s'évaporer. Si la force moléculaire est constamment négative, les particules s'éloigneront indéQnimcnt, à moins qu'une force extérieure n'y fasse obstacle, ou à moins que la matière ne soit renfermée dans un vase clos. Le corps est appelé alors fluide aériforme. L'air atmosphérique et les différents gaz nous offrent des exemples de semblables corps.

Si un semblable fluide passe dans un vase plus grand ou plus petit, sa densité ira en augmentant ou en diminuant dans le rapport de la capacité du vase, et la force moléculaire ainsi que la pression contre une portion de la paroi du vase diminueront ou augmenteront dans les mêmes circonstances, puisque les distances entre les molécules

augmentent ou diminuent. La loi suivant laquelle varie celte pression dépend de la nature des forées moléculaires qui nous est totalement inconnue; mais Mariette a constaté par expérience que pour un même fluide, le rapport de Tintensité de la pression à la densité reste invariable, quand la température reste la même.

Enfin, lorsque la force moléculaire reste nulle après la perturbation, les particules ne tendent ni à se rapprocher ni à s*éloigner; elles sont donc dans un état de mobilité parfaite, et le moindre effort suffît pour les faire glisser les unes contre les autres. Le corps prend alors le nom de liquide. On conçoit pourquoi des forces motrices extérieures, telles que la pesanteur, des pressions, etc., appliquées à un corps solide ou liquide, ne diminuent ni n'augmentent sensiblement les distances entre les particules, ou n'en changent pas le volume : un changement dans ces distances ne s'obtient qu'en surmontant la force moléculaire, ce qui ne peut se faire avec des forces motrices ordinaires, parce que dans ces deux états d'agrégation , la force moléculaire croit avjec une grande rapidité quand la distance diminue. Dans les fluides aériformes au contraire, des forces motrices ordinaires suffisent pour diminuer le volume, parce que la grande distance qui sépare les molécules dans cet état d'agrégation fait que les forces intérieures sont comparables à la pesanteur. Cette circonstance a fait donner aux liquides le nom de fluides incompressibles par opposition aux fluides aériformes qui sont nommés fluides compressibles ou élastiques.

207. Principe de l'égalité de pression. Pression hydrostatique. — On appelle hydrostatique la partie de la mécanique qui traite des lois de l'équilibre des fluides. Considérons une masse fluide incompressible que nous supposons d'abord soustraite à l'action de la pesanteur et de toute autre force motrice extérieure. Renfermons-la dans un vase clos de toute part et percé de deux ouvertures égales et très petites de forme quelconque fermées au moyen de deux pistons mobiles dans deux petits tubes cylindriques adaptés à ces ouvertures. Appliquons à ces pistons, dans le sens de l'axe de chacun des tubes^ deux forces P et F agissant vers l'intérieur du vase. Chacune des forces tendra à y faire pénétrer le piston ; elles comprimeront donc le fluide en pressant chaque particule contre ses voisines, et ces pressions se transmettront de proche en proche depuis la particule placée auprès de l'un des pistons jusqu'à la particule placée contre l'autre qui, à son tour, sera pressé et serait repoussé hors du vase sans la résistance qu'oppose la force P' qui y est appliquée extérieurement et qui suffira pour maintenir l'équilibre, si elle est égale à la pression exercée par le fluide contre la face

intérieure du piston. Pour trouver le rapport entre ces deux forées P et P' ou, ce qui est la même chose, entre les pressions exercées par le fluide aux deux points où sont placées les ouvertures, imprimons à la masse fluide un déplacement virtuel en faisant avancer un des pistons d'une quantité infiniment petite dp; Tautre reculera de dp\ et l'équation des vitesses virtuelles donnera

Vdp — P'c/p' = 0.

Dans cette équation on ne tient pas compte des forces intérieures, parce que le fluide étant incompressible, les particules restent à des distances invariables et par conséquent les liens fictifs qui les unissent sont inextensibles (N^" 141). On ne tient pas compte non plus des pressions des parois du vase, parce que celles-ci étant normales à la surface, tout glissement sur la paroi a lieu suivant une perpendiculaire à ces pressions, et le moment virtuel est nul. On doit^aussi poser

dp = dp\

car si &) est la surface de l'un des pistons, oadp sera le volume du fluide déplacé par le premier piston, et (ùdp' le volume de fluide sorti du vase, volumes qui doivent être égaux si le fluide est incompressible. En combinant ces deux équations, on trouve

(P — p') dp = 0,

et par conséquent

qui nous apprend que lorsqu'une masse fluide sans forces motrices est comprimée dans un vase, elle exerce des pressions égales en chaque point de sa paroi. La même pression est exercée dans l'intérieur de la masse fluide contre une surface égale à celle du piston et placée d'une manière quelconque; car cette surface peut toujours être considérée comme appartenant à un piston idéal, placé à Texlréniité d'un tube adapté au vase et prolongé dans l'intérieur.

C'est dans cette propriété que consiste le principe de l'égalité de pression des fluides. Beaucoup d'auteurs, au lieu de fonder l'hydrostatique sur une hypothèse relative aux forces moléculaires, admettent le principe d'égalité de pression comme un principe donné par l'expérience, et en font le fondement de cette branche de la mécanique.

Comme le principe de l'égalité de pression subsiste quels que soient le nombre et la disposition des pistons, on conçoit qu'en les juxta-

posant de manière à former un seul grand piston plan, la pression totale que celui-ci supportera est égale à la résultante, c'est-à-dire à la somme de toutes les pressions partielles; elle est donc proportionnelle à la surface du piston. Il résulte de là que la pression éprouvée par une portion plane de la paroi d'un vase est proportionnelle à l'étendue de cette surface, et si l'on représente par p la pression exercée contre un piston ayant une surface égale à l'unité, une autre surface plane égale à gù éprouvera une pression totale représentée par up. Il faut bien distinguer la pression totale ou la pression effective éprouvée par la surface &) , c'est-à-dire cop , de la pression que supporte une portion de tù égale à l'unité ou p. Cette dernière se nomme pression rapportée à l'unité de surface ou pression hydrostatique et donne la mesure de ^intensité de la pression.

208. Pression dans des fluides élastiques. — Si le fluide contenu dans le vase était compressible, il faudrait en général, dans l'équation des vitesses virtuelles du N® 207, tenir compte des moments virtuels des forces intérieures, c'est-à-dire des forces moléculaires, parce que les particules ne restent plus en général, comme pour les fluides incompressibles, à des distances invariables (N** i41). Quant aux pressions contre les parois du vase, elles disparaissent encore de l'équation d'équilibre pour le même motif que plus haut; mais si les déplacements dp et dp' des deux pistons sont égaux et en sens inverse, ce qu'on peut toujours réaliser dans un mouvement virtuel, comme la capacité intérieure du vase restera la même, le fluide ne sera pas condensé, les distances entre les particules ne seront point diminuées et les forces moléculaires se comporteront comme si le fluide était incompressible ; on aura donc, comme au N° 207,

Vdp -i-F(/p' = 0, ou plutôt,

Pdp — P'rfp==0,

parce que dp est égal à dp' et que les moments virtuels Pdp et F(/// sont de signe contraire. On tire de là

c'est-à-dire que si un fluide élastique sans pesanteur est renfermé dans un vase clos, IHntensité de la pression sera la même partout et dans toutes les directions.

209. Pression dans les fluides incompressibles soumis à des forces

motrices. Conditions d'équilibre d'une masse fluide. — Considérons de nouveau une masse fluide incompressible renfermée dans un vase muni de deux pistons et supposons-la soumise à Taction de la pesanteur, ou plus gënëralcment, de forces accélératrices quelconques, ayant (X, Y, Z) pour composantes parallèles aux axes. En appelant P et P' les intensités des pressions, ou les pressions hydrostatiques exercées contre les deux pistons et o) leurs surfaces que nous supposerons très petites et égales, les pressions effectives ou les forces appliquées aux pistons seront uP, a)P', et si Ton désigne par c/p, dp' leurs déplacements Tun positif et l'autre négatif, par dm la masse de Tune des particules du liquide et par {dx^ (/y, dz) les déplacements très petits de dm dans le sens des axes, on aura

— (ùVdp -4- «P'rfp' -4- 1dm {Xdx -+• Ydy -+- Zrfz) = 0,

la somme étant étendue à toutes les particules de la masse fluide que le mouvement des pistons fait changer de place. A cette équation il faut joindre la condition de Tincompressibilité du fluide qui est, comme plus haut,

&)dp = (ùdp'y

ce qui lui fait prendre la forme

(P — F) «dp — 1dm {Xdx -^ Ydy + Zdz) = 0.

La transmission de Faction du premier piston sur le deuxième doit se concevoir de cette manière : le fluide refoulé par le premier piston et dont le volume est (ùdp^ chasse devant lui un volume égal dont il prend la place; celui-ci prend également la place d'un volume égal poussé devant lui, et enfin celui qui est placé devant Tautre piston le repousse en s'introduisant dans son cylindre. Or si Ton prend pour dm ces volumes invariables successivement déplacés, ((fx, e/y, dz] seront les différentielles servant à passer d*un élément à Tautrc de la courbe quelconque suivant laquelle se fait la transmission depuis un des pistons jusqu'à Tautre, et en désignant par p la densité du fluide dans l'un de ses points, on aura

dm = pwrfp,

et l'équation des vitesses virtuelles deviendra

(P — P') wdp — Ipcùdp (Xdx -4- Ydy -+- Zdz) = 0,

ou plutôt, en observant que cocip peut sortir du signe sommatoirc

comme facteur commun , et que p est constant si le fluide est incompressible,

p = P' + p2 (Xdx -+- Ydy -+- Zdz), et en remplaçant le signe sommatoire 2 par le signe d'intégration,

p =1 F -*- pf(Xdx -+- Ydy 4- Zdz),

qui fait connattre la pression P en un point quelconque pris soit sur la paroi du vase soit dans Tintërieur, connaissant la pression F exercée en un point déterminé^ ainsi que l'intégrale de Xdx + Ydy + Zdz prise depuis le point P' jusqu'au point P.

L'équation qu'on vient de trouver donne lieu h une remarque importante. Son existence est nécessaire et suffisante pour assurer l'équilibre de la masse fluide, puisqu'elle n'est qu'une transformation de l'équation la plus générale des vitesses virtuelles. Or, si l'on compare les pressions P et F en deux points infiniment voisins quelconques, la différence P — F sera la différentielle totale dP de P, et l'intégrale ,f(Xdx -h Ydy -*- Zdz) se réduira à l'un de ses éléments différentiels ou Xdx -*- Ydy -t- Zdz ; on doit donc avoir pour qu'il y ait équilibre,

rfP = p {Xdx -H Ydy -^ Zdz),

c'est-à-dire que p {Xdx + Ydy + Zdz) doit être la différentielle totale de la fonction qui représente la pression au point qui a pour coordonnées {x^y^z). D'où il suit d'abord que P ne peut contenir d'autres variables que (x, y, :) et ensuite qu'on doit avoir

dp, rfP, dP, ^, ^,

— ax -I- — ay -♦- — az = pXax -*- pYay ■+■ pZdz.

Comme les deux points voisins dont nous avons comparé les pressions sont arbitraires, dx, dy, dz sont aussi arbitraires, c'est-à-dire qu'aucune relation particulière n'existe entre les coordonnées (x, y, z}, et que par conséquent ces trois variables sont indépendantes. Celte circonstance rend nécessaire l'égalité des coefficients de (dx, dy, dz) dans les deux membres de l'équation précédente, et conduit aux relations

dP ^ dP ^ dP ^ Tx=^P^^ Ty^P^^ Tz"^^^^

qui sont aussi les conditions nécessaires et suffisantes pour assurer

426 CHAPITRE XXU.

réquilibre. Ces conditions peuvent être transformées en d'autres plus commodes en remarquant que si Ton dérive les deux membres de ces équations, et qu'on remarque que

dxdy dydx *'

il vient

dX dY dY dZ dX^dZ dy dx dz dy dz dx

qui sont les conditions sans lesquelles l'équilibre d'une masse fluide serait impossible sous l'action des forces (X, Y, Z).

On a vu dans le calcul intégral, 2™" édition (N"* 2iO) que ces trois équations expriment que Xdx -f- Ydy + Zdz est une différentielle exacte d'une fonction de trois variables indépendantes (x, y, z); c*esl donc de cette condition que dépend l'équilibre de la masse fluide. En désignant par (x, y, z) les coordonnées du point où est situé le piston P et par (a, 6, c) celles du piston F, l'intégrale de Xdx -*- Ydy -f- Zdz prise entre ces deux points sera de la forme 9 (x, y, z) — 9 (a, b, c), et la valeur de P devient

p = F -t- p9 (or, y, «) — fxp (a, 6, c).

Cette valeur est indépendante de la direction de la pression et est fonction seulement des trois coordonnées (x, y, 2) du point d'application du piston P; d'où il suit qu'elle est la même pour tous les cylindres qui aboutissent au même point et par conséquent qu'autour d'un point pris dans l'intérieur d'une masse fluide y la pression est la même dans tous les sens,

210. Pressions dans les fluides élastiques soumis à des forces motrices. Conditions d'équilibre d'une masse fluide élastique, — Si le fluide était élastique, on ne pourrait plus en général supprimer, comme plus haut dans l'équation des vitesses virtuelles, les moments virtuels des actions intérieures de particule à particule; mais si l'on fait en sorte que les déplacements des deux pistons égaux soient aussi égaux, comme la capacité intérieure restera alors la même, le fluide se comportera comme s'il était incompressible et l'on aura encore pendant l'équilibre^

o^p jp «P'dp' — 1dm {Xdx -+- Yrfy -t- Zdz) =r 0, le signe sommatoire s'étendnnt du piston P au piston F, en suivant

une ligne arbitraire. Quand ou remplace dp' par dp^ et qu'on observe qu'en prenant pour dm la masse du volume cùdp refoulé par le premier piston, les différentielles (dx^ dy, dz) servent comme plus haut à passer d'un élément du canal de transmission du mouvement à l'élément suivant, et l'équation des vitesses virtuelles devient

P - P' =fp {Xdx H- Ydy -4- Zdz),

c'est-à-dire que la différence des deux pressions est égale à l'intégrale y*p [Xdx + Ydy + Zdz) prise entre des limites fixées par les coordonnées de ces deux points. La densité p ne peut plus sortir du signe d'intégration comme dans le cas du fluide incompressible, parce que ici cette densité est variable d'un point h l'autre.

On démontrerait, comme au numéro précédent, que cette équation ne peut exister, que si l'on a

5^-=pX, ^=pY, ;^ = pZ,

d'où l'on tire comme au N"* 209,

d (pX) ^ d (pY) d(pX)^d(pZ) d (pY) ^ d (pZ) dy dx dz dx dz dy

Il suit de là que, quand l'équilibre a lieu, la fonction p (Xdx + Ydy + Zdz) doit être une différentielle exacte d'une fonction des (rois variables indépendantes (x, f/, z) et il vient, comme pour les fluides incompressibles,

p — P' = cp (x, y, z) — 9 (a, 6, c).

On en conclut, comme au N" 209, que la pression est la mémo dans tous les sens autour d'un point.

211. Équation de la surface libre dans un. fluide incompressible. Surface d'égale pression. Couches de niveau. — S'il s'agit d'un fluide incompressible renfermé dans un vase ouvert d'un côté, comme il n'existe de ce côté aucune paroi pour détruire la force de pression intérieure, il est évident que dans toute l'étendue de celte surface la pression doit être nulle. 11 suit de là que si l'on prend la différence des pressions en deux points arbitraires de la surface libre, l'intégrale qui la représente y (Xrfx -h Ydy -i- Zdz) doit être nulle quelles que soient les limites, ce qui exige que l'on ait

Xdx -♦- Ydy -^ Zdz = 0.

Cette équation différentielle caractérise et par conséquent représente la surface libre du fluide. Elle appartient aussi à la surface le long (le laquelle les pressions sont égales, et en reprenant les raisonnements précédents, il est facile de reconnaître que cela est vrai pour les fluides élastiques comme pour les fluides incompressibles. Si on la met sous la forme

cfz = — ~rfx-~c/y,

elle exprime que la résultante R de(X, Y, Z), c'est-à«dire la force accélératrice, est partout normale à la surface d'égale pression; car la résultante des forces (X, Y, Z) fait avec les axes des angles (e, e^, e") donnés par

cosg= '^rr* cosrss — > cosr'=— >

|/x«nf*TY« R R R

et une normale à la surface dont Téquation différentielle est donnée plus baut, fait avec les axes les mêmes angles. Du reste, ce résultat est évident, car si la force n'était pas normale h la surface libre, elle se décomposerait en deux autres, dont Tune serait tangente à la surface et ne serait détruite par rien. 11 suit de là que si les forces accélératrices se réduisent à la gravité, comme celle-ci est verticale, la surface libre et les surfaces d'égale pi*ession sont des plans horizontaux.

On tire de cette équation une autre conséquence importante. On vient de voir qu'en posant

Xrfx-4- Ydy -t-Zrf2 = 0,

cette équation appartient non-seulement à la surface libre du liquide, mais à toutes les surfaces dont tous les points éprouvent la même pression ; si donc on divise la masse en un nombre quelconque de couches telles que dans toute l'étendue de chacune des surfaces de séparation, la pression soit la même, l'équation différentielle précédente appartiendra à chacune d'elles. On peut aussi obtenir les équations de ces surfaces en représentant l'intégrale générale de l'équation différentielle totale exacte par

et en donnant & C toutes les valeurs possibles dans l'étendue du fluide, l'une de ces valeurs conviendra à la surface libre; les autres appar-

tiendront à une des surraces intérieures d'égale pression , normales à la direction de la force accélératrice. Ces diverses surfaces ont été nommées surfaces d'égale pression et les couches se nomment couches d'égale pression. Si la force motrice est la pesanteur, ces surfaces seront des plans horizontaux et les couches prennent alors le nom de couches de niveau. .

Lorsqu'il s'agit d'un fluide aériforme, Xdx -h Yrfy -h Zrfz n'est plus en général une différentielle exacte, mais bien le produit p (Xcfx + Y(f]/ -f- Zc/z) ; d*où Ton conclut que la densité p doit être fonction de (x, y, z) pour que Téquilibre soit possible. En désignant par 9(x, y, z) l'intégrale de cette différentielle exacte, il vient

qui appartient aux différentes surfaces d'égale pression.

212. Équilibre de plusieurs fluides incompressibles dans un même vase. — S'il se trouve dans le vase plusieurs fluides incompressibles de densité différente p, p', etc. non mélangés, ces liquides en équilibre se disposeront d'une certaine manière et seront séparés par des surfaces que l'on détermine en remarquant que, si le deuxième liquide se solidiOe sans changer de forme, l'équilibre doit continuer à subsister dans le premier, et les pressions resteront les mêmes; on aura donc pour la différence des pressions dans le premier liquide^ en deux points quelconques de la surface de séparation ,

p — p' s= p y (Xdx -H Ydy -h Zrfz).

Si c'est le premier liquide qui est supposé solidifié, on aura dans le deuxième et aux mêmes points de la surface de séparation,

p — p' = p'/ (Xcfx -*- Ydy 4- Zdz) ;

d'où il suit que l'on doit avoir pour toutes limites de l'intégrale,

(p p')/(Xdx -i- Ydy + Zdz) = 0,

et par conséquent, si les densités sont inégales,

/ (Xdx -t- Ydy -^ Zdz) = 0.

Comme les limites de l'intégrale sont indifférentes, qu'on peut même réduire celle-ci h un élément différentiel, cette équation entraine la suivante :

Xdx-4- Ydy VZdz = 0;

iVoii il suit que la surface de séparation est une surface d'égale pres- ^:ion dans chaque liquide.

11 résulte de là que si Ton introduit dans un vase des liquides de différente densité qui ne se combinent pas, comme le mercure^ Teau, rhuilc, etc., ces fluides à l'état d'équilibre, devront se disposer par couches de maDière que la pression soit la même dans toute l'étcoduc de chaque surface de séparation^ et que celle-ci soit partout normale à la direction de la force accélératrice. Si la force est la pesanteur, ces surfaces de séparation seront des plans horizontaux. L'ordre suivant lequel ces couches de fluides incompressibles se succèdent, reste arbitraire ; mais comme on a vu que dans tout système mû par la seule gravité^ l'équilibre n'est stable que lorsque le centre de gravité est placé le plus bas possible, on voit que ces couches ne seront dans un état d'équilibre stable que lorsque les fluides les plus pesants seront placés le plus bas.

215. Equilibre d'une masse fluide élastique^ de température uniforme ou variable. Loi des densités, — On a vu que pour l'équilibre d'une masse fluide élastique, p (Xdx -+• Ydy + Zdz) doit être une différentielle exacte d'une fonction des trois variables indépendantes (x, t^, z). Supposons que les forces soient des attractions dirigées vers des centres fixes et fonctions des dislances à ces points; alors Xdx ■+• Ydy -h Zdz est aussi une différentielle exacte (voir N« il4J et en représentant celle différentielle par duj on a dans ce cas

p-^p'=fpduj (i)

et puisque pdu doit être une différentielle exacte, il est nécessaire que p soit une fonction de u ; Tiulégrale de pdu et par conséquent p sont donc alors fonctions de u; or l'équation (N*^ 211)

y {Xdx -f- Ydy -4- Zdz) = cp (ar, y , z) = C , ou u = C ,

C étant une constante arbitraire, représente une des surfaces d'égale pression traversant le fluide, et puisque p doit être fonction de u ou de C, on voit que la densité du fluide doit être la même dans toute l'étendue de chacune de ces surfaces d'égale pression. Un fluide élastique en équilibre et soumis à des forces attractives vers des points fixes, fonctions des distances, se dispose donc dans un vase par couches d'égale pression et d*égale densité. Ce résultat est analogue à celui que nous avons trouvé pour les fluides incompressibles mélangés; mais il y a entre ces deux cas celte première différence que, pour les

fluides élastiques, il ne peut jamais y avoir une surface libre, (Mirce que la pression n*est jamais nulle, et en second lieu dans les fluides incompressibles en équilibre, les couches de différente densité peuvent se succéder dans un ordre quelconque, tandis que dans tous les fluides élastiques que nous connaissons, la densité des différentes eouehcs superposées est déterminée et réglée par une loi; eu effet, on sait par expérience que dans un fluide de température uniforme le rapport -est constant: on a donc- = /:, et comme on a en différentiant

l'équation (i),

dp = prfw,

il yieni dp =j du j d'où — = -y-et en intégrant, log p=---*-logD,

et enfin, à cause de p = /:p et de ii = G pour une même surface d'égale

pression,

» qui fait voir encore que p est constant pour une même surface d'égale pression, et en outre que p change avec G, c'est-à-dire dans chaque couche^ suivant une loi déterminée, du moins lorsque les forces accélératrices proviennent d'attractions vers des points fixes et que la température est uniforme.

Si la température n'était pas la même partout, k ne serait plus constant. L'expérience apprend que le rapport k est alors représenté par k {i -♦-0,00375 6), 6 étant la température exprimée en degrés centigrades et k un coefficient constant pour un même fluide; il viendrait donc

dp du

p devant être, comme on l'a vu au commencement de ce numéro, une fonction de u, — sera de la forme (pue^ti et en substituant et supprimant dt/, on voit que 0 doit être une certaine fonction de ti, ou de la constante arbitraire G. 11 doit donc exister une certaine relation entre 0 et G, de telle sorte que 6 varie ou reste constant avec G. 11 suit de lu que la température doit rester la même dans toute l'étendue de chaque couche d'égale pression. Si on connaissait la loi suivant laquelle varie

432 CBAPITRB XX11.

la température d'une couche à Tautre, on connaîtrait 0 en fonction de tf, et en intégrant on aurait p en fonction de u ou de G, c'est-4i-dire qu'on connaîtrait la loi des pressions ; d*oà Ton conclurait au moyen de

p=^9 la loi des densités des couches.

214. Problèmes divers. — Appliquons les notions précédentes à la solution de quelques problèmes, et commençons par chercher la forme que doit prendre une masse fluide incompressible dont tous les points sont attirés vers un centre fixe suivant une loi quelconque. En prenant ce centre pour origine des coordonnées et en représentant par A cette attraction, on a pour les composantes de X parallèles aux axes ,

xî, -lï, xf.

{^9 yi 2) étant les coordonnées du point et r sa distance au centre; l'équation

Xdx '^-Ydy -t-Zrf2 = 0,

devient donc

X ti z

A-rfx -H Aî^rfy -h X-rfz = 0, ou xd^x -i- tjdy -i- zdz=Of

qui donne

Cette équation nous apprend que cette masse fluide doit affecter la forme d'une sphère, quelle que soit la loi d'attraction.

Si la masse fluide avait un mouvement de rotation autour d'une droite passant par le centre d'attraction, en prenant cette droite pour axe des Z et en représentant par w la vitesse angulaire de rotation, il est visible qu'un point placé à la distance / de cet axe aurait une force

centrifuge égale à -y=ilw^ dont les composantes suivant les axes

des X et des Y seraient xw* et yw^ et celles-ci devraient être jointes

X iJ

aux composantes —^1 et — 1- provenant de l'attraction; on aurait donc pour équation de la surface ,

Le fadeur 1 ne disparait plus, comme dans le cas précédent; il est donc nécessaire pour intégrer, de connaître la loi de l'attraction. Si on la suppose dans le rapport direct de la distance, elle sera représentée par ary a étant une constante, et Téquation différentielle deviendra

11?* {xdx -h ydy) — a {xdx h- ydy h- zdz) = 0.

En intégrant on trouve

ti?* (ac* H- y*) — a (x* 4- y' -*- z*) == C.

Cette équation appartient à un ellipsoïde ou à un hyperboloîde de révolution, suivant les valeurs qu'auront les constantes a et w. Dans le cas de TcUipsoïde, celte solution conduit à la détermination approchée de la figure de la terre, car Tatlraction de la terre supposée homogène et sphérique, sur un point placé i la surface étant proportionnelle à la masse et inversement proportionnelle au carré de la distance au centre (N** 99), est proportionnelle & la simple distance au centre, puisque la masse d'une sphère est proportionnelle au cube du rayon. 11 est à remarquer que cette valeur de l'attraction, et par conséquent la solution à laquelle elle conduit n'est qu'approchée, puisque la valeur de l'attraction est prise dans l'hypothèse de la terre sphérique.

Si l'intensité de l'attraction X était constante, égale kg et dirigée parallèlement à l'axe des Z, on trouverait

11?* (x* -t- j/*) — jfz = C,

équation d'un paraboloïde de révolution autour de l'axe des Z. Telle est la forme qu'affecte la surface d'une masse fluide renfermée dans un vase ouvert auquel on donne un mouvement de rotation autour d'un axe vertical.

215. Pression atmosphérique. Mesures barométriques. — Appliquons encore les formules précédentes à la recherche de la loi suivant laquelle varient la pression atmosphérique et la densité de l'air aux différentes hauteurs. On a vu ^N<* 243) que la densité dans toute l'étendue d'une couche d'égale pression pour un fluide élastique de température uniforme et soumis à l'action de forces centrales, est donnée par la formule

dans laquelle C est une conslantc arbitraire introduite par l'intcgra-

454 CHAPiTRB XXII.

tion, qui particularise la surface d*ëgale pression à laquelle eorrespond la densité p. Comme on a

u = /{Xdx H- Ydtj H- Zdz) = C,

si Ton prend Taxe des Z vertical et dirige vers le haut, et qu'on réduise les forces accélératrices à la pesanteur qui est dirigée vers le centre de la terre, X et Y seront nuls, Z sera égal à — 9 et il viendra

C = - giz, et par conséquent

-re * >

qui donne la densité p de Tair à une hauteur z au-dessus de rorigine des coordonnées, Torigine étant placée où Ton voudra, par exemple au

niveau de la mer;-r Qui correspond à z = 0, représente la densité

à ce niveau.

Comme la pression p est égale h pk^ elle est donnée par la formule

ou bien, en désignant par p' la pression à l'origine, laquelle est représentée par D,

Cette relation entre la pression atmosphérique et la hauteur du lieu fournit un moyen de mesurer ces hauteurs par Tobservation du baromètre; en effet on sait que la pression atmosphérique est proportionnelle à la hauteur de la colonne de mercure dans le baromètre ; on a donc, A, h! élant les deux hauteurs observées de ces colonnes, correspondantes aux pressions p et p',

L'équation précédente donne aussi

fc, p' fc. h!

z=-log'-==-IogT-,

OU bien en employant les logarithmes vulgaires Log., et représentant par M le module 0.45429,

k , A' z == — Loff T-' iMflf "" h

Si la température était uniforme dans toute retendue de l'atmosphère entre les deux points d'observation, cette formule ne laisserait rien à désirer. 11 suffirait pour calculer z de remplacer k par sa valeur k{\ + 0,00575 6) et de prendre pour h et A' les hauteurs barométriques observées. L'expérience a fait rceonnaitre que cette uniformité est loin d'exister; non seulement la température est différente en général aux deux stations, mais elle varie entre ces deux endroits suivant une loi qui jusqu'à présent n'a pas été observée. La formule précédente qui suppose la température uniforme, n'est donc pas rigoureusement applicable dans le plus grand nombre de cas; cependant on se rapproche beaucoup de rexaclilude en supposant la température de l'air uniforme et en prenant pour celle-ci la moyenne des deux températures extrêmes t et t! de l'atmosphère aux deux stations ; ou remplacera donc k par

it fi -*- 0,00375 '-4-^ V * r* ^ âi^V

\ ' î2 / \ ioooy

Les hauteurs h et A' de la colorfne de mercure, sont prises à des températures différentes T et T' données par un thermomètre à mercure attaché au baromètre. Pour réaliser l'hypothèse d'une température uniforme et moyenne, il faudra, après avoir observé A et A', calculer ce qu'auraient été ces hauteurs, si la température du mercure avait

été la môme et égale à — - — » sachant que pour chaque degré de

température, la colonne de mercure se dilate de—---- Il est visible

que A et A' auraient été A -^^^- -^-et A' - ^^^-^> et

par conséquent le rapport— devra être remplace parT-

"*■ iiiOO

que l'on peut réduire à -=- ( 1 rr^Tjr" I' en effectuant la division et

V^ iOOO ) ^h\ 5550 ) 1

négligeant les puissances supérieures de ^ » La formule devient

ainsi ,

Le coefficient ft a été déterminé directement par expérience. Ea substituant sa valeur ainsi que celle de g^ il vient

V iOOO ) ° h \ 5550 /

La valeur que nous avons donnée à g est celle qui convient à notre climat. Pour rendre la formule barométrique applicable à toutes les latitudes, il faudrait, comme on Ta vu au N"* 126, remplacer g par

G — 471* — -j— > et si les deux observations étaient faites sous des latitudes différentes, on prendrait pour latitude commune 0 , la moyenne arithmétique des deux latitudes observées. En faisant une application numérique de cette formule au cas où Ton a

on trouve

216. Applications aux liquides pesants. — Reprenons Téquatiou d'équilibre des fluides incompressibles

p=2pf ^ p/[Xdx -4- Ydy -i- Zdz) ,

et supposons que la pesanteur soit la seule force accélératrice. En prenant l'axe des Z vertical et dirigé vers le bas, il vient

réquation des surfaces de niveau (N"" 211) devient

Sfz = C,

qui représente un plan horizontal, et la pression est donnée par

z et z' étant les ordonnées verticales des ^points où les pressions sont

p et p'. On voit que la pression augmente avec la profondeur et si p' est la pression au point le plus élevé, en y plaçant l'origine ^ on aura

La pression p^ peut provenir d*un piston agissant sur le liquide à l'origine des coordonnées. Si le vase est ouvert à sa partie supérieure, p' sera nul et p se réduira à

tandis que si le fluide est pressé par une colonne d'air atmosphérique par exemple, en appelant p' la pression exercée par l'air sur l'unité superCcielle , la pression à une profondeur z sous le niveau supérieur sera

p = p' -». pgz.

On voit aussi que h étant la profondeur de Teau dans le vase et (ù la surface du fond du vase supposée plane et horizontale, la pression totale P supportée par le fond est exprimée par

V^==poi = pgh»(ù'y

or h(ù est le volume d'un cylindre qui a co pour base et h pour hauteur; cette pression est donc égale au poids d'un cylindre de liquide qui aurait pour base le fond du vase et pour hauteur celle du liquide. Il résulte de là que la pression totale exercée par un liquide sur le fond plan d*un vase est indépendante de la forme latérale du vase. Considérons encore une portion co de la paroi du vase, que nous supposerons encore plane mais inclinée & l'horizon; l'intensité delà pression en un point de cette surface placé à la profondeur z sous le niveau est pgz et un élément ds placé en cet endroit , éprouvera une pression pgzds ; la pression totale éprouvée par co est donc

pg/zdsy

l'intégrale étant étendue h toute la surface (ù; or si z, est l'ordonnée du centre de gravité de &>, la théorie des moments donne

(ùZ,=J*zds'f

l'expression de la pression totale devient donc

gp(ùz,,

c'est-à-dire qu'e//e est égale au poids d'un prisme d*eau qui aurait

458 CHAPITRE XXU.

pour base la surface plane pressée et pour hauteur la profondeur de son centre de gravité sous le niveau de l'eau,

217. Centre de pression pour une paroi plane, — Si l'on conçoit la surface supposée plane, divisée en un nombre infini d'éléments, l*on pourra considérer la pression contre chaque élément comme une force appliquée en ce point perpendiculairement au plan; la résultante de toutes ces forces parallèles sera la pression totale que Ton sait être égale à la somme des forces parallèles. Son point d'applieation s'appelle centre de pression; c'est le point où il faudrait appliquer extérieurement une force égale à la pression totale pour lui faire équilibre. La position de ce point est facile à déterminer au aïoyen de la théorie des moments; en effet ABC (fig. 119) étant la surface oblique pressée, XOY le niveau de l'eau, et XOZ' le plan de la surface pressée, la pression éprouvée par un élément ds placé en M sera pgzds^ z étant la profondeur MP; or si Ton désigne par {xf z') les coordonnées OQ et QM du point M rapporté aux axes X et Z% le moment de cette force ou de cette pression par rapport à l'intersection AC du pian oblique par le niveau de l'eau sera

pgzds.z!^

et en désignant par a l'inclinaison PQM ou Z'OY du plan sur l'horizon et en observant que le triangle PQM donne

z = z' sin a, le moment deviendra

pg sin a,z'^dSy

et si l est l'ordonnée GL du centre de pression G et P la pression totale, on aura

t9=^pgûixaf:iHs, d'où l =^'^-^^ f z!^ds,

l'intégrale étant étendue à toute la surface ABC. Quand on prend les moments des pressions élémentaires par rapport à l'axe des Z' et qu'on désigne par /' l'abscisse OL du point G, on aura de même

i'P=p5sina/zVrf8, d'où V ^^l^^fz!x!ds,

l'intégrale étant aussi étendue à tous les points de ABC. Les deux intégrales qui entrent dans les valeurs de l et de V sont visiblement

de la nature de celles auxquelles on a été conduit en cherchant les moments d*inertie des corps^ et leur valeur s*obtîcndra de la même manière. Quand la surface pressée est un parallélogramme dont la base supérieure est horizontale et placée au niveau du liquide, on trouve que le centre de pression est renfermé dans la droite qui joint les milieux des deux bases, aux deux tiers de cette droite à partir de la base supérieure.

Pour tenir compte d'une pression p' exercée contre la surface du liquide, il suffit de remplacer pgzJs par {pgz + p') ds dans l'expression précédente de la pression élémentaire.

Si la surface pressée était horizontale, l'intersection AC par la surface de liquide n'existerait pas et les formules précédentes ne feraient pas connaître immédiatement la position du centre de pression. Mais il est évident que dans ce cas le centre de pression se confond avec le centre de gravité.

218. Pression sur une paroi courbe. — Lorsque la paroi du vase est une surface courbe, la pression totale que supporte une portion limitée de cette surface , c'est-i-dire la résultante des pressions élémentaires supportées par les éléments dont elle se compose, n'est plus égale h la somme de ces pressions élémentaires, puisque celles-ci ne sont plus parallèles. Pour la trouver, on décomposera la pression élémentaire pgzds en trois autres, parallèles à trois axes rectangulaires, qui sont

pgzds cos a, pgzds cos p, pgzds cos 7,

{a, (3, y) étant les angles formés par la normale h la surface au point (x, y, z) avec les axes, et les sommes de ces composantes, étendues à toute la surface pressée, sont représentées par

pg fzds cos a, pg fzds cos (3, pgfzds cos 7 ;

or ds cos a, ds cos P, ds cos y sont les projections de la surface ds sur les trois plans coordonnés; pgzds cos a et pgzds cos (3 sont donc en grandeur et en position les pressions qui seraient exercées sur ces deux projections si le liquide était en contact avec les plans des XZ et des YZ, et pg J* zds cos a^ pg / zds cos ^ sont en grandeur et en position les pressions qui seraient exercées sur des surfaces planes représentant les projections du contour de la surface courbe, sur les deux plans des YZ et des XZ. Quant à la troisième composante /pgzds cos y, comme ds cos y est la projection horizontale de l'élément (i«, il est visible que 2^5 cos 7 est le volume, et pgzds cos y le

440 CHAPITRE XXil.

poids du cylindre vertical de liquide qui s'appuie sur cl^, et par conséquent çgfzds cos y est en grandeur et en position le poids du volume de liquide renfermé dans un cylindre vertical passant par le contour de In surface pressée et limité d'une part, par la surfaee pressée et d'autre part, par la surface de niveau du liquide. Cette troisième composante passe donc par le centre de gravité de ce cylindre et les deux autres, par les centres de pression des deux projections verticales.

Il résulte de ce qui précède, que la surface pressée doit être cùn* sidérée comme soumise à V action de trois forces parallèles aux axes des (X, Y, Z), les deux premières représentées en grandeur et en position par les pressions que le liquide exercerait contre les projections du contour de la surface sur les plans des XZ et YZ si le fluide était en contact avec eux^ la ti-oisième représentée en grandeur et en position par le poids du volume de liquide contenu dans un cylindre vertical limité supérieurement par le niveau du liquide et inférieurement par la surface pressée. La résultante de ces trois forces, s'il y en a une, sera la pression totale cherchée. En général cette résultante n'existera pas et la pression ne pourra dans ce cas être remplacée par une force unique, mais par deux forces ou une force et un couple.

219. Pression contre un corps plongé, — La pression que supporte une certaine portion limitée de la surface d'un corps plongé dans un liquide, se détermine comme dans le numéro précédent; mais lorsqu'il s'agit de la pression totale supportée par le corps entier, on y parvient fort simplement par les considérations physiques suivantes : concevons que dans une masse liquide en équilibre, une portion quelconque de ce liquide vienne à se solidifier sans changer de volume ni de densité ; l'équilibre ne sera pas troublé et ce noyau solide restera suspendu en équilibre au milieu du fluide. Or, ce noyau est soumis à l'action de son poids qui tend à le faire descendre; ce poids est donc égal et directement opposé à la résultante de toutes les pressions élémentaires exercées sur sa surface. Il suit de là que les composantes horizontales de ces pressions s'entredëtruisent et que la composante verticale est égale et opposée au poids du noyau solide, c'est-à-dire qu'elle passe par son centre de gravité. Le théorème de la fin du numéro précédent conduit visiblement au même résultat. Si l'on remplace le noyau par un autre corps de môme forme, mais d'une densité quelconque, la pression totale restera évidemment la même; d'on il suit qu'un corps plongé dans un liquide éprouve une pression dirigée de bas en haut^ égale au poids du liquide déplacé et passant par son

centre de gravité. Il est donc soumis h Taclion de deux forces verticales, savoir son poids qui passe par le centre de gravilé du corps plongé et la pression exercée par le fluide, qui passe par le centre de figure du volume d'eau déplacée. Quand le corps plongé est homogène, ces deux centres se confondent et les deux forces sont opposées ; la résultante est donc appliquée en ce point et égale à leur différence. Si le corps n'est pas homogène, les deux centres de gravité sont en général distincts et la résultante, égale encore h la différence des deux poids, est appliquée en un point qu'il faudra déterminer par la théorie des forces parallèles. Dans les deux cas, on voit que l'effort nécessaire pour soutenir verticalement le corps plongé dans le liquide, est égal k son poids diminué du poids du liquide qu'il déplace, ce qu'on exprime en disant qu'un corps plongé dans un liquide y perd une partie de son poids égale au poids du fluide déplacé,

220. Équilibre d'un corps flottant, — Quand le corps est plus léger qu'un égal volume du liquide, la pression agissant de bas en haut est supérieure au poids du corps, qui est repoussé en partie hors du liquide jusqu'à ce que le poids du liquide déplacé soit réduit au poids du corps. Dans cette position, celui-ci sera soumis à l'action de deux forces verticales égales, passant l'une par le centre de gravité du corps et l'autre par le centre de gravité du fluide déplacé, c'est-àdire qu'il sera soumis à l'action d'un couple qui aura pour effet de le faire tourner ou chavirer, et l'équilibre n'aura lieu que lorsque les deux forces égales seront directement opposées, ou bien^ lorsque le centre de gravité du corps et le centre de figure du volume d'eau déplacée seront renfermés dans une même verticale. Telles sont donc les conditions d'équilibre d'un corps flottant à la surface d'un liquide pesant. La partie du corps qui est plongée dans le liquide se nomme carènCy le plan horizontal qui sépare la carène du reste du corps se nomme plan de flottaison^ et la verticale passant par les deux centres de gravité, axe primitif,

!22i. Positions d'équilibre d'un corps flottant. Application au prisme triangulaire^ — Puisqu'il est nécessaire et qu'il suffit pour l'équilibre d'un corps flottant, que le poids du fluide déplacé par la carène soit égal au poids du corps entier et que les centres de gravité du corps et du fluide qu'il déplace soient renfermés dans une même verticale, il est visible que la recherche des positions d'équilibre d'un corps flottant donné dépond dans chaque cas de la résolution de ce problème de géométrie : diviser par un plan un

corps donné en deux parties dont Vune ait un volume donnée de manière que la droite menée d'un point donné du corps au centre de figure de ce volume, soit perpendiculaire au plan coupant. Le plan coupant représente ici le plan de flottaison, le volume donné est celui d'une masse liquide d'un poids équivalent à celui du corps et le poiot donné est le centre de gravité du corps flottant.

Appliquons cette remarque au prisme triangulaire droit et homogène, placé en équilibre sur un liquide, de manière que les arêtes parallèles soient horizontales. Comme toutes les sections perpendiculaires aux arêtes sont ideptiques, les conditions d'équilibre sont indépendantes de la longueur du prisme; il suffira donc de résoudre ce problème : diviser un triangle ABC (fig. 420) en deux parties, telles que le rapport de DCE à ABC soit égal à un rapport donné, et que la droite GG' qui joint les centres de gravité de ces triangles soit perpendiculaire à DE. Désignons par p et p les densités de l'eau et du prisme^ par a, 6, c les trois angles du triangle, par {, yh, n les trois côtés opposés, par Xy y les longueurs inconnues CD et CE. Soient F et F' les milieux des côtés AB et DE , G et G' les centres de gravité des deux triangles ACB et DCE. Comme les aires de ces triangles sont dans le rapport des produits AC « CB et DC «CE, on a pour première équation de condition

D'un antre côté, les droites GG' et FF' étant parallèles, cette dernière doit être perpendiculaire au milieu F' de DE et par conséquent les deux obliques FD et FE doivent être égales; or les triangles AEF et DBF donnent

DF« = (/ — a:)« -f- — — (< — flc) n cos 5,

EF* = (m — y)* -t- - — (m — y)n cos a;

on a donc pour seconde condition

(/ — x)* — (/ — x) n cos 5 = (m — y)* — (m — y) n cos a.

Cette équation, jointe à la première, servira à déterminer x et y.

Si le triangle ABC avait deux de ses sommets plongés dans le liquide, en considérant AEDB comme étant la carène, il faudrait pour l'équilibre que le rapport de ABC à AEDB fût égal à 4 ^^ que leurs centres

de gravilé fussent placés dans une droite perpcodlculaire k DE. La première condition exige que les triangles ACB et DCE soient dans le rapport de p à p — pS c'est-à-dire que Ton doit avoir, en conservant les mêmes désignations que précédemment,

art/ =£ ^/m.

Quanta la seconde condition, comme la droite qui joint les centres de gravité des deux parties AEDB et DCE contient nécessairement le centre de gravilé de la figure entière ACB, il est visible qu*il faut encore que la droite GG' qui joint les centres de gravité de ACB et DCE soit perpendiculaire sur DE; la seconde des deux équalions pour le cas précédent subsiste donc pour celui-ci e( doit être combinée avec celle qu'on vient de trouver.

Si la base du prisme était un polygone quelconque ACBD (fig. 121), ayant son centre de gravité placé en G, les aires EE'C et ACBD devraient encore être dans le rapport des densités du liquide et du prisme, c'est-à-dire que Ton aurait

-X!/sinC = !-S, 2 p

S étant l'aire du polygone et —xy sîn C étant l'aire du triangle CEE^

On obtiendrait la seconde équation en observant que si l'on prolonge CG, en faisant GF égala la moitié de CG, et qu'on mène par le point F la droite A'B' de manière qu'elle soit divisée en F en deux parties égales, le point G pourra être considéré comme le centre de gravité d'un triangle fictif A'CB' dont il faudra assurer l'équilibre en posant la seconde des deux équalions précédentes. On trouvera ainsi les valeurs de x, y ou CE, CE', pourvu qu'elles ne dépassent pas les longueurs CA et CB. Ainsi si le corps flottant est un prisme homogène, ayant pour base le parallélogramme ADBC, les distances FE et FE' devront être égaies^ ce qui conduit à l'équation

FA'* + E'A'* — 2FA'.E'A' cos A' = FB'« -♦- EB'« — 2FB'.EB' cos B',

c'est-à-dire, en observant que A A', BB', GF, AG sont les moitiés de AC, CB, CG, AB, et en désignant AC, BC, AB, l'angle CAB, l'angle CBA par 6, a, c, a, (3,

et la première équation devient

^ P Cherchons encore les conditions d'équilibre d*un prisme droit ayant pour base une portion de parabole BAC (Og. 122). Supposons le prisme homogène ou, pour plus de généralité, supposons-le rempli symétriquement, de manière que son centre de gravité soit placé dans l'axe en G et au milieu de la longueur du prisme. Par le point le plus bas de la carène EME', menons une tangente horizontale MX à la section BMC, une verticale MNY et une parallèle MF à l'axe AD. Désignons par 0 l'inclinaison YND de Taxe sur la verticale, par a la hauteur AD^ par 2p le paramètre de la courbe, par h la distance AG, et par a' la longueur MF. On sait que le centre de gravité G' de EME' est situé sur

le diamètre oblique MF, de manière que MG'==- MF, et Ton trouve

pour les deux coordonnées (a/, y*) du point G',

a/ = - a' sin 0, t/ = - a' cos 0.

Quant aux coordonnées (or, y) du point G, si Ton désigne par n la normale MN à la parabole au point M, Ton trouve sans peine

2p et par conséquent

a; = NG sin 0 = (b — ^'^ ^^\ sin 0,

MN

NG cos G = n -4- A — ^^-y~) ^^^ ^'

ou bien, en remarquant que dans la parabole la projection n cos 9 de la normale sur Taxe AD est égale à p,

/, cos'O -h i\ . - , - cos*0 -f- 1

xs=( 6 — p—r- TTr- isin 0, t/ = n -+- 6 COS 0 — o — r— •

\ ' 2cos*6 / '^ 2 COS G

Pour qu'il y ait équilibre, les centres G et G' doivent se trouver dans une même verticale; x et a/ doivent donc ctre égaux, et l'on trouve pour première condition

3 , . . /, cos^Q-^1\ . .

-asinO=.(^6-;,^^^^^Js,nG.

D'un autre côté, le volume de la carène multiplié par la densité p de l'eau devant être égal à la masse M du eopps flottant, et l'aire EME'

étant exprimée part/â^S <>« «ï»" "^'^'■'' "" désignant par Ha Ion-

gueur du prisme,

|pi|/2^=M, d'où «' = y ï;5 2p"*' et réqualion de condition précëdenle devient

/ 9 M* . /. ^ ■♦- cos*6\ . f.

. / j! Jî s i n G == ( 6 - p — — ^x- ) s 1 n 0 ,

d'où Ton lire

5Îne = 0 et cosG = rfc /

Il y a donc, en général, trois positions d'équilibre. Comme cos 0 doit toujours être moindre que Tunité, l'équilibre dans une position inclinée n'est possible que si l'on a

d'où

Quand le prisme a une densité uniforme p', comme l'aire parabolique BAC est4|/2pa', et que AG est alors égal 2* g AD, M sera égal

à - /p' j/2pa', l'angle 0 sera donné par

cos 0

v/ -:4-(Dl-

446 cHAPÎmE XXII.

cl la condition pour la possibilité de flotter dans une position inclioéc devient

La distance GG' entre les deux centres de gravité ou y — jf est