GG

V^i:-«hC'/]-

222. Stabilité des corps flottants. Métacentre, — Apres avoir établi les conditions d'équilibre d'un corps flottant , il importe de pouvoir reconnaître si cet équilibre est stable ou instable, c'est-à-dire si le corps, dérangé inflniment peu de sa position d'équilibre, tendra à y revenir ou s'en écartera indéfiniment. Soient AFB(fig. 425) une section verticale de la carène passant par les centres de gravité G et 0 du corps flottant et du liquide déplacé, AB le plan de flottaison et GOF l'axe primitif. Concevons ce corps dérangé infiniment peu de sa position d'équilibre au moyen d'impulsions très petites et supposons qu'à une époque quelconque, le niveau du liquide devienne ab (fig. i24), la figure représentant une section du corps par un plan perpendiculaire à l'intersection D des deux plans AB et ab. Désignons par Imv* la quantité de forces vives qui animera le corps au bout d'un temps t après le dérangement, et par Imu'^ la quantité de forces vives très petite qu'on lui a communiquée primitivement pour le déranger. On sait que l'on a

2mv« = 2m w« -t- 2 /2(Xdx + Ydy + Zdz) ,

(X^ Y, Z) étant les forces motrices, et l'intégrale devant être prise depuis l'instant du dérangement jusqu'à l'époque ^ Les forces motrices sont la gravité et la pression du liquide. La première agit sur toutes les parties du corps flottant, tandis que la seconde n'agit que sur la surface mouillée aFb; mais comme cette dernière force a (N"" 219) une résultante passant par le centre de figure de la carène et égale au poids du liquide déplacé, il est visible qu'on peut concevoir cette dcr-

nièrc comme éUinl le poids même du volume d'eau déplacé, la pesanteur agissant ici de bas en haut. De cette manière, chaque élément dm de la niasse du corps entier sera animé d'une force verticale et dirigée vers le bas égale à gdm et chaque élément df du volume d*eau déplacé sera poussé par une force également verticale, mais dirigée vers le haut et égale à pgdii. Cela posé, si Ton prend pour plan des XY le niveau ab du liquide, l'axe des Z dirigé vers le bas sera vertical, et l'équation des forces vives se réduira à

' - Imv* =» - Imu* — pg y* Id^idz -h gj^ldmdz,

dans laquelle le signe 2 indique une somme de produits étendue au corps entier pour la seconde intégrale et au volume d'eau déplacé seulement pour la première , et le signe f indique des intégrales de ces sommes, prises entre les époques 0 et %y c'est-à-dire que le signe sommatoirc 2 se rapporte aux différentielles d]k et dm et les intégrales y*, à la différentielle dz. L'intégrale fléd\}Àz^ qu'on peut écrire ainsi : 2y*(i|jL(lz ou l.d}j.f dz est égale à 2rffx(z — z'), j:' et z étant les ordonnées verticales de l'élément d^ du volume déplacé avant le dérangement et à l'époque X. En l'écrivant ainsi :

^d})x — Idfizfy

on voit qu'elle représente la différence des moments de ces volumes pour ces deux instants, par rapport au niveau du liquide. Si donc on désigne par V le volume AFB, le moment Idiiz! sera égal à V multiplié par OC ou Va. Quant au moment Idiiz^ comme le volume de la carène à l'époque t est aF6, celle-ci se composera de AFB augmenté de aAB6, et le moment de àFb sera égal k la somme des moments de ces deux parties. Le moment de AFB est V multiplié par OC ou Va; pour avoir le moment de aAB6, considérons ce volume comme engendré par la rotalion de l'aire de la section AB autour de l'intersection D. Si l'on divise cette aire en éléments infiniment petits &> et qu'on représente par r la distance coD de l'un de ces éléments à l'intersection D, l'arc de cercle (ù(ù' décrit par a> (arc qui se confond avec la perpendiculaire (oco' abaissée sur ab) sera rr), y] étant l'angle infiniment petit D ; on aura donc con] pour le volume cylindrique g)g>>' en-

gendre par w, omt] • -— = 6)>7) . -— pour le moment de ce volume par

rapport a ab cl 2- wr'73*, ou-- 7î'2«r' pour le moment de aÂB6.

Zcor* est le moment d'inertie de Taire AB par rapport à l'iolersection D. 11 résulte de ce qui précède, que Ton a

fldiidz = Va — Va -*- -yj^Scor*.

Pour ce qui est de Tintégrale fldmdz^ ou l^dm/dz = 2dm (z — r'), en désignant par M la musse du corps flottant et par b et (3 le z du centre de gravite G de ce corps dans Tétat primitif et à l'époque t, c'est-à-dire GG et GG", on a par la théorie des moments,

2dm.z'=»M.6, 2(fm.z=BM.|3, et par conséquent

2dm(z — z') = M((3 — b).

L'équation des forces vives devient, en substituant

g2mr' = -2mu* -f- pjVa — pflfVa — -çgr^ltùr^ -*- jM (j3 — 6),

qu'on peut réduire à la suivante, en désignant GO par d^

2mv' = Iavkv!^ — p5fyî'2a)r' -+- pjVdrj*,

parce que pV est égal à M et que la différence a — 6 — (a — j3) n'est autre chose que

GO — AO = GO (i — cos GO/e) = GO (i — cos >]) =^ y?d.

Si par le centre de gravité g de la section de flottaison AB, on mène une parallèle à l'intersection D, on sait qu'en désignant par Q.i^ le moment d'inertie de cette aire i2 par rapport à cette parallèle, et par / la distance ^D, on a (N"" 447)

il vient donc

2mi?» = Imu^ — gpn^ {ilfc» -f- QP — Vd).

En désignant par Ç l'ordonnée gg' du centre de gravité g et remarquant que

Ç =-~ / sin yj = /yj,

on trouve enfin

Quand le centre 0 est placé au-dessus du point G, la distance d de ces points change de signe; cette formule sera donc applicable aux deux cas en récrivant ainsi :

Pour interpréter cette équation, il faut distinguer lei cas où Qk* ± Yd est positif, et celui où ce binôme est négatif. Dans le premier, les deux termes compris entre les accolades seront positifs; le second terme du second membre conservera donc son signe négatif, et par conséquent Imv* sera toujours moindre que Imu* ; la quantité de force vive initiale imprimée lorsque le système était en équilibre sera donc un maximum; d'où Ton conclut (N^ 446) que cet équilibre est stable. De ce que Itnv* reste très petit, l'on conclut que le corps ne s'écarte que très peu de la position d'équilibre (voir la théorie de l'équilibre stable ou instable N^ 98). Dans le second cas, la quantité comprise entre les accolades pourra devenir négative, le second terme du second membre de l'équation deviendra alors positif, et rien ne limitera plus la valeur de 2tni;*, ce qui caractérise une position d'équilibre instable. Il suit de là que l'équilibre sera stable ou instable suivant que ilk^dzYd sera positif ou négatif. Cette quantité sera toujours positive si le centre de gravité G est placé au-dessous du centre 0. Dans le cas contraire la stabilité exige que Qk^ soit supérieur à Yd.

Pour que la stabilité du corps flottant soit certaine, il ne suffit pas de s'être assuré de la stabilité relativement à un dérangement infiniment petit effectué dans un certain sens; il faut vérifier les conditions précédentes pour un dérangement quelconque; or, quand on change le sens de l'inclinaison donnée au corps flottant, la parallèle à l'intersection D menée par le centre de gravité du plan de flottaison prend une direction différente, et par conséquent le moment d'inertie Qk^ n'a plus la même valeur. Si l'on détermine celle de toutes les droites passant par le centre de gravité du plan de flottaison, pour laquelle le moment d'inertie Qk^ est le plus petit possible, il faudra vérifier la condition de stabilité Qk* ]> Yd pour cette valeur de k*.

La théorie de la stabilité des corps flottants, telle qu'elle a été présentée depuis Bouguer jusque dans ces derniers temps, était fondée sur la détermination de la position d'un certain point du corps appelé

450 CHAPITRE XXll.

métacentre. On appelait ainsi le point d'intersection m (Gg. 426) de Taxe primitif Gtn par la verticale O'm passant par le centre de figure <y de la carène, telle qu'elle se trouve après que le corps a été dérangé très peu de sa position d'équilibre, et on faisait dépendre la stabilité de la situation de ce point au-dessus ou au-dessous du point G. Quoique la considération du roétacentre ait conduit aux inémes conditions d'équilibre que l'emploi de l'équation des forces vives, on a reconnu depuis que l'ancienne théorie était inexacte et qu'elle devait être abandonnée.

Appliquons les conditions de stabilité à un prisme isocèle homogèDC, droit, à base triangulaire (fig. 125)^ placé en équilibre sur un liquide dans lequel plonge l'angle C. Il est visible que si l'on désigne par H cl h les hauteurs GF et GF' des deux triangles ÂGB et EGD, on aura

GO ou d==GC-OC=|(H— A).

D'un autre côté, le plan de flottaison ED étant un rectangle, si Ton

désigne par / la longueur du prisme et par 6 la largeur ED, le moment

d'inertie minimum de ce rectangle est tt: ou -— suivant que l est plus

grand ou plus petit que 6. Dans le premier cas^ comme le volume

Ihh.

de la carène DGE est-rr-ï la condition de stabilité est

et en désignant par a l'angle AGF,

fc]> H cos*a.

On a vu que si p et p' sont les densités du liquide et du prisme, on * doit avoir pour l'équilibre ,

p:p' = AGCB:EG.CD, et par conséquent

p:p' = AC«:CE« = H*:A«;

l'inégalité précédente prend donc la forme

p' > p cos* a et cos a <^

qui fixe la limite de la densité du prisme, au-dessous de laquelle la stabilité cesserait d'être assurée pour un angle donné a , ou si les densités sont données, la limite inférieure de la valeur de Tangle a. Dans le second cas, c'est-à-dire si / est plus grand que 6, on aura a la fois

/>2Atang« et ^>?(H-/o'^.

et Ton trouve en multipliant, que la condition suffisante de stabilité se réduit encore à

^ > cos* a.

225. Oscillations des corps flottants. Oscillations du centre de gravite» — Lorsqu'un corps flottant est dérangé infiniment peu de sa position d'équilibre stable, il effectue autour de cette position une suite indéfinie d'oscillations dont nous nous proposons de reconnaître les lois. On sait que lorsque des forces agissent sur un corps libre, celui-ci prend deux mouvements indépendants, savoir le mouvement du centre de gravité et le mouvement de rotation autour de ce centre. Le premier se détermine en transportant toutes les forces ainsi que la masse du corps flottant à son centre de gravité; le second, en considérant le centre de gravité comme fixe.

Occupons-nous d'abord du mouvement du centre de gravité. Soit AB (fig. 426) le plan de flottaison dans la position d'équilibre; supposons que la figure représente la position du corps à une époque quelconque f, ab étant le niveau du liquide et a'6' une parallèle à ab menée de manière que le volume a'Fb' soit équivalent à AFB, ou que le volume aAB6 soit équivalent au volume aa'67>. L'intersection g contiendra le centre de gravité de AB, puisque le volume aAB6 qui est équivalent à aa'Vb^ sera représenté par surf, ab • gg\ et que Ton sait (N® 63) que le volume aAB6 considéré comme un prisme tronqué est aussi donné par le produit de surf, ab par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la base supérieure AB sur la base inférieure ab. En désignant par z la profondeur LG du centre de gravité G du corps flottant au-dessous du niveau du liquide, et en conservant les dénominations précédentes, Vp sera la masse du liquide déplacé dans l'état d'équilibre et par conséquent celle du corps flottant, et si l'on remarque que la force motrice est l'excès de la pression du liquide sur le poids du corps, c'est-à-dire une force égale au poids p du

45â CHAPITRE XXII.

liquide acfb'b et agissant de bas en haut, l'ëquation différentielle do mouvement du point G sera

Comme cette tranche est infiniment mince, son volume est représenté par le produit de Taire a'6' par Tépaisseur cL ou gg'y et a'6' ne différant que très peu de ÂB, ce volume sera donné par Qty e étant l'épaisseur gg' et Q, Taire du plan de flottaison; Téquation du mouvement devient donc

11 est visible que Ton a

z ou LG = £ -H Gc =» g -+- Gt/ cos yj =» 6 -H GC cos yj = £ -h GC,

parce que Tangle Yi ou cGC est infiniment petit, et que Çjd ne diffère que très peu de GC, du moins quand C^ est très petit comme cela a lieu le plus souvent. GC étant une quantité constante que nous avons désignée par 6, Téquation du mouvement prend la forme

dh 12