F:P:R= AD:BD:AB

ce qui apprend que chacune des trois forces est encore proportionnelle à la droite qui sépare les deux autres^ comme dans le cas où les forces P et Vagissaient dans le même sens.

18. Couples, — Si les forces P et F étaient égales entre elles, il viendrait

R=;0 et AD = -;

on voit donc que la résultante est alors une force nulle appliquée à une distance infinie; ce résultat symbolique indique qu'un semblable système composé de deux forces égales^ parallèles et agissant en sens inverse ne peut avoir une résultante^ c'est-à-dire, qu'il ne peut être remplacé par une force unique ; et en effet si l'on pouvait admettre l'existence d'une résultante dirigée suivant une certaine droite, comme on pourrait, à cause de la symétrie de la figure, trouver une autre droite placée de la même^ manière que la première, il n'y aurait pas de motif pour que la résultante fut plutôt dirigée suivant l'une de ces droites que suivant l'autre.

Le système de deux forces parallèles, égales et agissant en sens inverse se nomme couple,

\9. Résultante d'un système de forces parallèles. — La détermination de la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles

P, P', P", P'" appliquées à des points liés invariablement entre

eux, est une conséquence de ce qu'on vient de voir; en effet on peut trouver la résultante des deux forces P et F, laquelle est égale à leur

somme ou à leur différence selon qu'elles sont dirigées dans le même sens ou en sens opposé; on composera ensuite cette résultante partielle ayec la force F' el la nouyelle résultante, qui est aussi celle de P, F et P", sera encore égale à la somme ou à la différence de ses composantes. Après avoir étendu cette opération à toutes les forces du système, on connaîtra de grandeur et de position la résultante finale. Il résulte évidemment de ce qu'on vient de voir que la résultante d'un système de forces parallèles est égale & la somme de toutes les forces qui agissent dans un sens moins la somme des forces qui agissent en sens inverse, ou plutôt en considérant ces dernières comme négatives, la résultante est égale à la somme algébrique des composantes.

La position du point d'application 0 de la résultante que l'on détermine par des opérations successives, est indépendante de la direction des forces ; car on n'a pas eu égard à cette direction dans les constructions qui y ont conduit; c'est pourquoi on lui a donné le nom de centre des forces parallèles.

20. Théorème sur le moment de la résultante de deux forces parallèles par rapport à un plan. — La recherche du centre d'un système de forces parallèles est facilitée par la considération des moments* On appelle moment d'une force par rapport à un plan, le produit de la force par la perpendiculaire abaissée de son point d'application sur ce plan; si donc P et F sont des forces parallèles appliquées aux points A et B (fig. 49) et si B6, Aa sont des perpendiculaires abaissées sur le plan MN, P.Aa et P'.Bb sont les moments de P et P' par rapport au plan MN. Il existe entre les moments de forces parallèles et le moment de la résultante une relation très simple. Soit R la résultante de P et F; si Ton multiplie les deux membres de l'équation

par Aa, il vient

R.Aa==P.Aa-*-F.Aa;

mais on a la proportion

R:F=AB:AC = B6':C(/ d'où R-W^ P'.B6';

en ajoutant cette équation à la précédente membre à membre, il vient

R.Cc = P.Aa-+-P'.B6

ce qui apprend que le moment de la résultante par rapport au plan MN est égal à la somme des moments des composantes.

STATIQUE. â5

Si les deux composantes agissaient en sens inverse, on ferait usage de l'équation R = P — V et on trouverait que le moment de la résultante est égal à la différence des moments des composantes.

Si le plan MN passait entre les points A et B, de manière que les perpendiculaires B6 et Aa fussent placées des deux côtés du plan MN, en suivant la même marche que plus haut on trouverait pour le cas où les composantes sont dirigées dans le même sens, que le moment de la résultante est égal à la différence des moments des composantes; et enfin, le plan conservant la même position, si les forces Pet F agissaient en sens inverse, le moment de la résultante serait égal à la somme des moments des composantes.

On peut résumer en une règle générale la loi que suit le changement de signes des moments; car si Ton considère les forces P et P' comme appliquées aux extrémités des droites Aa et B6 fixées perpendiculairement au plan MN, il est visible que dans les différentes équations qui précèdent, les moments positifs correspondront aux cas où ces forces tendent à renverser le plan MN de gauche à droite et les moments négatifs aux cas où les forces tendent à le renverser du côté opposé. On pourrait donc énoncer le théorème des moments de cette manière : le moment de la résultante de deux forces parallèles par rapport à un plan est égal d la somme des momsnts des composantes, en regardant comme positifs les moments des forces qui tendent à renverser le plan du côté de la résultante^ et comme négatifs ceux qui tendent d le renverser du côté opposé.

Les différents cas peuvent encore être renfermés dans une même équation comme il suit : représentons par x, x', r les perpendiculaires abaissées des points A, B, G sur le plan MN; l'équation des moments deviendra

Rr = Px -4- Fx',

et si Ton considère x, x', r comme des coordonnées ordinaires, c* est-àdire, comme changeant de signes lorsque le point passe d'un côté à l'autre du plan MN, et si l'on prend P et P' positives ou négatives selon qu'elles agissent dans un sens ou dans l'autre, il est facile de s'assurer que les seuls changements de signes des forces et des coordonnées suffiront pour rendre l'équation des moments applicable à tous les cas possibles.

21. Moment de la résultante d'un système de forces parallèles. — Le théorème des moments démontré pour deux forces peut être étendu & un nombre quelconque de forces; en effet, P, P', P", P'"....

20 CBAPITRB II.

étant les forces parallèles, (xyz), (xY^'), (a/yV). ... les coordonnées de leurs points d'application, si Ton désigne par R' la résultante de P, F, par R" la résultante de R', P" ou de P, P', F', par R'" la résultante de R", F" ou de P, P', F', F" etc., et enfin par R la résultante de toutes les forces et par {abc)^ [alVd), (a"6V).... les coordonnées des points d'application de R, R', R'' , on aura cette suite d'égalités,

RV = Px -+- ^3f, Wh' = Py -+- P'j/', RV = Pi? -4- P V,

R" =:i R' -^ P" == P ^ F + P", R' V = R'a' -4- F V = Px -4- P V -*- F V,

R"6"==etc. R"c"=elc.

R'" = R" + F"= p ^- F -+- F' -*- P'", R'"a'"=R"a" -4- P" V"=Pa; -4- P V -4- P V -4- P' V, R'"6'"=ctc. R"V"=e te.

et enfin

R = p H- F -4- F' -4- etc.

Ra = Px -4- Fx' -4- etc.

R6 == Py ^ V'y' -H etc.

Rc = Pz -4- PV -4- etc.

c'est-à-dire que la résultante est égale d la somme algébrique des composantes et que le moment de la résultante par rapport à l'un des trois plans coordonnés est égal à la somme des moments des composantes,

22. Détermination analytique de la résultante d*un système de forces parallèles. — Ces équations fournissent un moyen de déterminer immédiatement le point d'application de la résultante, ou le centre des forces parallèles ; car on en tire

Px -4- Fx' -4- etc

P'x' -4- etc. Py -4- Py -H etc. ^Pz -4-PV-4-etc.

F-4-clc. ' ■"" P-4-F-4-etc. ^"~ P -4- P' -4- etc.

Ces valeurs sont remarquables en ce qu'elles ne dépendent que de la grandeur des forces composantes et de leurs points d'application et nullement de la direction commune de ces forces ; de sorte que si, sans changer les intensités et les points d'application, on faisait varier leur direction commune, la position du point d'application de la nouvelle résultante resterait la même, ainsi qu'on l'a déjà reconnu (N"" 19).

Si toutes les forces ayaient leurs points d*applicatioii placés dans un même plan, en prenant celui-ci pour plan des XY, tous les z seraient nuls et par conséquent c, ce qui apprend que le centre des forces parallèles serait lui-même renfermé dans ce plan et les deux premières équations suffiraient pour déterminer la position du centre.

Si toutes les forces parallèles étaient appliquées à une même droite, une seule équation suffirait pour déterminer le point d'application de la résultante, car en prenant cette droite pour axe des X, les y et les z seraient nuls et par conséquent 6 et c ; il suffirait donc de poser

Px -+- P'x' -f- etc.

" "" P -+- P' -H etc. '

23. Équilibre de forces parallèles. — Proposons-nous de trouver les conditions d'équilibre d'un système de forces P, F, P".... parallèles et appliquées aux points (xyz), (a/yz'), (a/'t/'V) liés invariablement entre eux. Si Ton détermine la résultante R' de toutes les forces qui agissent dans un sens et la résultante R" de toutes celles qui agissent en sens contraire, il est visible qu'il faut pour l'équilibre que ces deux résultantes partielles soient égales et directement opposées. La première condition exige que la somme des forces qui agissent dans un sens soit égale à la somme des forces qui agissent du côté opposé, ou plutôt, que la somme totale soit nulle, en prenant négativement les forces qui agissent en sens inverse des forces positives; c'est-à-dire qu'on doit avoir

P -+- F -*- P" H- etc. = 0.

Pour exprimer la seconde condition , supposons les plans des XZ et des YZ parallèles à la direction commune des forces; en représentant par (a'bV) les coordonnées du point d'application de la résultante partielle R' et par (a'V'd') celles de la résultante partielle R", on sait que l'on a

Px -4- etc. -, Py -I- etc.

„ PV-i-etc, ,„ Fw'-f-etc.

et pour que les deux forces R' et R" soient directement opposées, il faut et il suffit que les deux points d'application soient renfermés dans

une même droite parallèle à Taxe des Z, ce qui exige que d et 6' soient égaux à d* et V\ c'est-à-dire qu'on doit avoir

Pa: -H etc. PV -*- elc. Py -*- etc. P'y' -*- etc.

et en observant que R' et R" sont égaux et de signe contraire, ces deux équations reviennent à

Px -4- Fa/ -*- elc. =0, Py -i- P'y' -h elc. « 0.

On voit que pour l'équilibre de forces parallèles, il faut que la somme algébrique de toutes les forces soit nulle ainsi que la somme algébrique des moments par rapport aux plans des XZ et des YZ menés parallèlement à la direction des forces.

Gomme ces dernières équations n'ont servi qu'à exprimer que les points d'application des deux résultantes partielles sont renfermés dans une même droite parallèle aux forces, il est visible que les plans des XZ et des YZ ne doivent pas être perpendiculaires entre eux et qu'il suffit que la somme des moments des forces soit nulle par rapport à deux plans quelconques parallèles à la direction commune des forces, pourvu que ces plans ne soient pas parallèles entre eux.

Si cette dernière condition n'était pas satisfaite, les deux résultantes partielles R' et R'' ne seraient pas directement opposées et le système se réduirait à un couple.

Moment d*un couple. — Transformation des couples. — Composition et décomposition des couples renfermés dans des plans parallèles. — Composition et décomposition des couples renfermés\dans des plans quelconques. — Théorème général sur la composition des cAiples. Tétraèdre des couples. — Compositiou et décomposition des couples dans Pespace. — Couple résultant. Condition d'équilibre d*un système de couples. — Théorèmes sur la composition d*un couple et d*une force.

24. Moment d'un couple, — Gomme les couples doivent jouer un rôle important dans le reste de la statique, nous examinerons les différentes transformations qu'on peut leur faire subir, afin d'en déduire les lois de leur composition et les conditions de leur équilibre.

Nous avons appelé couple le système de deux forces parallèles (P, — P) égales et agissant en sens inverse; la perpendiculaire commune aux deux forces ou leur plus courte distance forme son brcts et le produit de ce bras par l'une des forces se nomme lé moment du couple. Si, sans changer le bras, on applique les deux forces en sens inverse, le moment restera le même, mais les deux couples seront essentiellement différents, puisque l'un tend visiblement à faire tourner dans un sens le système auquel il est appliqué, tandis que l'autre tend à le faire tourner en sens inverse. Il importe donc de distinguer le sens dans lequel agit un couple.

25. Transformation des couples. — Un couple dont les deux forces sont représentées par deux côtés opposés d'un parallélogramme peut être remplacé par un autre couple dont les forces sont représentées par les deux autres côtés opposés du même parallélogramme,

30 CHAPÏTBE III.

pourvu que ce dernier couple tende à agir dans le même sens que ]e premier; en effet BÂ et DG (fig. 20) représentant les deux forces égales — P et P, on peut appliquer suivant AD et BG deux forces Q et — Q> 7 et — q égales deux à deux et directement opposées, représentées les unes par AD et les autres par BG et si Ton détermine les résultantes R' et R" de — P et — Q d'une part, et de P et 9 d'autre part, en construisant les parallélogrammes Aaa"a' et Gc</V évidemment égaux à ABGD^ il est visible que le couple (P, — P) sera remplacé par les quatre forces R', R'', Q et — ç, et comme les deux premières sont visiblement égaies et directement opposées, on pourra les supprimer et le couple (P, — P) sera remplacé par le couple (Q, — q)y ce qui vérifie la proposition énoncée.

il résulte de celte transformation qu'un couple peut être remplacé par un autre couple quelconque renfermé dans le même plan , pourvu que les deux moments soient égaux et qu'ils agissent tous deux dans le même sens ; car si (P, — P) est le couple donné et qu'on prolonge les directions des forces jusqu'à la rencontre de deux droites parallèles quelconques ah et cd (fig. 21), on formera un parallélogramme ahdc dans lequel les côtés ca et hd peuvent représenter les forces P et — P; le couple peut donc être remplacé par un couple formé de ah et de que nous désignerons par (Q, — Q) ayant GD pour bras et comme on a visiblement

oc.AB = a6.GD ou P.AB = Q.GD,

le nouveau couple situé d'une manière quelconque dans le plan du premier, est seulement assujetti à avoir le même moment.

Puisque les couples renfermés dans le même plan qui ont le même moment et qui agissent dans le même sens sont équivalents, on conclut de là qu'un couple est déterminé par son moment, son plan et le sens de son action.

Un couple peut aussi être remplacé dans son plan par trois forces représentées par les trois côtés d'un triangle quelconque dont l'aire soit la moitié du moment du couple, pourvu que ces trois forces tendent à faire tourner le triangle dans le même sens que le couple ; en effet si ABG (fig. 22) est ce triangle et P, P', P" les trois forces, en prenant BE égal à AB ou P et construisant le parallélogramme BGFE, on remplacera les trois forces P, F, P'' par les deux forces P'' ou GA et BF qui forment un couple dont le moment est GA.BD équivalent au double de l'aire du triangle.

Cette proposition n*est qu'un cas particulier d*un théorème beaucoup plus général qu'on peut énoncer de cette manière : un système de forces représentées par les côtés (Vun polygone plan et tendant toutes à faire tourner celui-ci dans le même sens, est équivalent à un couple ayant un moment égal au double de l'aire du polygone. On le démontre en décomposant le polygone en triangles.

Il suit de là qu'un couple peut être transporté partout où l'on veut dans un plan parallèle et invariablement attaché au premier couple; car si on le transforme d'abord en un système triangulaire (P, P', P") ou ABC (fîg. 23), que l'on construise sur ce triangle un prisme triangulaire quelconque ABC A'B'C et que dans la direction de chaque arête latérale on applique les forces égales et opposées deux à deux (Q et — Q, Q' et — Q', Q" et — Q") représentées par la longueur de ces arêtes, les forces Q'' et — Q formeront un couple représenté par les côtés ce et A'A du parallélogramme AC; ce couple peut par conséquent être remplacé par un autre couple dont les deux forces seront représentées d'une part par AC qui détruit P" et par C'A' ou p'\ De même le couple (Q', — Q") peut être remplacé par deux forces CB et B'C, la première égale et opposée à P' et la seconde représentée par B'C ou p\ En faisant la même transformation sur le couple (Q, — Q') on trouve que les forces dirigées suivant les arêtes parallèles disparaissent et que le système triangulaire (P, P', P") est remplacé par les forces (p, p', p") formant un triangle A'B'C égal au premier, et que par conséquent le couple auquel on a substitué le système ABC peut être remplacé par un couple de même moment et renfermé dans la base supérieure du prisme, c'est-à-dire dans un plan parallèle quelconque.

26. Composition et décomposition des couples renfermés dans des plans parallèles. — Ce qui précède conduit immédiatement aux lois de la composition et de la décomposition des couples renfermés dans un même plan ou dans des plans parallèles. Supposons qu'ils agissent tous dans le même sens, et représentons par M, M', M" etc., leurs moments. On pourra les transporter dans un même plan et faire en sorte qu'ils aient tous un bras égal à p; alors les forces de ces couples

seront—» — j — et si 1 on dispose les nouveaux couples de ma-

nière à ce qu'ils aient un bras commun p, il est visible que ces diffé-

rentes forces devront s'ajouter et formeront un couple résultant ayant

pour bras p et pour forces — \ \ ; le moment du couple

„»cH"'

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Ac oa a des ibreea B»' el

, ev r

La position du plan qui contient ce couple résultant peut être fixée au moyen de l'angle cka qu'il forme avec le plan ÂC du couple L, et la râleur de cet angle s'obtient en remarquant que dans le triangle akc on a

ac: Ac = sin akc : sin kac,

d'où l'on tire, attendu que les angles kac et akb ont le même sinus,

. p . L' sin a

sin akc ===-:n" s*" * = — •

M i/L« + L'« H- 2LL' cos a

Il résulte de la proportion précédente qu'il existe entre les trois couples places autour du bras commun AB et dont l'un est le couple résultant des deux autres, cette relation que le moment de chacun d'eux est proportionnel au sinus de l'angle formé par le plan des deux autres. Cette proportion, analogue à celle que l'on a trouvée pour les simples forces, sert à décomposer un couple donné en deux autres renfermés dans deux plans donnés ÂC et ÂF, pourvu que l'intersection de ceux-ci soit parallèle au plan du couple donné; car on peut par l'intersection âB faire passer un plan parallèle au couple, que l'on y transportera de manière & lui donner la position (R', R''), et en désignant par a et ^ les angles DÂc et EAc des deux plans AC et AF avec le plan du couple donné (R', R"), la proportion que l'on vient d'indiquer entre les moments des trois couples et les sinus des angles que forment leurs plans conduit aux valeurs suivantes des deux couples composants (P, -P), (P', -P'),

Sin (a H- p) sin (a ■+• p)

Si l'angle DAE que forment les deux plans est droit, les moments des couples composants (P, — P) et (P', — P') deviennent

M cos |3 et M sin |3.

Dans les formules précédentes nous avons désigné par a l'angle formé par les plans de deux couples; mais rien n'indique que a est l'angle aigu ou son supplément, et ce n'est qu'après avoir disposé les couples comme on Ta fait dans la figure 24 que toute incertitude cesse d'exister. On peut sans construire la figure, fixer la nature de l'angle a, en remarquant que l'inclinaison de deux plans ayant pour

mesure Tangle forme par deux perpendiculaires élevées sur ces plans, il suffit d'élever ces perpendiculaires sur le plan de chaque couple, en choisissant la face de manière que ces deux couples paraissent tendre à produire autour d'elles un mouvement de rotation dans un même sens, quand on place l'œil en un point de cette perpendiculaire. On reconnaît sans peine qu'alors l'angle formé par ces deux perpendiculaires prolongées Indéfiniment, perpendiculaires que Ton nomme axes du couple^ n'est autre que l'angle a qu'il convient d'introduire dans nos formules.

Ce qui précède permet de déterminer géométriquement le couple résultant d'un système de couples L, L', L", L'", etc. renfermés dans des plans quelconques; h cet effet on composera d'abord les couples L et L' comme on l'a vu au commencement de ce numéro; puis on composera le couple résultant avec L'' et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on soit arrivé à un couple unique.

28. Théorème général sur la composition des couples. Tétraèdre des couples. — On peut déterminer la grandeur et la position du couple résultant sans passer par toutes ces opérations successives, en se fondant sur le théorème suivant : trois couples renfermés dans trois faces d*un tétraèdre et représentés par les aires de ces trois faces ont pour couple résultant un couple renfermé dans lu quatrième face et représenté par l'aire de cette face, pourvu que les axes des couples composants soient dirigés tous trois vers l'intérieur ou tous trois vers l'extérieur du tétraèdre, celui du couple résultant devant être dirigé vers l'extérieur dans le premier cas et vers l'intérieur dans le second.

En effet on a vu (N® 23) que trois forces P, P', P" représentées par les trois côtés du triangle ABC (fig. 25) tiennent lieu d'un couple dont le moment est double de l'aire de ce triangle. Or si au système triangulaire ABC on ajoute des forces égales et opposées deux à deux Q et — Q, (y et — Q', Q" et — Q" représentées par les arêtes BD, CD, AD d'une pyramide triangulaire ABCD ayant ABC pour base^ il est visible que toutes les forces de la figure, y compris celles de la base, pourront se décomposer en trois groupes Q', P, — Q d'une part, Q, P', — Q", d'autre part, et enfin Q", P", — Q', représentés chacun par les trois côtés des triangles qui forment les trois faces latérales du tétraèdre, ce qui vérifie la proposition. Il est h remarquer qu'un œil placé dans l'intérieur du tétraèdre verrait le système triangulaire de la base tourner de droite à gauche, tandis que les systèmes latéraux sembleraient tourner de gauche u droite ainsi que le porte l'énoncé.

29. Composition et décomposition des couples dans l'espace» — Ce théorème, qui est pour les couples ce qu*cst pour les forces le Ihéorètne du parallélipipède des forces, permet de déterminer le couple résultant de trois couples donnés, renfermés dans trois plans donnés; car ceux-ci en se coupant formeront huit angles trièdres parmi lesquels on choisira celui pour lequel les trois axes des couples sont dirigés tous trois vers Tintérieur ou vers l'extérieur , et il suffira de déterminer les longueurs des trois arêtes, de manière que les aires des trois triangles qu'ils forment soient égales aux moments L, M et N des couples. Or, si Ton désigne par l, m, n les angles formés par ces arêtes prises deux à deux et par or, y, z leurs longueurs inconnues, on aura pour conditions, attendu que l'aire d'un triangle se mesure par la moitié du produit de deux côtés par le sinus de l'angle compris,

xysinn = 2N, x2sinm = 2M, yzsiu/==2L,

qui suffisent pour déterminer les valeurs de x, y, z. Le triangle formé par les extrémités des trois arêtes fera connaître le couple résultant.

Lorsque les trois plans des couples composants forment un système de plans rectangulaires AOG, AOB et GOB (fîg. 26), il existe entre le moment du couple résultant représenté par le triangle ACE et les moments des trois couples composants représentés par les aires des triangles AOC, BOC, AOB, une relation très simple; chacun de ces derniers forme la projection orthogonale de Taire ABC sur chacun des trois plans, de sorte que si l'on désigne par W le moment du couple résultant ou l'aire du triangle ABC et par (a, (3,)^) les angles formés par le plan ABC avec chacun des trois plans rectangulaires, ou ce qui revient au même, les angles formés par l'axe du couple résultant avec les axes des couples composants, qui se confondent avec les axes X, Y, Z, les moments de ceux-ci seront donnés respectivement par (*) W cos a, W cos (3, W cos y.

11 suit de là qu'un couple situé dans l'espace peut être remplacé par trois couples renfermés dans trois plans rectangulaires, car on peut toujours mener un plan parallèle h celui du couple de manière

(*) La propositioo dout on fait usage ici se démontre en remarquant que si CD est la hauteur du triangle ÂBC, CD sera aussi la hauteur du triangle AOB et Paire

de celui-ci sera représentée par -AB.OD ou ~AB.CD. cosCDO, c'est-à-dire,

W cos 7.

56 CHAPITRE m.

à former un triangle ABC équivalent à la moitié de son moment W^ et remplacer par conséquent le couple par un système triangulaire ABC^ lequel k son tour est décomposable en trois couples W cos a, W cos (3, W cos y.

On voit aussi qu'en désignant ces couples composants par L, M et N) on aura

W=a ^L* -h M* -h N*, cosa = — ■> cos(3 = — , cosy = — »

k cause de la relation

cos* a -*- cob*P H- cos*y = 1.

Ces équations serviront k déterminer le couple résultant W et son inclinaison sur les trois plans reclangulaires, lorsque les trois couples composants L, M, N seront donnés. Il est à remarquer que les couples composants L^ M et N ont les signes de cos a, cos (3, cos y et tendent en effet à faire tourner dans un sens ou dans Tautre, suivant que ces angles sont aigus ou obtus.

50. Couple résultant. — Ce qui précède permet de trouver la valeur et la position du couple résultant d'un système de couples donné; car si Ton mène trois plans coordonnés rectangulaires et qu'on rapporte les positions des couples k ces plans ^ on pourra décomposer chaque couple en trois autres renfermés dans les trois plans coordonnés, et les réduire tous k trois couples.L, M, N, renfermés dans ces plans. En désignant par Pj9, P'p',.... les moments des couples donnés et par (a,P,y)j («', ^, /) leurs inclinaisons sur les plans coordonnés, on aura

L=^Pp cos a. -^ Vfl cos al -+- etc.

M = Pp cos P -^ Py cos P' -+- etc.

N = Vp cos y -i- P'p' cos / -*- etc.,

et si Rr est le couple résultant et (X, ^, j^), les angles qui y correspondent, il viendra

cos/ = -. cosf. = j^« ^^^^ = r;"

51. Conditions d'équilibre d'un système de couples. — Les conditions d'équilibre d'un système de couples sont faciles à déduire de ce

STAIIQOE. 37

qui précède; en effet, il est évident qu'il faut pour l'équilibre de deux couples, qu'ils soient renfermés dans un même plan, qu'ils aient le uiéme moment et qu'ils soient de signes contraires, puisqu'on peut alors, en leur donnant le même bras de levier^ les disposer de manière que les forces se détruisent deux à deux. D'où il suit que, pour qu'il y ait équilibre dans un système de couples quelconque, il faut que l'un des couples soit égal et directement contraire au couple résultant de tous les autres et par conséquent, que les trois projections d'un couple quelconque sur trois plans rectangulaires soient égales et contraires aux trois projections de ce couple résultant; ou plutôt, il faut que la somme algébrique des projections de ces deux couples soit nulle dans chaque plan coordonné; il est donc nécessaire pour l'équilibre que la somme algébrique des projections de tous les couples de l'espace sur trois plans rectangulaires soit nulle, c'est-à-dire qu'on doit avoir

Pj9 cos CL -H P'p' cos a' -h etc. = 0, Pp cos (3 -♦- P'p' cos j3' H- etc. =• 0,

Pp cos y H- Fp' cos y' -♦- etc. = 0,

Ce résultat est d'ailleurs confirmé par la remarque que, pour l'équilibre, il faut que le couple résultant Rr soit nul, ce qui conduit à l'équation

laquelle se décompose dans les trois qui précèdent.

52. Théorèmes sur la composition d'un couple et d'une force. — La combinaison d'un couple avec une force donne lieu à plusieurs théorèmes qui seront utiles par la suite. Un couple et une force P renfermés dans un même plan ou dans des plans parallèles, peuvent toujours être remplacés par une force unique égale et parallèle à P (fîg. 27); car on peut toujours transformer le couple donné en un autre dont les forces P' et P" soient égales à P et placer celui-ci de manière que l'une F des deux forces détruise P. Dans cette position l'autre force P" du couple sera la résultante du système, qui est visiblement égale et parallèle à P.

Réciproquement une force P" appliquée en B peut toujours être remplacée par une force égale et parallèle P, appliquée en un point

58 cuAPiTRË m.

quelconque A lié au premier, et par un couple égal au produit de P par la distance de P" à P; car en appliquant en A deux forces P et P' opposées entre elles, parallèles et égaies à P", le système pourra être considéré comme composé d'une force unique P égale et parallèle à P" et d'un couple (P', P").

Un couple (P, — P) et une force Q non renfermés dans des plans parallèles, peuvent être remplacés d'une infinité de manières par deux forces non renfermées dans un même plan; car le couple peut être transporté parallèlement à lui-même, de manière que Tune — P de ses forces vienne rencontrer la force Q, et la résultante R des deux forces — P et Q formera avec P le système des deux forces indiqué. On pourrait même assujettir Tune des deux forces à passer par un point donné; il suffirait pour cela de transporter le couple dans un plan parallèle passant par ce point et d'y disposer le couple de manière que l'une des forces passât par le point donné et que l'autre vint couper la force donnée. Ces systèmes en nombre infini de deux forces R et P qu'on peut substituer au couple (P, — P) et à Q jouissent d'une propriété curieuse que nous démontrerons au N« 57.

Réciproquement deux forces P et Q non renfermées dans un môme plan peuvent être remplacées d'une infinité de manières par un couple et une force non renfermée dans le plan de celui-ci ; en effet l'une des deux forces Q peut être décomposée en deux autres, dont l'une soit égale et parallèle à P et forme avec celle-ci un couple. La seconde composante jointe à ce couple, remplacera donc les deux forces données. On vient de voir que ce dernier système peut être remplacé d'une infinité de manières par deux forces non renfermées dans un même plan et que Tune des deux peut être assujettie à passer par un point donné. 11 suit de là qu'un système de deux forces peut être remplacé d'une infinité de manières par d'autres systèmes équivalents de deux forces et que Tune des deux peut être assujettie à passer par un point donné.

Un système de deux forces P et P' non renfermées dans un même plan ne peut avoir une résultante; en effet, si R était cette résultante (fig. 28), en Introduisant dans le système un axe fixe AB, l'effet de cette résultante devrait être le même que celui des deux composantes; or cela n'est pas possible, car si l'on mène cet axe AB de manière qu'il rencontre P et P' sans rencontrer R, ce qui est toujours possible quand les trois forces ne sont pas dans un même plan, la

force R ne sera pas détruite par la résistance de Taxe et produira un certain effet, tandis que les composantes P et F sont détruites.

Les forces quelconques P et P' ne peuvent pas non plus être en équilibre, k moins qu'elles ne soient toutes deux nulles; car Tune des deux devrait être égale et opposée k Tautre.

Il suit de là qu'un système composé d'une force et d'un couple non renfermés dans des plans parallèles ne saurait avoir une résultante unique, puisqu'il peut être remplacé par deux forces non situées dans le même plan et que ces dernières ne sont en équilibre que si elles sont toutes deux nulles, ce qui exige que la force unique et le couple soient nuls séparément pour que l'équilibre soit possible.

Enfin il résulte de ce qui précède que trois forces non renfermées dans un même plan ne sauraient être en équilibre à moins d'être toutes trois nulles; car l'une d'elles devrait être égale et opposée k la résullantc des deux autres (N** 4.4*"), ce qui les suppose toutes trois dans un même plan.

Composition des forces dans Pespace. Réduction à une force unique et à un couple. — Inclinaison de la force unique sur le couple. Couple principal. Force unique principale. — Condition pour qu'il y ait une résultante. Théorème sur le moment de cette résultante. — Autre théorème sur les moments. Axe du plus grand moment passant par un point. Axe du plus petit moment absolu. — Propriété d*uu système composé d'une force unique et d'un couple ou de deux forces non renfermées dans un même plan. — Composition des forces renfermées dans un même plan. — Conditions d'équilibre d'un système de forces.

55. Composition des forces dans V espace. Réduction à une force unique et à un couple. — Considérons un système de forces appliquées h différents points liés invariablement entre eux. 11 résulte de ce qu'on a vu à la fin du N'' 52, que Ton peut transporter toutes les forces en un même point pris arbitrairement, en introduisant autant de couples qu'il y a de forces; or toutes les forces appliquées en un même point ont une résultante unique et tous les couples sont aussi susceptibles d'un couple résultant; d'où il suit : i"" qu'un système de forces peut en général être remplacé par une force unique et par un couple ; 2*" que pour qu'un système soit en équilibre, il faut que cette force unique et ce couple soient nuls séparément (fin du N"* 52); 5'' que le système ne sera pas susceptible en général d'avoir une résultants unique, à moins que le couple et la force unique ne soient renfermés dans des plans parallèles; 4"" qu'un système de forces est réductible d'une infinité de manières à deux forces qui en général ne se rencontrent pas (N° 52).

Pour trouver l'expression analytique de la force unique et du couple.

rapportons les forces du système à trois axes rectangulaires. Soit M (fig. 29) le point d'application de la force P, (x, y, z) les coordonnées de ce point, et (a, (3, y) les angles que fait la force P avec les trois axes; les trois composantes (p, p', p") de P sont P cos a, P cos (3, P cos y ; mais la force p peut être transportée parallèlement à elle-même au point B, moyennant un couple représenté par p X MB ou zPcosa renfermé dans un plan parallèle au plan des XZ (commencement du N"" 3â) et par conséquent dans le plan même des XZ. Cette même force p appliquée au point B peut ensuite être transportée parallèlement à elle-même dans Taxe des X ou au point Â, en introduisant un couple exprimé par pBE ou yP cos a et renfermé dans le plan des XY. Si l'on transporte de la même manière les forces p' et p" à l'origine A , on obtiendra dans chaque plan coordonné deux couples représentés par xP cos (3 et yPcosa pour XY, xPcosy et zPcosa pour XZ, yP cos y et zP cos (3 pour YZ. En réunissant ceux qui sont renfermés dans le même plan, et prenant positivement celui qui tend à faire tourner la figure autour de l'axe des X dans le sens YZ, autour de l'axe des Y dans le sens ZX, autour de l'axe des Z dans le sens XY, c'est-à-dire ceux qui ont pour axes les axes positifs des (X, Y, Z), et négativement ceux qui agissent en sens inverse, tous les couples se réduiront à trois, dont les moments seront xPcos(3 — t/Pcosa, zP cos a — xP cos y, yP cos y — zP cos (3.

Tels sont les moments des trois couples qu'il faut introduire dans les trois plans coordonnés, lorsqu'on transporte la force P, ou ses trois composantes (p^p^^p") du point M au point A parallèlement à ellemême.

Observons que, d'après ce qu'on a vu au N° 15, le moment de la force P par rapport à l'axe des Z est égal à la somme des moments de (p, p', p"), somme qui est visiblement xP cos (3 — yP cos a. On reconnaît de la même manière que les moments de P par rapport aux deux autres axes sont zP cos a ~ xP cos y et r/P cos y — zP cos (3; d'où il suit qu'une force appliquée en un point quelconque de l'espace peut être remplacée par trois forces dirigées suivant les axes et trois couples renfermés dans les trois plans coordonnés^ les forces étant égales aux projections de la force de V espace sur les axes , et les moments des couples étant égaux atix moments de la force de r espace par rapport aux trois axes.

H suit de là que si par un point quelconque considéré comme lié au reste du système on mène trois axes rectangulaires, on pourra

transporter toutes les forces parallèlemeot à elles-mêmes eo ce point et si l'on représente par [xyz)j {a/y'z% etc. les coordonnées des points d'application des forces P, P'...., et par {a^)^ («'(S'y').... les angles que celles-ci forment avec les axes, toutes les forces de l'espace seront remplacées par trois forces (X, Y, Z) renfermées dans les trois axes et données par les équations

X =» P cos a + Fcos a! h- etc., Y = P cos (3 -4- F cos (^ + etc.,

Z =3 P cos y -♦- F cos y' -4- etc.,

et par trois couples L, M et N renfermés dans les trois plans coordonnés et donnés par

L =s P (y cos y — a: cos (3) -h P'(j/'cos y' — z'cos (ï) -i- etc.

M =s P (z cos a — X cos y) -*- P' (z' cos a' — a/ cos y') -4- etc.

N = P (x cos P — y cos«) -h F(x'cos (3' — y' cos a') -+- etc.

Or les trois forces (X, Y, Z) peuvent être remplacées par une résul-

lante R égale à \/X* -+- Y* -4- Z*, faisant avec les trois axes des angles a, 6 et c déterminés par

cosa=— -» cos6=~» cosc==^; R R R

d'un autre côté, les trois couples sont équivalents à un couple unique

et formant avec les plans coordonnés des angles /, m et n donnés par

cos 6 e= — > cos m =s — > cos n = -^ ;

toutes les forces seront donc remplacées par cette force unique R et ce couple W.

D'après ce qu'on vient de voir, (L, M, N) représentent évidemment les sommes des moments des forces par rapport aux trois axes.

On peut conclure des résultats précédents que la force unique à laquelle est réductible un système de forces quelconques en nombre n, est égale à n fois la droite menée du centre des moyennes distances des points d'application des forces au centre des moyennes distances de leurs extrémités^ et lui est parallèle. Cette proposition se démontre en suivant une marche analogue à celle qui a été indiquée à la fin du NMi.

STATIQUB. 45

54. Inclinaison de la force unique sur le couple. Couple principal, force unique principale. — En représentaot par S Tangle formé par le plan du couple W avec la force R et en observant que cet angle est complémentaire de celui que forme la force avec une normale au plan, on trouve

sin S = cos a cos / -♦- cos 6 cos m h- cos c cos n

et par conséquent,