GS “ EK

et par conséquent on a

ti) EF

Il résulte de là que, si les vitesses angulaires composantes (1) et b)' sont représentées par les longueurs EF, EG, auxquelles elles sont proportionnelles, la vitesse angulaire résultante O sera représentée par la longueur EH. Quant au sens de la rotation résultante, il est aisé de voir qu’il est bien tel, que, si l’on mettait son œil au point E, et qu’on regardât dans la direction EH, on verrait le solide tourner dans le sens où nous voyons tourner les aiguilles d’une borloge.

D’après cela, les lignes EF, EG étant prises de manière à représenter les directions des axes des rotations composantes, ainsi que la grandeur et le sens de la vitesse angulaire autour de chacun de ces axes, la diagonale EH du parallélogramme construit sur les deux lignes EF, EG, représente de même la direction de l’axe de la rotation résultante, ainsi que la grandeur et le sens de la vitesse angulaire correspondante. Cette proposition constitue ce qu’on nomme le parallélogramme des rotations.

La construction que nous venons de démontrer, et qui sert à composer entre elles deux rotations élémentaires simultanées d’un solide autour de deux axes qui passent par un même point, est entièrement analogue à la construction à l’aide de laquelle on compose deux vitesses simultanées d’un même point (§ 42). Nous pouvons en conclure de suite que, quand on aura à composer entre elles un nombre quelconque de rotations élémentaires

HOUTEKENTS COMPOSÉS. 59

simultanées d’un solide autour d’axes dont les directions concourent toutes en un même point, on y arrivera en opérant de même que quand il s’agit de trouver la résultante d’un nombre quelconque de vitesses simultanées d’un point. On représentera la grandeur et le sens de la vitesse angulaire relative à chacune des rotations composantes au moyen d'une certaine longueur, portée, comme nous l’avons dit, sur l’axe autour duquel s’effectue cette rotation ; on traitera les diverses lignes ainsi obtenues comme si elles étaient les vitesses simultanées d’un point, et, à l’aide du polygone des vitesses (§43), on trouvera leur résultante : la ligne ainsi obtenue fera connaître la direction de l’axe de la rotation résultante cherchée, et aussi la grandeur et le sens de la vitesse angulaire de cette rotation résultante. Cette construction, qui a pour objet de trouver la rotation résultante d’un solide animé à la fois d’un nombre quelconque de rotations composantes autour d’axes concourants, se nomme polygone des rotations.

Dans le cas où les rotations composantes sont au nombre de trois, et où les axes de ces rotations ne sont pas dans un même plan, on peut remplacer le polygone des rotations par une construction analogue au parallélipipède des vitesses (§ 44) : on désigne cette construction spéciale sous le nom de parallélipipède des rotations.

§ 56. Composition de deux rotations autour d'axes non situés dans un même plan. — Soient AB, CD, fig. 35, les axes des deux rotations élémentaires simultanées d’un solide. Nous supposons que ces axes ne sont pas situés dans un même pian. Par un point E, pris sur AB, menons C'D parallèle à CD. Nous pouvons regarder la rotation autour de CD comme résultant de la composition d’une rotation égale et de même sens autour de C'D', et d’une transla-

60 LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

tion dirigée perpendiculairement au plan CDG'D' {§ 33). Cette translation, de même grandeur et de même sens que le déplacement élémentaire du point E dû à la rotation autour de CD, s’effectue suivant EF, avec une vitesse égale au produit de la vitesse angulaire autour de CD par la distance des parallèles CD, CD'. Si nous substituons à la rotation autour de CD, les deux mouvements simultanés dont nous venons de parler, c’est-à dire la rotation autour de CD' et la translation suivant EF, nous aurons à composer entre eux trois mouvements élémentaires, savoir : la rotation autour de AB, la rotation autour de CD' et la translation suivant EF.

Cette composition s’effectuera de la manière suivante : on composera d’abord les deux rotations autour de AB et de CD', à l’aide du parallélogramme des rotations (§ 53) ; puis on composera la rotation résultante ainsi obtenue avec la translation suivant EF (§ 53), ce qui donnera nécessairement un mouvement héliçoïdal, puisque EF, perpendiculaire au plan CDCD ne peut pas être perpendiculaire à l’axe de la rotation résultante qui est situé dans le plan AEC.

§ 57. Composition des mouvements quelconques. — Tout mouvement élémentaire d’un solide équivaut à la coexistence d’une rotation autour d’un axe et d’une translation le long de cet axe. La composition de deux mouvements élémentaires quelconques d’un solide revient donc à la composition de quatre mouvements simultanés, dont deux sont des mouvements de translation, et les deux autres des mouvements de rotation. Si l’on compose d’abord les deux rotations entre elles, on trouvera en général pour résultat, une rotation unique et une translation (§ 56) ; si l’on compose ensuite les deux translations entre elles et avec celle qui peut résulter de la composition des deux rotations, on obtiendra une translation unique : les mouvements élémentaires donnés seront donc remplacés par une rotation et une translation, ce qui donnera en général un mouvement héliçoldal (§53).

Si un solide est animé à la fois de plus de deux mouvements élémentaires quelconques, on trouvera le mouvement résultant

MOUVEMENTS COMPOSÉS

du solide de la manière suivante : On composera entre eux deux des mouvements donnés, et l’on obtiendra ainsi un mouvement résultant partiel de même nature que chacun des mouvements composants, d’après ce que nous venons de dire ; on composera ensuite ce mouvement résultant partiel avec un troisième des mouvements composants ; puis le second mouvement résultant partiel qui en proviendra, avec un quatrième des mouvements composants ; et ainsi de suite. Le résultat définitif sera en général un mouvement hélicoïdal, ce qui devait être nécessairement, puisque le mouvement héliçoïdal est le mouvement élémentaire le plus général dont un solide puisse être animé.

§ 58. Décomposition d'un mouvement élémentaire quelconque d'un solide, en trois translations parallèles à trois axes rectangulaires, et en trois rotations autour de ces axes. — Supposons qu’un solide mobile soit rapporté à trois axes coordonnés rectangulaires OX, OY, OZ, et considérons un point faisant partie du solide, ou lié invariablement à lui, qui coïncide avec l’origine O au commencement du mouvement élémentaire dont nous nous occupons. Nous pouvons décomposer ce mouvement élémentaire du solide, en une translation égale et parallèle au mouvement du point dont nous venons de parler, et une rotation autour d’un axe passant par ce point (§ 3i). La translation peut toujours se décomposer en trois translations dirigées respectivement suivant les axes OX, OY, OZ (§§ 52 et 45) ; la rotation s’effectuant autour d’un axe qui passe par le point O, peut également se décomposer en trois rotations autour (les mêmes axes (§§ 55 et 45). Donc tout mouvement élémentaire d’un solide peut se décomposer en trois translations parallèles à trois axes rectangulaires pris à volonté et en trois rotations autour de ces axes.

§ 59. Tbéorle dea mouvement* relatlA. — Mouvement relatif cTun point, par rapport à un système d'axes animé d'un mouvement de translation dans l'espace. — Un point mobile décrit dans l’espace la trajectoire MM'M", fig. 36, et se trouve en M, à la fin du temps t, en M' à la fin du temps tf, en M" à la fin du temps i", etc. On rapporte ce point à un système

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64 LIVRE I, — CINÉMATIQUE.

d’axes A^, Xn, qui se déplacent en restant parallèles aux axes fixes OX, OY, OZ, et on se propose de trouver le mouvement relatif qui en résulte, c’est-à-dire, le mouvement apparent du point mobile, pour un observateur qui participerait au mouvement des axes mobiles Aï, At), AÇ.

Soit AA'A" la trajectoire de l’origine mobile, qui se trouve en A à la fin du temps t, en A' à la fin du temps en A" à la fin du temps i", etc. A la fin du temps t, l’observateur que nous supposerons placé à l’origine des axes mobiles, voit le point

• mobile suivant la direction AM. A la fin du temps il le voit suivant AW. Menons A'N égale et parallèle à AM ; il faudrait que le point mobile se trouvât en N à la fin du temps I t', pour que l’observateur crût qu’il ne s’est pas déplacé Fig. 3s. pendant le temps

t' — t. Au lieu de cela, le point mobile est en M' à la fin du temps r' : il doit donc sembler être allé de N en M' pendant ce temps f — t. Mais l’observateur, qui se croit immobile, rapporte au point A ce que nous venons de trouver pour le point A' ; en sorte que, si par ce point A nous menons une droite Am' égale et parallèle à A'M', c’est le chemin Mm', égal et parallèle à NM', qui lui semble avoir été parcouru par le point mobile. Be même, si l’on mène par le point A une droite Am" égale et parallèle à A"M", on obtient la position m" où le point mobile semble être venu se placer à la fin du temps t", et ainsi de suite. La ligne Mm'm" est la trajectoire du mouvement relatif.

Si t! — r est infiniment petit, MM', Mm', MN, sont les déplacements élémentaires simultanés, dans le mouvement absolu du

MOUVEMENTS COMPOSÉS

point mobile, dans son mouvement relatif, et dans le mouvement de l’origine des axes mobiles ; le premier est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres. En divisant ces déplacements par i — r, on a les vitesses correspondants dans ces trois mouvements, vitesses qui sont dirigées suivant les lignes MM', Mm', MN : donc la vitesse absolue du point mobile est la résultante de sa vitesse relative et de la vitesse de l’origine des axes mobiles. Soient MT, MS, MR, fig. 37, ces trois vitesses, si l’on prolonge MR, au delà du point M, d’une quantité MR' égale à MR, MS sera la diagonale du parallélogramme MR'ST ; donc la vitesse relative MS est la résultante de la vitesse d’-

absolue MT et d’une vitesse MR' égale et contraire à la vitesse MH de l’origine des axes mobiles.

Concevons que les coordonnées x, y, z du point mobile, rapportées aux axes fixes OX, OY, OZ, fig. 36, soient données en fonction du temps t par les relations suivantes :

x = fV), g = f((), i = >î'(0.

Concevons en outre que les cordonnées x„ y„ z, de l’origine des axes mobiles soient également données en fonction du temps f par les relations :

®i = A (0. = fl (0, zi = +1 (<)•

Les cordonnées S, t)> C du point mobile, rapportées aux axes mobiles A?, At), AÇ, seront liées au temps / par les relations :

i = f[()-fiW. Ti = ç(0-?i(0, Ç =

Ce sont les équations du mouvement relatif.

Considérons spécialement le cas où le point dont on cherche le mouvement relatif est en repos absolu. Ses coordonnées, rapportées aux axes fixes OX, OY, OZ, auront alors les valeurs constantes :

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6* LIVRE I. — CINÉMATIOüE.

et par suite les équations de son mouvement relatif deviendront;

| = a-A{<), rî = é-?,(0, Ç =

Menons par le point M dont il s’agit trois axes MX', MY', MZ', parallèles à OX, OY, OZ, fig. 38, mais de sens contraires. Les coordonnées a.', y', z* de A, rapportées à ces axes, seront évidemment fournies par les formules

Donc les coordonnées de l’origine mobile .4, par rapport aux

axes fixes MX' MY' , MZ' , sont constamment égales aux coordonnées de M rappor- ^ tées aux axes mobiles AÇ, Af), AC.

On en conclut né- I cessairement que la trajectqire relative ou apparente du point M, par rapport à ces axes mobiles , est symétrique de la trajectoire réelle du point A. Ces trajectoires sont symétriques l’une de l’autre, et non égales, parce que les coordonnées x',y',z'du point A se comptent en sens contraire des coordonnées relatives ?,i),Cdu point M; elles seraient égales, si les coordonnées x',y', /, tout en ayant respectivement les mômes valeurs que Ç, ni, î, se comptaient suivant les axes MX",MY", MZ".

Dans le cas particulier où, le point M étant en repos absolu, le point A décrit une trajectoire plane, la trajectoire apparente ou relative du point M est aussi plane. Et comme deux figures planes symétriques sont en môme temps égales, on en conclut que, dans ce cas, la trajectoire apparente du point M est exacte-

MOUVEMENTS COMPOSÉS

tiS

ment la même que la trajectoire réelle du point A : ces deux trajectoires ne différent que par la position qu’elles occupent. Nous pouvons citer, comme exemple, le mouvement annuel de la terre autour du soleil ; dans ce mouvement, la terre décrit une ellipse dont le soleil occupe un des foyers : il en résulte que, pour un observateur placé sur la terre, le soleil semble décrire annuellement une ellipse égale à la précédente, dont un des foyers est occupé par la terre.

§ t)0. Mouvemmtrelatif d’un point, par rapport à un système d'axes animé d’un mouvement derotation. — Soit AB, /îÿ. 39, l’axe de rotation du système (l’axes mobiles par rapport auxquels nous voulons déterminer le mouvement relatif.

Nous pouvons, si nous voulons, supposer que le système (l’axes mobiles ait été choisi de manière que l’un d’eux coïncide avec cet axe AB.

Soient M, M', M" les positions du point mobile à la Gn des temps t, i" . Le point M, considéré comme lié aux axes mobiles, décrit un cercle MN'N", en vertu de la rotation de ces axes autour de AB, et se trouve, par exemple, en N' à la ün du temps et en N" à la Gn du temps P est le centre de ce cercle. Pour que le point mobile parût être dans la mépae position à la Gn du temps t' qu’à la Gn du temps t, pour l’observateur qui se meut avec les axes, il faudrait que ce point se trouvât enN' à la Gn du temps t' ; mais il est alors en M' : donc il a paru aller de N- en .M'. L’observateur, ne se croyant pas en mouvement, rapporte cette trajectoire apparente à la position M qu’avait d’abord le point mobile; en sorte que, pour lui, le mobile a semblé aller de M en vi, cette ligne Mm' étant la ligne N'M' qu’on a fait tourner autour de AB, jusqu’à ce que N' vienne en M. De même, le |H)int mobile devrait étreen N", à la Gn du temps f, pour

UVHE I. — CINÉMATIQUE.

sembler occuper la môme place qu’à la fin du temps t; il est alors en M’ : il a donc paru aller de N" en M", ou plutôt de M en m'\ la ligne M/n" n’ôtant autre que la ligne N" M" qu’on a fait tourner autour de AB, jusqu’à ce que N" vienne en M.

La trajectoire du mouvement relatif du point mobile est donc Mm'/n". Il est clair que, pour l’obtenir, on peut donner à chaque instant au point mobile un mouvement de rotation autour de AB, égal et contraire au mouvement des axes mobiles autour de cette ligne; en composant le mouvement absolu du point mobile avec ce nouveau mouvement, on trouvera son mouvement relatif ou apparent.

Il résulte de là que, dans le cas particulier où le point dont on cliercbe le mouvement relatif est en repos absolu dans l’espace, ce mouvement relatif est un mouvement de rotation, égal et contraire au mouvement de rotation des axes mobiles. On en trouve un exemple dans le mouvement diurne des astres ; ce mouvement n’est qu’une apparence due à ce que la terre est animée d’un mouvement de rotation égal et contraire, autour de la ligne des pôles.

§ 61. Mouvement relatif d’un point, par rapport à un lystéme d'axes qui se déplace d’une manière quelconque dans l’espace. — Il est facile de généraliser ce qui précédé, de manière à déterminer le mouvement relatif d’un point par rapport à un système d’axes qui se déplace d’une manière quelconque dans l’espace.

' Imaginons que l’on donne à l’ensemble du point mobile et des axes mobiles auxquels on le compare, un mouvement commun quelconque; le mouvement relatif du point par rapport aux axes ne sera pas changé par l’existence de ce mouvement commun. Si l’on choisit ce mouvement commun de telle manière qu’à chaque instant il soit égal et contraire au mouvement que possèdent les axes à cet instant, ceux-ci se trouveront réduits à l’état de repos ; quant au point mobile, il sera animé d’un mouvement résultant de la composition du mouvement qu’il avait d’abord, et de celui qu’on vient en outre de lui donner : ce mouvement résultant ne sera autre chose que le mouvement relatif cherché.

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MOUVEMENTS COMPOSÉS

11 est aisé de voir, d’après cela, que la vitesse du point mobile à un instant quelconque, dans son mouvement relatif, est la résultante de sa vitesse absolue, et d’une vitesse égale et contraire à celle qu’il aurait s’il était lié invariablement aux axes mobiles, dans la position qu’il occupe à cet instant.

§ 62. Mouvement relatif de deux solides gui se déplacent chacun d'une manière quelconque dans l'espace. — Lorsque deux solides A, B, se meuvent d’une manière quelconque dans l’espace, on trouve le mouvement du solide A par rapport au solide B, ou, ce qui revient au même, par rapport à des axes coordonnés que l’on suppose liés invariablement àce solide B et mobiles avec lui, en opérant comme nous venons de l’indiquer dans le paragraphe précédent. On attribue à l’ensemble des solides A et B un mouvement commun égal et contraire au mouvement du solide B. Ce solide B se trouve ainsi ramené à l’état de repos ; et si l’on compose le mouvement qu’avait le solide A avec celui qu’on vient de lui donner, on trouve un mouvement résultant qui est précisément le mouvement relatif cherché.

§ 63. TUéorle du roulement et du g^llmement des solides les ans snr les autres. — Nous avons parlé d’une courbe roulant sur une autre courbe, et d’une surface roulant sur une autre surface, lorsque nous avons cherché a nous faire une idée de la manière dont s’effectue le mouvement continu d’une figure plane dans son plan, et d’un solide dans l’espace. Quoique l’on ait facilement compris alors en quoi consistait ce rou/ement, nous allons en donner ici une définition précise, afin que l'on voie clairement quelle est la nature de ce genre de mouvement, dans tous les cas où il peut se présenter.

On dit qu’une courbe roule sur une antre courbe, lorsque la première courbe se meut par rapport à la seconde sans qu’elles cessent d’étre tangentes l’une à l’autre, et qu’en outre le point de contact se déplace en même temps de quantités égales sur ces deux courbes. Cette dernière condition peut d’ailleurs être énoncée autrement, en disant que les diverses parties de la première courbe viennent successivement s’appliquer sur des arcs de même longueur de la seconde courbe.

UVBE I. — CINÉMATIQUE.

Lorsque deux solides se meuvent l’un par rapport à l autre, et (|ue leurs surfaces se touchent constamment par un point, le point de contact se déplace en général sur chacune de ces surfaces. Considérons le lieu géométrique des positions que ce point de contact occupe successivement sur la surface du premier solide, et aussi le lieu géométrique des positions qu’il occupe sur la surface du second solide. Si, dans le mouvement des deux solides l’un par rapport à l’autre, la première de ces deux courbes roule sur la seconde, conformément à la définition que nous venons de donner du roulement des courbes, on dit que le premier solide roule sur le second.

Deux solides peuvent se toucher t la fois par plus d’un point. S’il y a un nombre fini de points de contact isolés les uns des autres, il y aura roulement des deux solides l’un sur l’autre pour ceux de ces points de contact pour lesquels les conditions qui ont été indiquées dans le cas d’un seul point de contact seront remplies.

Dans le cas où deux solides se touchent par un nombre infini de points de contact, formant par leur ensemble ce qu’on nomme une ligne de contact, on dit qu’il y a roulement de l’un sur l’autre dans toute l’étendue de la ligne de contact, lorsque les choses se passent comme nous allons l’indiquer. Concevons qu’on ait tracé une courbe quelconque sur la surface du premier solide, de telle manière que cette courbe rencontre la ligne de contact du premier solide avec le second, dans les diverses positions qu’elle prend successivement sur ce premier solide. Concevons en outre que l’on ait marqué, sur la surface du second solide, la suite des points où cette surface est touchée successivement par la courbe que l’on a tracée sur la surface du premier; cette suite de points de contact formera une autre courbe tracée sur la surface du second solide. Si, dans le mouvement du premier solide sur le second, les deux courbes dont nous venons de parler roulent l’une sur l’autre, de quelque manière que la première de ces courbes ait été tracée sur le solide correspondant, il y a roulement du premier solide sur le second, tout le long de leur ligne de contact.

MOUVEMENTS COMPOSÉS

§64. La définition que nous venons de donner du roulement d’une courbe sur une autre, ou d’un solide sur un autre, dans les divers cas qui peuvent se présenter, ne suppose en aucune manière que l’une des deux courbes, ou l’un des deux solides, est en repos. Le roulement est absolu ou relatif, suivant que l’une des deux courbes ou l’un des deux solides est immobile, ou bien que les deux courbes ou les deux solides se déplacent en même temps dans l’espace. Le roulement relatif peut d’ailleurs être ramené à un roulement absolu, par le moyen que nous avons indiqué pour ramener un mouvement relatif quelconque à un mouvement absolu (§62).

Lorsqu’une courbe mobile roule sur une courbe immobile, soit que ces courbes existent seules, soit qu’elles se trouvent tracées sur les surfaces de deux solides qui roulent l’un sur l’autre, il est clair que le point de contact des deux courbes, considéré comme appartenant à la courbe mobile, reste en repos pendant un intervalle de temps infiniment petit ; le mouvement élémentaire de la courbe mobile, ou du solide auquel elle appartient, doit donc être une rotation autour d’un axe passant par ce point de contact (§ 27). Il résulte de là que, si un solide en mouvement touche constamment un solide immobile par plusieurs points, et s’il y a roulement du premier solide sur le second en chacun de ces points de contact, le mouvement élémentaire du solide mobile est à chaque instant une rotation autour d’un axe passant par ses divers points de contact avec le solide immobile ; et que, par conséquent, tous ces points sont nécessairement en ligne droite. Dans le cas où le solide eu mouvement touche le solide immobile en une infinité de points, formant une ligne, il ne peut y avoir roulement du premier solide sur le second tout le long de leur ligne de contact, qu’autant que cette ligne est droite. Pour qu’un solide puisse ainsi rouler d’une manière continue, pendant un temps quelconque, sur un autre solide immobile, tout le long d’une ligne de contact de leurs surfaces, il est nécessaire que les surfaces de ces deux solides soient des surfaces réglées.

l'/o résultat auquel nous venons de parvenir, pour le cas du