LIVRE 1. — CINÉMATIQUE

même rôle que DE par rapport au mouvement de l’espace, c’està-dire que de sera égal et parallèle à la vitesse acquise élémentaire de la projection du mobile correspondant au temps infiniment petit dt. On en conclut de suite que l’accélération dans le mouvement projeté est la projection de l’accélération dans le mouvement de l’espace.

11 faut bien ob.server qu’il s’agit ici uniquement des accélérations totales, dans le mouvement que l’on projette, et dans la projection de ce mouvement. Si l’on construit le rectangle à l’aide duquel l’accélération totale du mouvement de l’espace se décompose en une accélération tangentielle et une accélération centripète, et que l’on projette ce rectangle sur le plan fixe, sa projection sera en général un parallélogramme dont les angles ne seront pas droits. La diagonale de ce parallélogramme représentera bien l’accélération totale dans le mouvement projeté, d’après ce que nous venons de démontrer ; et ses côtés, dont l’un est dirigé suivant la tangente à la trajectoire du mouvement projeté, représenteront en même temps deux composantes de cette accélération ; mais ces composantes, qui ne sont pas rectangulaires, sont nécessairement différentes de l’accélération tangentielle et de l’accélération centripète dans le mouvement projeté. 11 ne serait donc pas vrai, en général, de dire que l’accélération tangentielle et l’accélération centripète, dans le mouvement projeté, sont respectivement les projections de l’accélération tangentielle et de l’accélération centripète dans le mouvement de l’espace.

§ 75. Aecélérallon dan* le mouvement projeté «ur une droite flxe. — Lorsqu’on projette le mouvement d’un point sur une droite fixe (§13), la vitesse de la projection est encore, à chaque instant, la projection de la vitesse du point dans l’espace. Il nous sera facile d’en conclure, comme dans le cas précédent, que l’accélération dans le mouvement projeté est la projection de l’accélération dans le mouvement que l’on projette.

Pour cela, concevons encore que l’on ait construit, pour le mouvement du point dans l’espace, le triangle CDE de la/îg. 45, dont nous venons déjà de nous servir, et supposons que l’on

ACCÉLÉRATIOîl BANS LE MOUVEMENT D’üN POINT. 89

projette ce triangle sur la droite fixe sur laquelle on projette le mouvement fiu point. La projection du côté CE sera égale à la somme des projections des côtés CD, DE ; et comme les projections de CD et de CE sont respectivement égales aux vitesses du point projeté, à la fin du temps < et à la fin du temps il en résulte que la projection de DE sera égale à la différence de ces deux vitesses, c’est-à-dire que ce sera la vitesse acquise élémentaire du point projeté correspondant au temps infiniment petit Donc la vitesse acquise élémentaire, dans le mouvement projeté, est la projection de la vitesse acquise élémentaire dans le mouvement de l’espace; et, par suite, l’accélération dans le mouvement projeté est la projection de l’accélération totale dans le mouvement que l’on projette.

§ 76. Accélération dans le mouvement d*nn point rapporté A un système de coordonnées rectlllirnes.

— Un point mobile étant rapporté à un système de coordonnées rectilignes, supposons que nous considérions à la fois le mouvement de ce point et les mouvements de ses projections sur les axes. Nous avons déjà vu (§§ 46 et 47) que la vitesse du mobile à un instant quelconque est la résultante des vitesses de ses projections sur les axes; il est aisé de voir qu’il en est de même pour les accélérations. En effet, d’après ce qui vient d’être démontré (§ 75), l’accélération du mouvement projeté sur un quelconque des axes est la projection de l’accélération totale • du mouvement de l’espace : donc, si l’on mène, par la position qu’occupe le point mobile à un instant quelconque, des droites égales et parallèles aux accélérations des projections de ce point sur les axes, et que l’on construise sur ces droites un parallélogramme ou un parallélipipède, suivant qu’il y a deux axes ou qu’il y en a trois, la diagonale de ce parallélogramme ou de ce parallélipipède sera précisément l’accélération totale du point mobile dans l’espace. Ainsi, on peut dire que cette accélération totale du mobile est la résultante des accélérations de ses projections sur les axes coordonnés.

Il sera facile d’après cela de trouver l’accélération totale, dans le mouvement d’un point rapporté à deux ou à trois axes coor-

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donnés, lorsqu’on connaîtra les équations du mouvement. Dans le cas où le mouvement, s’effectuant dans un plan, sera rapporté à deux axes seulement, les équations du mouvement étant

*=/■(<). y=?iO.

les accélérations, dans le mouvement des projections du mobile sur les axes, auront pour valeurs (§ 70)

■Si»

=rw,

l’accélération totale du point mobile sera donc la diagonale d’un parallélogramme dont les côtés, parallèles aux axes, seront respectivement égaux à ces deux quantités. Dans le cas où le mouvement sera rapporté à trois axes coordonnés, les équations du mouvement étant

les accélérations dans les mouvements projetés sur les axes seront

— = dl* ~

rit);

et par conséquent l’accélération totale du mobile dans l’espace sera la diagonale d’un parallélipipède construit sur trois droites parallèles aux axes et égales respectivement à ces trois quantités.

§ 77. Prenons pour exemple le mouvement circulaire et uniforme que nous avons déjà considéré (§ 14), et rapportons les positions successives du point mobile à deux axes coordonnés rectangulaires passant par le centre du cercle. Les équations de ce mouvement seront de la forme

vt , vt

x=erco8 — 5 UKrSln — •

On trouve d’abord pour les vitesses des projections du point mobile sur les axes

'dt

~ = v coa at