ACCÉLÉRATIOH DANS LE MOUVEMENT D’UN POINT

et l’on vérifie aisément que ces vitesses sont bien les projections de la vitesse v du mobile dirigée langentieliement à la circonférence du cercle qu’il décrit. On trouve, en outre, pour les accélérations du mouvement de ces projections du mobile sur les axes.

dt* ~

dt*

Les valeurs de ces accélérations montrent que l’accélération totale du mobile à un instant quelconque est égale à et

qu’elle est dirigée de la position qu’il occupe à cet instant vers le centre de sa trajectoire. C’e^t en effet ce qu’on devait trouver : car, en vertu de l’uniformité du mouvement sur la circonférence, l’accélération tangentielle est nulle ;,et par suite l’accélération totale se réduit à l’accélération centripète, qui, dans

ce cas, a pour valeur ^ (§ ’73).

Considérons encore la projection orthogonale de ce mouvement circulaire et uniforme sur un plan quelconque. Si nous prenons pour axes coordonnés, dans le plan de projection, les axes de l’ellipse suivant laquelle se projette la trajectoire circulaire de l’espace, et si nous désignons par a l’angle que le plan de cette trajectoire circulaire fait avec le plan de projection, nous trouverons sans peine que les équations de ce mouvement sont de la forme

vt . vt

I a?=srcoa — > y = rco8a8in — •

Les accélérations, dans les projections de ce mouvement sur les axes coordonnés, auront donc pour valeurs

dli

dt'

a sin — r

On voit que ces accélérations sont proportionnelles aux valeurs de X et y ; d’où l’on conclut que l’accélération totale du mobile, dans le mouvement elliptique dont il s’agit, est dirigée de la

s* LIVRE I. — CINÉMATIOUE.

position qu’occupe le mobile, vers le centre de l’ellipse qu’il décrit. De plus, la valeur de cette accélération totale est

— t / cos* — -t- cos* a slll* — 1 r \ r r

et par conséquent elle est proportionnelle à la distance qui sépare le mobile du centre de sa trajectoire elliptique, distance qui a pour expression

r cos* — H- cos*asin* “•

Ces résultats sont d’accord avec ce que nous avons démontré en général relativement à l’accélération dans un mouvement jirojeté sur un plan fixe (§ 74). Car l’accélération totale d’un mouvement circulaire et uniforme étant toujours dirigée de la position qu’occiipe le mobile vers le centre du cercle qu’il décrit, et ayant constamment la même valeur, il s’ensuit nécessairement que l’accélération totale de la projection de ce mouvement sur un plan quelconque est toujours dirigée suivant la ligne qui joint le mobile projeté au centre de sa trajectoire elliptique, et que la valeur de cette accélération totale est proportionnelle à la longueur de la même ligne.

§ 78. Dëtermlnatloii de l’accélération d’an point,

d’aprèa aon déplacement danMl’eapace. — SoitÂB,/îg.46.

la trajectoire d’un point mobile, M la position du mobile à la fin du temps t, et MZ la direction de l’accélération totale à cet instant.

Menons la tangente MX c'ila trajectoire, et une ligne MY non située dans le plan osculateur ZMX.

Nous pouvons rapporter le mouvement du mobile aux trois axes coordonnés MX, MY, MZ. Désignons par 6 le temps compté à partir de l’instant où le point