PM

considéré, tend indéfiniment à se confondre avec le côté

de ce parallélipipède ; et, à la limite, elle a la môme grandeur et la même direction que ce côté, c’est-à-dire qu’elle se confond avec l’accélération totale du mobile au point M. C’est ce qu’on énonce simplement en disant que, si M et M' sont les positions que le mobile occupe à la fin du temps t et à la fin du temps t+dt, et si MN~ est le chemin que ce mobile parcourrait uniformément sur la tangente MX pendant le temps dt, en vertu de la vitesse b qu’il possède à la fin du temps t, l’accélération totale de son mouvement est dirigée suivant la ligne NM', et a

pour valeur -jjp-

§79. A<»;élératlondanatan mouTement composé.—

Quand on regarde le mouvement d’un point dans l’espace comme résultant de la composition de deux autres mouvements (§ 4k)), la vitesse du point à un instant quelconque se déduit très-simplement des vitesses dont il est animé au même instant dans

ACCÉLÉRATION DANS LE MOUVEMENT D’uN POINT. 95

chacun des mouvements composants (§ 42). Nous allons voir que l’on peut également trouver l’accélération totale dans le mouvement résultant, d’après la seule connaissance des circonstances que présentent les deux mouvements composants.

Considérons d’abord le cas où celui des deux mouvements composants que nous nommons mouvement d’entrainement est simplement un mouvement de translation ; en sorte que, en vertu de ce mouvement, les divers points de la trajectoire relative AB, fig. 47, qui se transporte successivement en A'B', A"B", A^B",... sont animés à chaque instant de vitesses égales et parallèles.

Si les positions AB, A'B* de cette trajectoire correspondent aux instants qui terminent les temps / et t -)- dt, et si M et N sont les points où le mobile se trouve sur sa trajectoire relative aux mêmes instants, MN' sera le déplacement absolu de ce mobile dans l’espace pendant le temps dt. Soient v la vitesse absolue de ce mobile lorsqu’il est en M, et o do sa vitesse lorsqu’il est en N' ; v la vitesse commune aux différents points de la trajectoire relative, à la fin du temps <, et o' -f- do' ce que devient cette vitesse, à la fin du temps t-\-dt; enfin o" la vitesse du mobile sur sa trajectoire relative, lorsqu’il y occupe la position M, à la fin du temps /, et o" -j- diT sa vitesse relative, lorsqu’il se trouve au point N de cette trajectoire relative, à la fin du temps t-\-dt. k la fin du temps <, la vitesse absolue o du mobile, qui est alors en M, est la résultante de la vitesse d’entraînement t/ du point M, et de la vitesse relative o". A la fin du temps t -f- dt, la vitesse absolue du mobile est de même la résultante de la vitesse d’entraînement o' -|- do' du point N', et de la vitesse relative o" do".

Cela posé, menons par un point quelconque D, fig. 48, une

LIVRK I. — CINÉMATIQUE.

droite CD égale et parallèle à la vitesse o' ; puis par le point I) une droite DE égale et parallèle à la vitesse t/' : la ligne GE représentera la vitesse v en grandeur et en direction. Si d’un autre

côté nous menons CF égale et „ parallèle à la vitesse o'-t- dv\ puis FG égale et parallèle à •j" dv", la ligne CG représentera la vitesse u rfo en grandeur et en direction. La ligne £G sera donc égale et parallèle à la vitesse acquise élémentaire du mobile dans son mouvement absolu. Mais, si nous traçons FH égale et parallèle à DE, et que nous joignions le point H aux points E,G, nous pourrons dire que la vitesse infiniment petite EG est la résultante des deux vitesse EH, HG. D’ailleurs EH, égal et parallèle à DF, est évidemment la vitesse acquise élémentaire dans le mouvement d’entrainement du point M de la trajectoire relative ; et HG est de même la vitesse acquise élémentaire dans le mouvement relatif : donc la vitesse acquise élémentaire dans le mouvement absolu est la résultante des vitesses acquises élémentaires correspondantes dans le mouvement d’entrainement et dans le mouvement relatif. On en conclut nécessairement que l’accélération totale, dans le mouvement absolu, s’obtient en composant les accélérations totales dans le mouvement d’entrainement et dansle mouvement relatif, d’après la règle du parallélogramme des vitesses.

Si un point mobile est regardé comme animé à la fois de plus de deux mouvements, et que les divers mouvements composants qui jouent le rôle de mouvement d’entrainement (§ 41) soient tous des mouvements de translation, il est clair que l’accélération totale du mouvement résultant se trouvera en composant les accélérations totales des divers mouvements composants, d’après la i-ègic du polygone des vitesses.

§ 80. Voyons maintenant comment l’accélération totale, dans le mouvement absolu d’un point que l’on regarde comme animé à la fois d’un mouvement d’entrainement et d’un mouvement re-

ACCÉLÉRATION DANS LE MOUVEMENT D’UN l’OINT . 97

latif, peut se déduire des circonstances que présentent ces deux mouvements composants, dans le cas où le mouvement d’entrainement ne se réduit pas à une translation.

Considérons encore les deux positions AB, A'B', fig. 49, que la trajectoire relative du mobile occupe à la fin des temps i et et supposons qu’aux mêmes instants le mobile se trouve aux points M, N de cette ligne.

Nous savons que la courbe AB peut être amenée à la position A'B' par un mouvement de translation égal au déplacement infiniment petit MM' du point M, suivi d’un mouvement de rotation autour d’un axe CD passant par le point M'(§ 28). Soit .\,B, la position qu’elle prend ainsi, après avoir reçu seulement le mouvement de translation dont il vient d’être question. Le point N, pour aller en N', parcourra d’abord un chemin NN, égal et parallèle à MM', en vertu de la translation, puis un arc de cercle N, N' en vertu de la rotation autour de l’axe CD.

Menons en M la tangente à la trajectoire MM' que décrit ce point M supposé lié invariablement aux axes mobiles, et aussi la tangente à la trajectoire relative .\B du mobile que l’on considère; puis portons sur ces tangentes des longueurs MR, MS respectivement égales aux produits de la vitesse d’entraînement v' du point M, et de la vitesse relative u", par le temps dt, en sorte qu’on ait

MR = e'rfI, MS = t/'f/I.

La diagonale MT du parallélogramme construit sur les lignes MR, MS, sera liée à la vitesse absolue v du mobile, par la relation de môme forme

MT = rrf<;

et, de plus, cette diagonale sera tangente en M à la trajectoire

LIVnE I. — CINÉMATlOl’E.

absolue de ce point mobile. Il suit de là que, si l’on joint le point T au point N' où le mobile se trouve réellement à la fin du temps t -|- dt, la ligne TN' aura la direction de l’accélération totale du mouvement absolu, et que la grandeur de cette accé-

lération totale s’obtiendra en multipliant TN' par^(§ 78).

Mais si l’on joint le point S au point N, que par le point T on mène TU égale et parallèle à SX, puis qu’on joigne le point U au point N„ on aura un polygone TUN,N', dont la ligne TN joint les deux extrémités. Si, de plus, on imagine un polygone semblable à celui-là, ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce premier polygone, et égaux à ces mêmes côtés mul-

tipliés tous par —, la ligne correspondante àTN' dans ce nouveau polygone sera précisément l’accélération totale / du mobile dans son mouvement absolu : donc cette accélération totale peut être regardée comme étant la résultante de trois accélérations dont les grandeurs sont