CHAPITRE II
ÉQUIUBBE ET MOUVEMENT d’uN POINT HATÉHIEL UBB£.
§104. ÉqallUire d’an point matériel. — Lorsqu’un point matériel, que nous supposerons primitivement en repos, vient à être soumis aux actions simultanées de diverses forces, il peut arriver que ces forces se contre-balancent mutuellement, de telle manière qu’il reste en repos malgré l’action des forces. Dans ce cas, on dit que le point matériel e$t en équilibre : on dit aussi que les forces se font équilibre sur le point matériel.
Il est aisé de voir à quelle condition les forces doivent satisfaire, pour que le point matériel sur lequel elles agissent soit en équilibre. Ces forces, quelles que soient leurs grandeurs et leurs directions, peuvent être remplacées par leur résultante (§99). Le point matériel, soumis à l’action de cette résultante seule, doit donc rester à l’état de repos, tout aussi bien que lorsqu’il est soumis aux actions simultanées des composantes. Or, cela ne peut évidemment avoir lieu qu’autaut que la résultante est nulle: donc, pour qu’uu point matériel soit en équilibre sous l’action de plusieurs forces, il faut que la résultante de ces forces soit nulle. D’ailleurs, il est bien clair que cette condition est suffisante pour que le point matériel, primitivement en repos, ne se mette pas en mouvement sous l’action des forces qui lui sont appliquées, puisque ces forces peuvent toujours être remplacées par leur résultante, et que, celle-ci étant nulle.
ÉQ. ET MOUT, d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. 131
le point matériel se trouve dans le même cas que s’il n’était soumis à l’action d’aucune force.
Si plusieurs forces, agissant sur un point matériel en mouvement, ont une résultante nulle, on dit encore qu’elles se font équilibre. Dans le cas où le point matériel serait soumis à ces forces seules, il se trouverait dans les mêmes conditions que si aucune force ne lui était appliquée, et par suite son mouvement serait rectiligne et uniforme.
Lorsque plusieurs forces appliquées à un même point matériel se font équilibre, il est clair qu’une quelconque d’entre elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les antres.
Soient F, F, F',... diverses forces qui agissent sur un même point matériel. Menons, par un point quelconque de l’espace, trois axes coordonnés rectangulaires, et décomposons chacune des forces F, F, F',.- en trois composantes dirigées parallèlement à ces axes. Soient X, Y, Z, les composantes de la force F ; X', Y', Z', les composantes de la force F, etc. La projection de la résultante des forces F, F, F',... sur l’axe des x (§ iOO) est égale à
X+X'-t-X" -f- ou XX;
de même les projections de celte résultante sur les axes des y et des Z sont respectivement
Y4-Y'4-Y"-(- , ouSY,
Z -t- Z' H- Z" + ou XZ.
Il est clair que, pour que les forces F, F, F"... se fassent équilibre, c’est-à-dire pour que leur résultante soit nulle, il est nécessaire et suffisant que les projections de cette résultante sur les axes soient nulles toutes trois : l’équilibre des forces F, F, F'... se trouve donc exprimé par les équations
XXasO, XY3=0, XZ=xO.
§ 105. Monvement rectiligne «Tan point matériel .
— Dans ce qui suit, nous allons étudier les lois du mouve-
ment que prend un point matériel sous l’action d’une ou de plusieurs forces. Mais, les diverses forces qui agissent simultanément sur un même point matériel pouvant toujours être remplacées par leur résultante, nous n’avons pas besoin de nous préoccuper de l’existence de ces diverses forces, et nous pouvons raisonner, dans tous les cas, comme si le mouvement du point mobile était dû à l’action d’une force unique.
Si un point matériel, partant du repos, est soumis à l’action d’une force dont la direction reste constamment la même, il se mouvra suivant une ligne droite. Il en sera encore de môme si ce point matériel a reçu une vitesse initiale dont la direction coïncide avec celle de la force qui lui est appliquée. C’est ce qu’on reconnaîtra sans peine, en raisonnant comme nous l’avons déjà fait dans le cas où la force est constante en grandeur et en direction (§§ 90 et 91).
De quelque manière que varie la force qui agit sur le point matériel, si l’on désigne par m la masse de ce point, par / l’accélération de son mouvement à un instant quelconque, et par F la valeur de la force à cet instant, on aura toujours la relation
F = mj.
La connaissance de la loi de variation de la force F entraîne donc celle de la loi de variation de l’accélération /, ce qui permet de déterminer la loi du mouvement.
Soient t le temps compté à partir d’un instant quelconque pris pour origine ; x la distance du point mobile à un point fixe de sa trajectoire rectiligne, à la fin du temps t; et o la vitesse de ce point au même instant. On a
dx . dv cPx
L’accélération y, ainsi obtenue, est positive ou négative en môme temps que l’accroissement de vitesse infiniment petit dv correspondant à l’élément de temps dl. Il est aisé de voir que,
quel que soit le signe de v, ou de la vitesse acquise élémen-
ÉQ. ET MOUV. I)’UN POINT MATKRIEl LIBRE.
taire dv est positive ou négative, suivant qu’elle est dirigée dans le sens des x positifs ou dans le sens des x négatifs ; et par suite il en est de même de l’accélération j. On voit donc que la relation
qui a été établie (§ 98), en ne considérant que les valeurs absolues de j et de F, subsistera encore quand on prendra j avec son signe, à la condition de regarder la force F comme positive ou négative, suivant qu’elle agira dans le sens des x positifs ou bien dans le sens opposé.
En remplaçant j par sa valeur — dans cette dernière relation, on trouve
qui n'est autre chose que l’équation différentielle du mouvement du point. L’intégration de cette équation différentielle fera connaître l’équation finie du mouvement. Les constantes arbitraires se détermineront d’après les circonstances initiales, c’est-à-dire d’après les valeurs de la distance x du mobile au
dx
point fixe, et de sa vitesse — ) correspondant à f = 0.
§ 106. La force F varie, en général, avec t, et par conséquent aussi avec les quantités x et v; on conçoit qu’elle sera généralement donnée en fonction de ces trois variables t, x, v. L’intégration de l’équation différentielle du mouvement s’effectuera alors en suivant une marche plus ou moins complexe, qui dépendra de la forme de cette fonction, et en tenant compte, en même temps, de la relation
Nous nous contenterons ici d’indiquer la marche à suivre pour faire cette intégration, lorsque la force F sera donnée en fonc-
lion d’une seule des trois variables t, x, v. Nous aurons pour cela à examiner trois cas distincts.
V’ cas. — La valeur de F est donnée par la relation
Y=nt).
L’équation différentielle du mouvement est donc
Si l’on multiplie les deux membres par et qu’on intègre , on trouve
étant la vitesse du mobile correspondant à < = 0. (Représentons par <p (r) cette valeur de en sorte que nous aurons
En multipliant les deux membres par dt, et intégrant de nouveau, on aura définitivement
pour l’équation du mouvement ; désigne la valeur de x correspondant à r = 0.
2° cas. — On donne
L’équation différentielle qu’il s’agit d’intégrer est donc alors Si nous remplaçons par cette équation deviendra
Éo. ET MODV. d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. 185
Multiplions le second membre par — , et le premier membre par son égal — > et nous aurons
2 vdv = — f {x) dx ; m ' '
d’où en intégrant
e*==V4--^ Ç“ f{x)dx-, mj To
Vg et x„ désignent, comme précédemment, les valeurs de v et de X qui correspondent à t = 0. On tire de cette équation une valeur de v que nous représenterons par
ti = ç (x) ;
en y remplaçant v par puis résolvant par rapport à dt, on trouve
on a donc, en intégrant encore une fois.
X dx Xo ? W
3* cas. — On donne
L’équation différentielle du mouvement est dans ce cas
ou ce qui est la môme chose
On en tire
d’où en intégrant
dt — m
dv
« dv »o /’ < V)
Si l’on résout cette équation par rapport à i», ce qui donnera
et qu’on observe que l’on a
dx
on en déduira
x=Xa + Çi ?{t)dt.
Mais on peut aussi remplacer cette dernière opération par la suivante : la relation
dx = vdt
donne, dans le cas dont il s’agit,
dx=m
vdv
d’où l’on tire, en intégrant
» vdv
"oTîô’
il suffit alors d’éliminer v, entre cette dernière équation et la relation entre o et t qui résulte de la première intégration, pour avoir la relation cherchée entre x et /.
Éo. ET MOCV. d’un point MATÉRIEL LIBRE. 187
§ 107. Exemplea de moavement* rectlllgnee. —
Nous allons appliquer ce qui précède à deux exemples.
Considérons d’abord le mouvement d’un point matériel qui part du point 0, fig. 56, sans vitesse initiale, sous l’action d’une force dirigée suivant la ligne OA et variant en raison inverse du carré de la distance du point mobile au point A de cette ligne. Nous verrons plus tard que le poids d’un corps, placé successivement à différentes hauteurs au-dessus de la surface de la terre, varie sensiblement en raison inverse du carré de la distance qui le sépare du centre du globe terrestre ; en sorte que l’exemple que nous allons traiter peut être regardé comme se rapportant au mouvement d’un corps pesant qu’on laisserait tomber d’une certaine hauteur au-dessus de la surface de la terre, sans vitesse initiale, et dans le vide, pour ne pas avoir à tenir compte de la résistance de l’air. Nous supposerons donc que A est le centre de la terre, et que la force qui agit sur le point matériel n’est autre chose que son poids. Soit B le point où la ligne OA perce la surface de la terre : lorsque le mobile est en ce point, son poids est égal à mg (§ 98). Le poids du mobile, en un point quelconque M de la droite suivant laquelle il se meut, aura pour expression
iA
Fig. 66.
en désignant par x la distance OM, par a la distance O.A, et par r le rayon AB de la terre. D’après cela, l’équation différentielle du mouvement sera
Hp ~ ^(a— X)»'
Nous nous trouvons ici dans le second des trois cas qui ont été traités dans le paragraphe 106. En opérant comme nous l’avons dit, et observant que la vitesse initiale u, est nulle par hypothèse, ainsi que la distance initiale Xg du mobile au point O, nous trouverons d'abord
dx
En y remplaçant v par — , puis résolvant par rapport ^dt, et remarquant que dx et dt sont de môme signe, nous aurons
= J ^ rf. = Vf X
V iyy* \ X r\ 2.J
O — îx , ,«t/«
dx
\^nx — X'
^ v' nx — a*
En intégrant de nouveau, et tenant compte do ce que x est nul en même temps que t, nous obtiendrons enfin l’équation finie du mouvement, qui est
arc cos
§ 108. Considérons encore le mouvement rectiligne d’un point matériel soumis aux actions simultanées de deux forces, dont l’une est constante en grandeur et en direction, et dont l’autre, toujours dirigée en sens contraire du mouvement, varie proportionnellement au carré de la vitesse du mobile. C’est le cas d’un corps pesant qui se meut dans l’air, en supposant que le poids du corps soit constant, et que la résistance qu’il éprouve de la part de l’air varie proportionnellement au carré de sa vitesse. Nous supposerons donc que la force constante qui agit sur le point matériel soit son poids mg, et nous représenterons
l’autre force, qui sera la résistance de l’air, par mÿ-75, v étant
la vitesse du mobile à un instant quelconque, et k étant la valeur particulière de cette vitesse pour laquelle la seconde force devient égale à la première.
Examinons d'abord le cas où le corps dont nous nous occupons commence à se mouvoir sans vitesse initiale. Son mouvement s’effectue suivant la verticale menée par son point de départ, et de haut en bas; la résistance qu’il éprouve de la part de l’air est donc dirigée verticalement et de bas en haut, c’est-
