ÉQ. ET MOÜV. D’CN POINT MATÉRIEL LIBRE
à-dire en sens contraire de l’action de la pesanteur. Ce corps se meut comme s’il était soumis à l’action de la résultante de
son poids mg et de la résistance de l’air mÿ—, résultante qui est
évidemment égale à
D'après cela, on volt que, si l’on désigne par x la distance du mobile à son point de départ, on aura pour l’équation différentielle du mouvement
dix / r‘\
rf/« — A*)’
équation qui rentre dans le troisième cas du § 106. Si nous y
remplaçons ^ par son égal^, et que nous résolvions ensuite
par rapport à dt, nous trouverons
J, d” * / rf» , '/j» \.
d’où, en intégrant et observant que la vitesse initiale est nulle,
Cette équation, résolue par rapport à v, donne
Igt
e désigne la base du système de logarithmes népérien. Si l’on remplace v qu’on multiplie les deux membres de
l’équation par dl, on trouvera
dx = k — - dt :
Ei —EL k k
■- " g‘ si k k
dl;
UO LIVRE II. — nVNAMIOl’E. PREMIÈRE PARTIE.
d’où, en intégrant de nouveau, et déterminant la constante de manière que x soit nul pour / = O,
La valeur de v pouvant se mettre sous la forme
igt
on voit que la vitesse du mobile augmente constamment, sans cependant jamais dépasser la vitesse k; elle s’approche indéfiniment de cette limite A, et ne lui devient égale que lorsque t est infini.
Voyons maintenant comment s’effectue le mouvement du corps sous l’action des mêmes forces, lorsqu’il a été primitivement lancé verticalement, et de bas en haut, avec une vitesse IV Ce corps commence par s’élever verticalement; sa vitesse diminue peu à peu; bientôt il cesse de monter, pour se mettre en mouvement en sens contraire suivant la môme droite, en prenant une vitesse de plus en plus grande. PenJhnt que le corps monte, la résistance qu’il éprouve de la part de l’air est dirigée de haut en bas, de même que l’action de la pesanteur ; la résultante des deux forces auxquelles il est soumis est donc égale à
Si nous désignons encore par x la distance du mobile à son point de départ, et si nous remarquons que la force résultante dont nous venons de donner la valeur est dirigée en sens contraire du sens dans lequel se compte cette distance x, nous verrons que l’équation différentielle du mouvement ascendant du mobile est la suivante :
ÉO. ET MOüV, d’un point MATÉRIEL LIBRE, d^X [ u*\
nous sommes donc encore dans le troisième cas du paragrapbe 106. Si nous remplaçons par — . et que nous résolvions par rapport à dt, nous trouverons
rfi>
d’où, en intégrant et observant que* pour / = O, on doit avoir t) =
k , Vn k . V k , kva — kv
t = - arc (ang -p arc tang 7 = - arc tang -r-S
g kg kg ® A‘ + Wo
Cette équation étant résolue par rapport à v, nous donnera
9^ 1 ■ Qi
Vq cos k sin ^
k cos + Vq sin ^
Mettant la place de v, multipliant de part et d’autre par
dt, intégrant et déterminant la constante par la condition que pour f =0 on ait a; = 0, nous trouverons
k' , / gt , «0 ■ 9>\ x = -/.(cos- + -^sm
Telle est l’équation finie du mouvement ascendant que nous nous étions proposé de déterminer. Le mobile se mouvra conformément à cette équation, tant que sa vitesse sera dirigée de bas en haut, c’est-à-dire tant que t sera inférieur à la valeur pour laquelle l’expression précédente de la vitesse i; s’annule. Mais quand t aura atteint cette valeur particulière qui est
, k . Vn
I = -arctang^,
le mobile cessera de s’élever, et alors il redescendra, en se mouvant suivant la loi que nous avons trouvée précédemment.
m LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.
pour le cas d’un corps qui tombe dans l’air sans vitesse initiale.
La question qui vient d’être traitée dans tout ce paragraphe nous fournit un exemple d’un mouvement dans lequel la force n’est pas toujours représentée par la même expression analytique.
§ 109. Houvemenl curviligne dTiin point mutérlel.
— Si la direction de la force qui agit sur un point matériel ne reste pas constamment la même, ou bien si, cette direction étant constante, le mobile a reçu une vitesse initiale dirigée autrement que la force qui agit sur lui, le mouvement est curviligne.
11 est aisé de reconnaître que le mouvement s’effectue dans un plan : 1° lorsque la force qui agit sur le point matériel reste constamment parallèle à un plan fixe, et que sa vitesse initiale est également parallèle à ce plan ; 2“ lorsque la force est toujours dirigée vers un point fixe, quelle que soit d’ailleurs la direction de la vitesse initiale du mobile. Pour s’en rendre compte, il suffit de substituer à l’action continue de la force une action intermittente, comme nous l’avons déjà fait (§ 90), et d’examiner successivement les divers changements de direction que la vitesse du mobile éprouve chaque fois que la force exerce son action sur lui. En appliquant le principe du§ 89, on reconnaît que les vitesses dont le mobile est animé, avant et après chacune de ces actions de la force, sont dirigées dans un plan passant par la direction de la force même. Il s’ensuit que, dans chacun des deux cas indiqués ci-dessus, et dans l’hypothèse d’une force agissant par intermittence, le mobile parcourt un polygone qui se trouve situé tout entier dans un plan. Si l’on se rapproche ensuite peu à peu de la réalité, en admettant que les actions successives de la force soient de plus en plus rapprochées les unes des autres, on voit que les côtés de la trajectoire polygonale du mobile deviennent de plus en plus petits, sans que le polygone cesse d’être contenu tout entier dans un même plan, et à la limite, lorsque l’action intermittente de la force se confond avec une action continue, la trajectoire polygonale devient une trajectoire courbe dont tous les points se trouvent encore dans un même plan.
ÉQ. ET MOUV. d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. U3
D’après ce qui a été dit précédemment (§§ 95 et 98), de quelque manière que la force F qui agit sur le point matériel change de grandeur et de direction avec le temps, l’accélération totale du mouvement du point est à chaque instant dirigée suivant la direction de la force ; et la grandeur de cette accélération totale est liée à la valeur de la force F par la relation
F = mj,
m étant la masse du point matériel dont il s’agit.
§ HO. Force tangentleUe, force ceotripète. — Si
l’on décompose l’accélération totale y, dans le mouvement du point matériel soumis à l’action de la force F, en deux composantes dirigées, l’une suivant la tangente à la trajectoire du mobile, l’autre suivant son rayon de courbure, on trouve deux accélérations dont les valeurs sont
fi» V*
dt P *
et que nous avons désignées précédemment sous les noms d’accélération tangentielle et d’accélération centripète (§73). Décomposons de môme la force F en deux composantes F„ F„ dirigées suivant les mêmes droites. Le parallélogramme qui servira à faire cette décomposition sera évidemment semblable à celui qui sert à faire la décomposition de l’accélération totale ; puisque les directions des côtés et des diagonales de ces deux parallélogrammes sont les mêmes : donc il existera, entre les deux composantes F,, F, de la force F, et les composantes correspondantes de l’accélération totale y, le môme rapport qu’entre la force F elle-même et cette accélération totale. Ainsi on aura
La force F„ qui est la projection de la force F sur la tangente à la trajectoire du mobile, se nomme la force tangentielle. La force F„ projection de la force F sur la direction du rayon de courbure de cette trajectoire, se nomme la force centripète.
D’après les valeurs que nous venons de trouver pour ces
]ki LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.
deux composantes de la force F, on voit que le changement de grandeur que la vitesse du mobile éprouve avec le temps est uniquement dû à la force tangentielle ; en sorte que, si cette force tangentielle était constammentnulle, c’est-à-dire si laforce F était toujours normale à la trajectoire, la vitesse du mobile ne varierait pas, et le mouvement serait uniforme. De même le changement de direction de la vitesse du mobile est uniquement dû à la force centripète : c’est-à-dire que, si laforce F était à chaque instant dirigée suivant la direction de la vitesse du mobile, ou, en d’autres termes, suivant la tangente à la trajectoire qu’il décrit, cette trajectoire serait nécessairement une ligne droite.
§111. Projection du mouvement aur un plan fixe. — Lorsqu’un point matériel se meut dans l’espace, en vertu d’une vitesse initiale, et sous l’action d’une force qui lui est appliquée, il est souvent utile d’étudier la projection de son mouvement sur un plan fixe. Nous avons déjà vu que la vitesse et l’accélération totale dans le mouvement projeté, sont les projections de la vitesse et de l’accélération totale du mobile dans l’espace (§§ 12 et 74). Si nous tenons compte maintenant de la liaison qui existe entre la force qui agit sur un point matériel et l’accélération totale du mouvement de ce point, nous arriverons à une conséquence importante.
Soient F la force qui agit sur le point matériel,»» la masse de ce point, et y l’accélération de son mouvement; nous savons que F et j ont la même direction, et qu’en outre on a
F = mj.
Si F' et sont les projections de F et de / sur un plan fixe, ces deux projections seront dirigées suivant une même droite, et de plus le rapport de F' à F sera le même que celui de / à j : donc on aura aussi
On en conclut nécessairement que le mouvement du mobile, projeté sur le plan fixe, n’est autre chose que le mouvement que prendrait dans ce plan un point matériel de masse m, sous l’action de la force projetée F’, ce point ayant reçu une vitesse
ÉQ. ET MOUV. d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. H 5
initiale égale à la projection de la vitesse initiale du mobile de l’espace.
Cette proposition est vraie de quelque manière que les lignes projetantes soient dirigées par rapport au plan de projection.
§112. Projection dn mouvement sur une droite flve. — Ce que nous venons de dire pour la projection d’un mouvement sur un plan fixe, nous pouvons le répéter pour la projection de ce mouvement sur une droite fixe.
Nous savons déjà que la vitesse et l’accélératiou dans le mouvement projeté sont les projections de la vitesse et de l’accélération totale dans le mouvement que l’on projette (§§ 13 et 75). Eu raisonnant comme nous l’avons fait il n’y a qu’un instant (§111), nous trouverons en outre que le mouvement projeté est précisément celui que prendrait sur la droite fixe un point matériel de même masse que celui qui se meut dans l’espace, s’il était constamment soumis à l’action de la force projetée,, et qu’il eût reçu primitivement une vitesse égale à la projection de la vitesse initiale du mobile de l’espace.
Ce résultat est vrai, de quelque manière que s’effectue la projection du mouvement sur la droite fixe, et convient en particulier au cas où la projection est orthogonale.
§ 113. Théorèmes reladfn aux quantllëa de mouvement. — Dans le mouvement rectiligne d’un point matériel de masse m soumis à l’action d’une force F, on a
puisque l’accélération j a pour valeur— . Si l’on multiplie les deux membres de cette relation par dt, on trouve mdv = Frf/,
d’où en intégrant entre les limites 0 et f du temps, et désignant par eja valeur de v correspondant à < = 0:
mv — rntj
Frf/.
Le produit mv se nomme la quantité de mouvement du mobile.
L’intégrale J* F dt se nomme Vimpuhion de la force F, pendant
le temps auquel cette intégrale se rapporte ; Ydt est Vimpuhion élémentaire de la force. Les deux dernières équations qui viennent d’ôtre écrites peuvent donc s’énoncer de la manière suivante : 1° l’accroissement (mrft;) qu’éprouve la quantité de mouvement du mobile pendant l’élément dt du temps, est égal à l’impulsion élémentaire de la force F pendant ce temps ; 2* l’accroissement total {mv — mv^ de la quantité de mouvement du mobile pendant un temps fini quelconque f, est égal à l’impulsion de la force F, pendant ce temps t.
Si l’on considère un point matériel se mouvant d’une manière quelconque dans l’espace, et qu’on projette son mouvement sur une droite fixe, on peut appliquer au mouvement projeté ce qui vient d’être dit d’un mouvement rectiligne. Ainsi l’accroissement qu’éprouve la quantité de mouvement projetée, pendant un intervalle de temps quelconque, infiniment petit ou fini, est toujours égal à l’impulsion de la force projetée pendant le même intervalle de temps. Nous entendons ici par quantité de mouvement projetée, à un instant quelconque, le produit de la masse du mobile par la projection de la vitesse dont il est animé à cet instant.
Dans le cas d’un mouvement curviligne, la force tangentielle étant désignée par F,, on a (§110)
Cette relation nous conduit aux deux suivantes :
mdv = Fjrfl, mv — mi-j — J' ‘ Firfl.
On peut donc dire encore, dans ce cas, que l’accroissement de la quantité de mouvement du point matériel, pendant un temps quelconque infiniment petit ou fini, est égal à l’impulsion de la force tangentielle pendant ce temps.
ÉQ. ET MOUV. D’L'N POINT MATÉRIEL LIBRE. 1*7
L’intégrale Frf/, à laquelle nous donnons le nom d’impulsion de la force F, peut se calculer rigoureusement, ou bien se déterminer approximativement à l’aide des méthodes de quadrature, lorsque la force F est connue en fonction du temps /. Lorsqu’il n’en est pas ainsi, c’est-à-dire lorsque F est donné en fonction de certaines quantités qui sont des fonctions inconnues du temps /, telles que la vitesse du mobile, sa distance à un point fixe, etc., on ne peut plus trouver à priori la valeur de
l’intégrale Frf/; ce n’est qu’après qu’on aura trouvé les lois
du mouvement, que la force F pourra être exprimée explicitement en fonction de /, et qu’on sera en mesure de calculer l’intégrale y** Frf/ . mais cette intégrale n’en doit, pas moins être
considérée tout d’abord comme ayant une valeur entièrement déterminée, et cela lors même que des difficultés d’analyse s’opposeraient à ce qu’on pût arriver à en effectuer ultérieurement le calcul complet .
§ 144. Pour arriver à un autre théorème relatif aux quantités de mouvement, considérons d’abord un mouvement s’effectuant tout entier dans un plan. L’accélération totale /, dans ce mou-
vement, est constamment égale à - , et la direction de cette
accélération totale est la même que celle de la force F qui la produit. La vitesse acquise par le point matériel, pendant le
temps rf/, étant égale à jdt (§ 70), aura donc pour valeur -rf/.
Cela posé, soit MN, fig. 57, laligne qui représente la vitesse v du point matériel à la fin du temps /, et MP une ligne égale et parallèle à celle qui représente sa vitesse tf à la fin du tenips/-f rf/; MQ, égale et parallèle à NP,est la vitesse acquise par ce nnint r:i. »/.
pendant le temps rf/. La vitesse MP
ou i' est la résultante des vitesses MN ou i», et MQ ou - rf/. Or,
si l’on se reporte à la proposition fondamentale de la théorie des moments des forces agissant sur un même point (§ 101), et si l’on observe que la composition des vitesses s’effectuant absolument de la même manière que la composition des - forces, la même proposition fondamentale peut s’appliquer aux vitesses simultanées d’un point et à leur résultante, on pourra énoncer le théorème suivant : Le moment de la vitesse résultante i/ par rapport à un point quelconque 0 du plan dans lequel s’effectue le mouvement, est égal à la somme des mo-
ments des vitesses v et- dt, par rapport à ce point. Nous nommons, bien entendu, moment d’une vitesse par rapport au point 0, le produit de cette vitesse par la distance du point 0 à sa direction. Ainsi, en désignant par p, p', p" les distances du point 0 aux directions des lignes MN, MP, MQ, nous aurons
v'p' = l’ü H — di, r ^ ' rn ^
On en déduit
mv' . p' — mv . p = Fdl . pf',
équation qui exprime que l’accroissement du moment de la quantité de mouvement du point matériel par rapport au point 0, pendant le tempsrf^, est égal au moment de l’impulsion élémentaire de la force F, pendant ce temps rff, pris par rapport au même point 0. Nous désignons encore .lici sous les noms de moment de la quantité de mouvement mv, moment de l’impulsion élémentaire Vdt par rapport au point 0, les produits de muet de Ydt par les distances du point 0 aux directions de la vitesse v et de la force F. Enfin, si nous ajoutons membre à membre les équations auxquelles cet énoncé correspond, et qui se rapportent à une série d’éléments successifs du temps, nous arriverons au théorème suivant :
L’accroissement total qu’éprouve le moment de la quantité de mouvement du point matériel par rapport à un point du plan de sa trajectoire, pendant un intervalle de temps quelcon-
ÉQ. ET MOUY. d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. 149
que, est égal à la somme des moments, par rapport à ce point, des impulsions élémentaires de la force correspondant aux divers éléments de ce temps.
Ce théorème, qui vient d’étre établi pour le cas où un point matériel se meut dans un plan, convient évidemment à la projection d’un mouvement quelconque sur un plan fixe. On peut donc dire que, de quelque manière qu’un point matériel se meuve dans l’espace sous l’action d’une force, si l’on projette son mouvement sur un plan fixe, l’accroissement total qu’éprouve le moment de la quantité de mouvement projetée par rapport ù un point du plan de projection, pendant un temps quelconque, est égal à la somme des moments, par rapport à ce point, des impulsions élémentaires de la force projetée correspondant aux divers éléments de ce temps.
§ 115. Théorème de«alrea. — Dans lecas d’un mouvement qui s’effectue tout entier dans un plan, si la direction de la force F passe constamment par un point O de ce plan, le moment de l’impulsion élémentaire Ydt de la force F par rapport à ce point O sera toujours nul : donc, d’après le théorème du§ 114, le moment mv.p de la quantité de mouvement du mobile par rapport à ce point O ne changera pas de valeur avec le temps. La quantité ^vdt .p, que l’on obtient en multipliant mu. p ^ variera donc pas non plus, si l’on
regarde dl comme constant. Mais celte quantité jurf/.pest précisément la mesure de la surface du triangle formé par les rayons vecteurs menés du point O aux deux positions que le mobile occupe à la fin du temps r et à la fin du temps t -j-c/f, et par l’élément vdt de trajectoire compris entre ces deux positions : donc les aires décrites, pendant des éléments de temps successifs et égaux, par le rayon vecteur qui joint le mobile au point O, sont égales entre elles. On en conclut que l’aire totale décrite par ce rayon vecteur pendant un temps quelconque est proportionnelle à ce temps. C’est dans cette proposition que consiste le théorème des aires.
Ce théorème ne suppose rien sur la manière dont la grandeur
de la force appliquée au mobile varie avec le temps ; la condition que la direction de cette force passe toujours par un même point du plan dans lequel le mobile se déplace eSt seule nécessaire pour que le théorème ait lieu. Si cette condition est remplie, peu importe que la force varie d'une manière continue ou discontinue, qu’elle agisse toujours dans le même sens, ou qu’elle change brüsquement de sens; les aires décrites par le rayon vecteur qui joint le point mobile au point par lequel passe constamment la direction de la force, sont toujours proportionnelles aux temps employés à les décrire.
Il est aisé devoir que, réciproquement, si le mouvement d’un point matériel s’effectue dans un plan, de telle manière que le rayon vecteur, qui joint ce point mobile à un point fixe O du plan, décrive des aires proportionnelles aux temps employés à les décrire, la force qui agit sur le point matériel reste toujours dirigée vers ce point O. En effet, s’il en était autrement, le moment de l'impulsion élémentaire de cette force, par rapport au point O, ne serait pas constamment nul ; le moment de la quantité de mouvement du mobile par rapport au même point O changerait donc de valeur avec le temps (§114); et par suite l’aire élémentaire | vit .p, qu’on obtient en multipliant le moment mv . P ie la quantité de mouvement par^ > varierait d’un
instant à un autre, pour une même valeur de dt, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Si l’on considère le mouvement d’un point dans l’espace, et qu’on projette ce mouvement sur un plan fixe, tout cp qui vient d’être dit peut s’appliquer au mouvement projeté. Le théorème des aires a lieu pour ce mouvement projeté, si la projection de la force est constamment dirigée vers un même point O du plan de projection; c’est-à-dire si la force appliquée au' point mobile [dans l’eëpace se trouve à chaque instant dans un plan passant par une parallèle aux lignes projetantes menée par le point 0.
§ 116. Théorème des forces vives. — Reprenons la relation
ÉQ. ET MOUV. d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. 151
dans laquelle Fi désigne la composante tangentielle de la force F appliquée au point matériel de masse m. Si nous multiplions le second membre par le chemin d$ que le mobile parcourt sur sa trajectoire pendant le temps rff, et le premier membre par la quantité égale vdt, nous trouverons
mvdv = Fjrfi;
d’où, en intégrant entre des limites correspondant à deux positions particulières du mobile,
mt)* — mi)(* = 2 / *
vo est la vitesse dont le mobile est animé lorsqu’il occupe la position pour laquelle l’arc s de sa trajectoire qui le sépare d’un point fixe a pour valeur «*.
Le produit mo® de la masse d’un point matériel par le carré de sa vitesse, se nomme la force vive de ce point. L’intégrale
FjÉ?*, dans laquelle entre la force ï,, projection de la force F
surla tangente à la trajectoire, se nomme le travail de la force F pendant le temps que le mobile emploie à passer de l’une à l’autre des deux positions correspondant aux deux limites de cette intégrale. L’élément Fjrf* de cette intégrale est le travail élémentaire de la force F pendant l’élément de temps dt.
A l’aide de ces définitions, nous pouvons énoncer de la manière suivante le théorème auquel correspond l’équation ci-dessus : l’accroissement de la force vive d’un point matériel, en mouvement sous l’action d’une force F, pendant un intervalle de temps quelconque, est égal au double du travail de la force F pendant ce temps. C’est en cela que consiste le théorème des forces vives, dans le cas du mouvement d’un point matériel.
Ce que nous avons dit à la fin du § 113, relativement à l’intégrale qui représente l’impulsion de la force appliquée à un point matériel, peut s’appliquer à la nouvelle intégrale que nous ve-
iii LIVRE II. — DYNAMIQUE. l'REMIÈRE PARTIE.
nons de considérer et qui représente le travail de la force. Dans le mouvement d’un point matériel soumis à l’action d’une force quelconque, . cette intégrale, prise entre deux positions quelconques du mobile sur sa trajectoire, a une valeur entièrement déterminée, quelles que soient d’ailleurs les difficultés qui puissent se présenter lorsqu’on cherche à en effectuer le calcul.
§ H7. Travail dea force*. — Au point de vue de la détermination des lois du mouvement d’un point matériel sous l’action d’une force donnée F, dont la composante tangentielle est F,, la relation
trouvée dans le § 113, et la relation
mu* — mVf^ = 2 I Fids
à laquelle nous venons de parvenir (§ 116), ont le môme degré d’importance. L’une et l’autre peuvent également servir à faire connaître la loi suivant laquelle varie la vitesse du mobile sur sa trajectoire; on sera guidé, dans chaque cas particulier, pour prendre une de ces deux relations de préférence à l’autre, par la facilité plus ou moins grande que l’on trouvera à calculer l’une ou l’autre des intégrales qui y entrent.
Mais, dans les applications de la Mécanique aux machines, il n’en est plus de même. La seconde des deux relations dont il s’agit acquiert une importance beaucoup plus grande que la première. Cela tient à ce que le travail de la force F, représenté par l’intégrale qui entre dans cette seconde relation, joue un très-grand rôle dans ce genre d’applications, ainsi que nous l’expliquerons plus tard. Nous allons établir dès maintenant, sur le travail, des forces, certaines propositions qui nous seront utiles dans, a suite.
Nous avons donné le nom de travail élémentaire de la force F au produit F,rfs de la force tangentielle F, par l’élément de trajectoire ds. Si a est l’angle compris entre la direction de la
ÉQ. ET MOUV. d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. 153
force F et celle de la tangente îi la trajectoire, au point M où se trouve le mobile, fig. 58, on a
Fj = F cos a ;
et si l’on a soin de prendre toujours pour o l’angle formé par la partie MT de la tangente qui est dirigée dans le sens du mouvement, avec
la droite MA menée dans la direction
de la force F, à partir du point M, et dans le sens dans lequel la force agit, le signe de la valeur F cos a que nous venons d’assigner à la force tangentielle F, sera toujours le môme que celui qui résulte de l’autre expression m ^ de cette force tangentielle : la force F, sera positive
ou négative, suivant que l’angle a sera aigu ou obtus, c’est-àdire suivant que cette composante F, de la force F sera dirigée dans le sens du mouvement ou en sens contraire. Cela posé, on aura pour le travail élémentaire de la force F, la valeur suivante :
T^ds = F cos a . ds.
Ce travail élémentaire est donc le produit de l’élément ds de la trajectoire par la projection F cos a de 1a force F sur la direction de cet élément, ou bien encore, c’est le produit de la force F par la projection cosa . ds de l’élément de trajectoire sur la direction de la force. Celte seconde manière d’envisager le travail élémentaire de la force F est celle dont nous ferons le plus d’usage. La projection cosa . ds de l’élément ds sur la direction de la force est ce qu’on nomme le chemin parcouru par le point d’application de la force, estimé suivant sa direction. Le travail élémentaire de la force est positif ou négatif, suivant que cette projection de ds est dirigée dans le sens de la force F ou en sens contraire; parce que, dans le premier cas, l’angle a est aigu, et que, dans le second cas, il est obtus. Lorsque l’angle a est droit, le travail élémentaire de la force F est nul.
Dans les applications de la Mécanique aux machines, on
donne habituellement le nom de travail moteur à un travail positif, et de travail résistant à un travail négatif.
Ckmsidérons plusieurs forces appliquées à un même point matériel, ainsi que la résultante de ces forces. Si le point sur lequel elles agissent se déplace d’une quantité infiniment petite e, suivant une direction quelconque, chacune d’elles donnera lieu à un travail élémentaire qu’on obtiendra en multipliant e par la projection de la force sur la direction de ce déplacement. Mais nous savons que la projection de la résultante sur cette direction est égale à la somme des projections des composantes sur la même direction (§ 100) : donc, si l’on multiplie ces diverses projections de la résultante et des composantes par le déplacement e, on trouvera que le travail élémentaire de la résultante est égal à la somme des travaux élémentaires des composantes.
§118. Le travail total d’une force, pendant que le pointeur lequel elle agit parcourt un arc quelconque de sa trajectoire, est égal à la somme des travaux élémentaires de cette force correspondant aux divers éléments dont se compose le chemin parcouru par le point mobile.
Si une force constante F agit sur un point matériel en mouvement, et est toujours dirigée suivant la tangente à la trajectoire de ce point, son travail élémentaire, correspondant à un élément de temps quelconque, aura pour valeur Fd*; et, par suite, le travail total de cette force, pendant un temps quelconque, sera égal au produit de la force F par la longueur de l’arc décrit par le mobile pendant ce temps. Le travail sera positif ou négatif, suivant que la force agira dans le sens du mouvement ou en sens contraire.
Si une force constante F, appliquée à un point matériel en mouvement, agit toujours parallèlement à une même droite fixe, son travail élémentaire pendant que le mobile parcourt un élément ds de sa trajectoire, sera égal au produit de la force F par la projection de ds sur la droite fixe : le travail total de cette force, pendant que le mobile parcourt un arc quelconque de sa trajectoire, sera donc égal au produit de la force F par la projection de cet arc total sur la droite fixe. On voit que, dans ce cas,
ÉO. ET MOOV. d’un point MATÉRIEL LIBRE. 155
le travail total de la force F restera le même, de quelque maoière que le point mobile aille d’un point déterminé de l’espace à un autre point aussi déterminé, c’est-à-dire quelle que soit la forme de la trajectoire qu’il décrira entre ces deux points. Lorsqu’un point matériel pesant se déplace d’une manière quelconque, le travail développé pendant un certain temps par la force de la pesanteur qui agit sur ce point, s’obtient en multipliant cette force, c’est-à-dire le poids du point matériel, par la distance des plans horizontaux menés par les positions qu’il occupe au commencement et à la fin de l’intervalle de temps que l’on considère.
En général, la détermination du travail d’une force correspondant, à un déplacement fini de son point d’application, ne s’effectuera pas aussi simplement que dans les deux cas particuliers dont nous venons de nous occuper. On trouvera la valeur de l’intégrale définie qui représente ce travail, soit en cherchant l’intégrale indéfinie de l’expression F cos «. d», pour y substituer ensuite les limites entre lesquelles on veut en trouver la valeur, soit en se servant des méthodes de quadrature approximative.
Si plusieurs forces agissent simultanément sur un même point matériel en mouvement, le travail de la résultante de ces forces, pendant un temps quelconque, est égal à la somme des travaux des composantes; puisque cette égalité a lieu pour chacun des éléments dont se compose le déplacement total du point soumis à l’action des forces (§ 117).
Un travail, défini comme nous l’avons fait, est le produit d’une force par une longueur. Si nous prenons le kilogramme pour unité de force, et le mètre pour unité de longueur, l’unité de travail sera entièrement déterminée; ce sera le travail développé par une force constante de 1 kilogramme, lorsque son point d’application se déplace de 1 mètre suivant sa direction : cette unité de travail se nomme kilogrammètre,
§119. Cas particulier d u tliéort^me des forces m’ives. — Soient X, y, z, les coordonnées rectangulaires d’un point mobile à un instant quelconque; et X, Y, Z, les forces parallèles
aux axes coordonnés, dans Jesquellcs se décompose la force F appliquée à ce point. Le travail élémentaire de la force F, correspondant au déplacement inQnimcnt petit di du point sur lequel elle agit, est égal à la somme des travaux élémentaires de ses composantes X, Y, Z(§ 117). Maisle travail élémentaire delà force X s’obtient en multipliant cette force par la projection de ds sur sa direction, projection qui n’est autre chose que dx, et il en est de môme des travaux élémentaires des forces Y, Z, qu’on trouve en multipliant respectivement ces forces par dy et dz : donc le travail élémentaire de la force F a pour valeur
Xrfx + Yrfÿ + tdz.
Ainsi l’équation des forces vives, trouvée dans le § 116, peut toujours s’écrire de la manière suivante :
mu* — mu,* = 2 / (X*: + Yrf y+ Zrfr),
l’intégrale du second membre étant supposée prise entre les limites correspondant aux positions du mobile pour lesquelles sa vitesse a les valeurs et v.
Cela posé, admettons que les composantes X, Y, Z, de la force F soient des fonctions connues des coordonnées x, y, z du mobile, et que la quantité
Xdx + \dy + Zdz
soit la différentielle exacte d’une certaine fonction de ces coordonnées, que nous désignerons par
Soient z„les valeurs de x, y, z, correspondant à la position qu’occupe le point mobile lorsque sa vitesse est v^. Dans l’hypothèse où nous nous plaçons, l’équation des forces vives devient
»«i;« — mV = 2[/{x, y, z) — f{x^, y^, z,)].
Si nous considérons l’équation
C étant une constante quelconque , nous voyons que, pour
ÉQ. ET MOUV. d’üN POINT MATÉBIEL LIBRE. 157
chaque valeur attribuée à C, cette équation représente une surface. Les diverses surfaces que l’on obtient ainsi, en donnant à C autant de valeurs différentes qu’on voudra, se nomment iurfaces de niveau (nous verrons plus tard d’où vient cette dénomination). L’équation des forces vives montre que, si le point mobile traverse plusieurs fois une même surface de niveau, il se trouvera chaque fois animé de la même vitesse, puisque, pour tous les points d’une pareille surface, f {x, y, z) a la même valeur. Il faut dire cependant que ce résultat est sujet à quelques exceptions, qui se présentent lorsque les diverses surfaces de niveau se coupent mutuellement, et auxquelles nous ne nous arrêterons pas (*).
L’équation différentielle d’une quelconque des surfaces de niveau est
Xrfj + \dy + l'!z = 0.
Cette équation montre que, dans chacune des positions qu’occupe successivement le point mobile, la force F à laquelle il est soumis, ^st dirigée normalement à la surface de niveau qui passe par ce point : car dx, dy, dz sont proportionnels aux cosinus des angles qu’un élément rectiligne quelconque tracé sur la surface, à partir de ce point, fait avec les trois axes coordonnés, et X, Y, Z sont également proportionnels aux cosinus des angles que la force F fait avec ces axes.
Considérons maintenant deux sur- n
faces de niveau infiniment voisines MN, M'N', fig. 59, et supposons que le point mobile vienne successivement les traverser plusieurs fois chacune pendant la durée de son mouvement. Toutes les fois que ce point se trouvera sur la surface MN, il y aura une même vitesse, et il en sera de même toutes les fois qu’il viendra se placer sur la surface M'N': sa force vive variera donc toujours de la même
(*) Voir Bur ce sujet un mémoire de M. J. Bertrand, Inséré dans le Vingthuilième cahier du Journal de I École Polytechnique.
quantité, chaque fois qu’il passera de la première surface à la seconde, et par conséquent le travail de la force F pendant ce déplacement indniment petit aura toujours la même valeur. Mais lorsque le point mobile va de a en é, le travail élémentaire de F est égal à F X oc, oc étant la projection de ah sur la force F qui est normale à la surface MN, et par conséquent mesurant la distance des deux surfaces MN, M'N' au point o. On voit par là que les diverses valeurs de la force F, lorsque le point mobile passe de la surface MN à la surface M'N', sont inversement proportionnelles aux distances normales ac des deux surfaces, aux points où s’effectuent ces passages.
§ 120. La condition que Xt/x -|- Yrfy-f- Zrfz soit une différentielle exacte, se trouve remplie dans le cas où la force F qui agit sur le mobile est constante en grandeur et en direction. Si l’on choisit les axes coordonnés de manière que l’axe des 2 soit parallèle à la direction de la force F, X et Y seront nuis, et Z sera égal à F; Xcfx -f- Xdy ’Ldz se réduira donc à ¥dz, et l’équation des surfaces de niveau sera
Fi = C :
ces surfaces seront donc des plans parallèles entre eux et perpendiculaires à la direction constante de la force F. On en trouve une application dans le mouvement d’un corps soumis à la seule action de la pesanteur, lorsque ce mouvement s’effectue dans un espace assez restreint pour que cette action de la pesanteur puisse être regardée comme ayant partout la môme grandeur et la même direction : dans ce cas les surfaces
de niveau sont des plans horizontaux.
Considérons encore le cas où la force F, appliquée à un point matériel en mouvement, est constamment dirigée vers un point fixe 0, fig. 60, et où la grandeur de cette force dépend uniquement de la distance OM ou r du mobile M à ce point fixe, en sorte qu’on a
ÉQ. ET MOUY. d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. 159
Le travail élémentaire Xrfx + Ydy + Zdz de la force F, pendant que le mobile va de M en M', est égal à F X MN, ou, ce qui est la même chose,
f[r)dr.
Cette quantité étant toujours la différentielle d’une certaine fonction de r, et r dépendant de x, y, z, en vertu de la relation
il s’ensuit que, dans le cas dont il s’agit, Xrfx-|- ^dy -j- Zdz est la différentielle exacte d’une certaine fonction de x, y, z. Dans ce cas, les surfaces de niveau sont évidemment des surfaces sphériques ayant toutes le point 0 pour centre.
§ 121. Équations dlICérentlelles du monventent d'un point matériel. — Si l’on rapporte le mouvement d’un point matériel à un système d’axes coordonnés rectilignes, rectangulaires ou obliques, ce mouvement est complètement connu lorsque l’on connaît ses projections sur chacun des axes coordonnés. Or, nous savons que chacun de ces mouvements projetés est précisément le mouvement rectiligne que prendrait un point matériel de même masse que celui dont il s’agit, s’il ftait soumis à l’action de la force projetée, et s’il avait reçu une vitesse initiale égale à la projection de la vitesse initiale du mobile de l’espace (§ 112). Soient donc m la masse du point matériel dont on veut étudier le mouvement, x, y, z, les trois coordonnées'de ce point è un instant quelconque, et X,Y,Z, les forces parallèles aux axes suivant lesquelles se décompose la force F appliquée au mobile. Les équations différentielles des mouvements projetés sur les trois axes seront (§ 105) :
Ces trois équations sont désignées collectivement sous le nom
d’équations différentielles du mouvement du point matériel. Si l’on parvient à les intégrer de manière à en déduire les valeurs de X, y, Z, en fonction du temps t, le mouvement du mobile se trouve complètement connu. L’intégration de ces trois équations différentielles, dont chacune est du second ordre, introduit six constantes arbitraires ; on détermine ces constantes d’après les circonstances initiales du mouvement, en exprimant, par exemple, que les coordonnées x, y, z du mobile, et les projections
^ ^ ^ de sa vitbsse, sont égales à des quantités données, d( ’ dt dt
lorsque f=0.
Dans le cas où l’on sait à priori que le mouvement du point matériel s’effectue tout entier dans un plan, on peut rapporter ce mouvement à deux axes coordonnés tracés dans le plan dont il s’agit. Alors il n’y a plus que deux équations différentielles au lieu de trois. Si l’on désigne par x,y, les coordonnées du point mobile, et par X,Y, les forces parallèles aux axes coordonnés dans lesquelles se décompose la force appliquée à ce mobile, les équations différentielles du mouvement seront
”‘7ïïr = ^-
L’intégration de ces deux équations introduira quatre constantes, que l’on déterminera également d’après les circonstances initiales du mouvement. Nous allons en voir quelques exemples.
§ 122. ExempleM de mouvementa carvlllsnes. —
Mouvement parabolique des corps pesants. Prenons pour premier exemple le mouvement d’un corps pesant qu’on a lancé suivant une direction quelconque, et qui se meut ensuite sous la seule action de la pesanteur supposée constante en grandeur et en direction. Nous avons déjà vu que, dans de pareilles circonstances,le mobile décrit une parabole (§ 92) ; mais nous allons étudier ce mouvement plus en détail.
Fig. 61.
ÉQ. ET MOUV. d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. 161
Le mouvement s’effectue évidemment tout entier dans un plan vertical passant par la direction de la vitesse initiale du mobile (§ 109) ; nous pouvons donc le rapporter à deux ~ axes tracés dans ce plan. Nous prendrons le point de départ O du mobile pour origine, fig. 61 ; la verticale OY menée par ce point, pour axe des g; et l’borizontale OX pour axe des x. Nous supposerons, en outre, que les y positifs se comptent en sens contraire du sens dans lequel agit la pesanteur.
La force qui agit sur le mobile est constamment égale à mg (§98), m étant sa masse; cette force est toujours dirigée parallèlement à l’axe OY, et en sens contraire du sens dans lequel se comptent les y positifs. D’après cela, les équations différentielles du mouvement seront
Désignons par Ug la vitesse initiale du mobile, et par « l'angle que la direction OA de cette vitesse fait avec l’axe des x. Nous devons donner aux constantes qui seront introduites par l’intégration des équations précédentes, des valeurs telles que l’on ait
x = 0, ÿ = o, coso, — = Vg»inc>.,
pour t=0. Les intégrales de ces deux équations différentielles sont donc
X = I/o cosja , ^ y = t‘o sin a . / — { ÿt*»
dx
La valeur de x nous montre que ^ est constamment égal à
ICâ UVHE II. — DYNA.MIQUE. PHE.MIÉRE PAIITIE.
l’oCûsa ; donc la projection horizontale de la vitesse du mobile, prise à un instant quelconque, a toujours la même valeur.
Si l’on élimine t entre les deux équations qu’on vient de trouver, on obtient l’équation de la trajectoire, qui est
\j = lail^ a . X
2i'o* cob’ a
Ainsi, le mobile décrit une parabole du second degré, dont l’axe est vertical, et qui est tangente en O à la direction O.A de la vitesse initiale.
La portée OB du jet s’obtient en faisant ÿ = 0 dans l’équation de la trajectoire; on trouve ainsi
on = 2 siii a cos a = — sin 2a.
Cette portée est un maximum, pour une même vitesse initiale lorsque l’angle a est de 43 degrés. On trouverait de môme que la portée OC du jet, dans une direction quelconque OM, est un maximum pour une même vitesse initiale i>g, lorsque l’angle AOM est la moitié de l’angle YOM; pour y arriver, il suffit de prendre les lignes OY, OM pour axes coordonnés, au lieu des lignes OY, OX.
L’ordonnée DE du sommet de la parabole s’obtient en remplaçant X par ^ OB dans l’équation de la courbe ; cette ordonnée a pour valeur
DE = lÎ5-^sin*a.
La hauteur du jet, qui n’est autre chose que cette ordonnée, est un maximum, pour une même valeur de lorsque a est de 90 degrés, c’est-à-dire lorsque la vitesse initiale est dirigée suivant OY. Cette hauteur maximum du jet est égale à
elle est égale à la moitié de la portée maximum ^ suivant la direction horizontale OX.
Dans un jet d’eau en forme de gerbe, on peut regarder les diverses molécules d’eau comme lancées toutes avec une môme
ÉQ. ET MOUr. d’un POINT MATÉRIEL LIBRE. 163
vitesse, et dans des directions différentes, à partir d’un même point. Si l’on fait abstraction de la résistance de l’air, chaque molécule décrit une parabole, conformément à ce que nous venons de dire. Considérons celles de ces paraboles qui sont dans un même plan vertical; elles seront toutes représentées par l’équation ci-dessus, en y faisant simplement varier l’angle «, pour passer de l’uiie à l’autre. Si l’on cherche l’enveloppe de toutes ces paraboles, on trouve qu’elle a pour équation
c’est-à-dire que cette enveloppe est une parabole dont l’axe est dirigé suivant OY, dont la concavité est tournée du côté des y négatifs, et dont le foyer est en O : la surface à laquelle se termine l’ensemble de la gerbe formée des divers jets paraboliques, est donc un parabololde de révolution ayant cette parabole pour méridienne, et la verticale menée par le point de sortie des jets pour axe de figure. Si l’on considère toutes les molécules liquides qui sont lancées à un même instant dans des directions différentes, leurs positions, au bout d’un temps quelconque t compté à partir du commencement de leur mouvement parabolique, seront fournies par les équations
X = t>o C08 (X . I, y = l'o sin O . < — 5 ÿ(*,
dans lesquelles on donnera à l’angle a les diverses valeurs correspondant à chacune d’elles; si l’on élimine a entre ces équations, on trouve
-Hv -t- ï ff'V = '’o’t*.
équation d’un cercle dont le rayon est et dont le'* centre, situé sur l’axe des y, a pour ordonnée — \gt^ '■ donc ces molécules, lancées à un même instant, restent constamment sur la surface d’une sphère, dont le rayon croit proportionnellement au temps, et dont le centre s’abaisse au-dessous de l’origine commune des divers jets paraboliques, comme le ferait un corps pesant qui tomberait de ce point sans vitesse initiale.
. § 123. Mouvement d’un point matériel attiré vers un centre fixe, proportionnellement à sa distance à ce centre. — Ce mouvement s’effectue tout entier dans un plan qui passé par le centre d’attraction et par la direction de la vitesse initiale du mobile (§109). Nous le rapporterons donc à deux axes rectangulaires dirigés dans ce plan ; et nous ferons passer ces axes par le centre d’attraction lui-môme.
Soient m la masse du mobile, x, y ses coordonnées à un instant quelconque, et rsa distance à l’origine des coordonnées. La force qui lui est appliquée, et qui est dirigée vers cette origine, est par hypothèse proportionnelle à r .• nous la représenterons par
mk*r,
k étant une constante que l’on déterminera facilement, d’après la grandeur de la force correspondant à une valeur particulière de la distance r. Les cosinus des angles que la direction de cette force fait avec les axes coordonnés sont respectivement
ses composantes parallèles à ces axes sont donc
— rnk*x, — »ik*y,
en tenant compte du sens dans lequel chacune d’elles agit. D’après cela, les équations différentielles du mouvement sont
dt* ' rit*
Chacune de ces équations différentielles peut s’intégrer indépendamment de l’autre. Leurs intégrales sont
X = A cos AI + B sin kt, y‘= C cos kt + D sin kt,
A, B, C, D étant des constantes arbitraires, que l’on déterminera d'après les circonstances initiales du mouvement. Soient
io. et MOUV. d’on point matériel libre. 165 a, b les valeurs initiales de x et y, et a\ V les composantes de' la vitesse initiale du mobile suivant les axes coordonnés. On doit avoir
pour / = O : on en déduit
et par suite les équations finies du mouvement dont on s’occupe sont
x=a cosA/-f-4-sinA7, k
y ■= b M \ ^ sin kl.
Si l’on résout ces deux équations par rapport à sin kt et à cos Ar, et qu’ensuite on égale à 1 la somme des carrés des valeurs ainsi obtenues, on trouve
{b'x — n'y)* k*[bx — ny)* = [ab' — 4a')*,
équation qui représente une ellipse ayant son centre à l’origine des coordonnées, c’est-à-dire au centre d’attraction.
Le mouvement que nous obtenons ainsi n’est autre chose que le mouvement elliptique, auquel nous avons déjà été conduits en projetant un mouvement circulaire et uniforme sur un plan quelconque (§ 77) ; on se rappelle qu’en effet, dans ce mouvement elliptique, l’accélération totale est constamment dirigée vers le centre de l’ellipse, et proportionnelle à la distance du point mobile à ce centre.
§ 124. Mouvement d'un point matériel, sous l’action d’une force dirigée vers un centre fixe et variant en raison inverse du carré de la distance du point à ce centre. — Ce mouvement s’effectue encore tout entier dans un plan : nous le rapporterons donc à deux axes coordonnés rectangulaires tracés dans c«
plan. Nous prendrons également le centre d’attraction pour origine des coordonnées.
Si nous désignons la force qui agit sur le mobile à un instant quelconque par
Tî"
m étant la masse de ce mobile, r sa distance à l’origine, et p une constante qui dépend de l’intensité de la force, nous aurons
m\ix »i]i.v
pour les composantes de cette force suivant les axes : donc les équations différentielles du mouvement seront
— — Jff. pv , .
dt' 1-3 ’ rfl » i-i ■ ^ ’
Multiplions la première de ces équations par y, et la seconde par X ; puis retranchons la première de la seconde : nous trouverons
équation que l’on peut intégrer immédiatement, une première fois, et qui donne
rfv dx
C étant une constante arbitraire. Si nous passons des coordonnées rectilignes à des coordonnées polaires, en prenant l’origine pour pôle, et l’axe des x pour axe polaire, et que nous représentions par 6 l’angle que le rayon vecteur r fait avec l’axe des X, la relation que nous venons d’obtenir deviendra
rm = Odt. (6)
Nous aurions pu l’écrire immédiatement, d’après le théorème des aires (§ i 15) qui est applicable ici, car elle exprime que
