ABC ’ ABC ’ ABC

Si le nombre des points d’appui du corps avec le plan est supérieur à trois, il n’est plus possible de déterminer les pressions qu’il exerce en chacun de ses points d’appui, par la seule connaissance de la position que la verticale menée par son centre de gravité occupe par rapport à ces points ; on peut en effet trou-

ver une infinité de systèmes de forces parallèles et de môme sens appliquées à ces points d’appui, qui aient pour résultante le poids P du corps appliqué à son centre de gravité : on peut prendre arbitrairement les valeurs de ces pressions à l’exception de trois d’entres elles, sans toutefois dépasser certaines limites pour ces valeurs, et on en conclut facilement les grandeurs des trois pressions restantes, de manière que la résultante de toutes ces pressions soit égale au poidp du corps et soit dirigée suivant la verticale du centre de gravité. La môme difficulté se présente également lorsque le corps s’appuie par’ trois points situés sur une même ligne droite ; la détermination des pressions exercées par le corps en chacun de ces trois points d’appui ne peut pas s’effectuer par la seule connaissance du point où la verticale menée par le centre de gravité du corps rencontre la droite menée par ces trois points d’appui. Les pressions que le corps exerce sur le plan, aux divers points par lesquels il le touche, ne sont cependant pas indéterminées ; mais on ne peut les trouver qu’autant que l’on connaît la nature du corps pesant que l’on considère, que l’on sait quelle est la rigidité ou la flexibilité plus ou moins grande qu’il présente dans ses diverses parties, et que l’on sait également comment se comporte le corps à face plane et horizontale sur lequel il s’appuie sous l’action des pressions que ce second corps éprouve de la part du premier. La question que nous allons traiter dans le paragraphe suivant montrera comment cette connaissance de la nature des deux corps permet d’effectuer la détermination des pressions aux différents points par lesquels ils se touchent.

§ 207. Considérons un solide S, fig. 106, reposant sur un plan horizontal par une face plane rectangulaire AB, qui est représentée en vraie grandeur en abatb'. Supposons que la surface latérale du solide, dans le voisinage de la face d’appui AB, soit formée de plans perpendiculaires à cette face menés par ses quatre côtés ; et que le centre de gravité G du solide se trouve dans le plan vertical qui passe par les milieux »i, n des côtés aa\ bb' de la face d’appui. Supposons en outre que la surface plane sur laquelle le corps S repose présente une grande

Digilized by G()Ogle

rigidité, et reste plane malgré la légère dépression que le poids du corps lui fait subir; que le solide S soit partout également compressible sous l’action des forces qui peuvent lui être appliquées, du moins dans la partie qui avoisine sa face d’appui AL; enfinque,en raison de cette égale compressibilité, les molécules qui étaient primitivement dans un plan CD parallèle à la face AB et très-voisin de cette face, avant que le solide fût soumis aux pressions qu’il éprouve de bas en haut sur cette face d’appui, se trouvent encore dans un même plan CD', après la déformation que ces pressions lui ont fait subir. Prenons en particulier Fig- 106- dans le solide un prisme ver-

tical HL, à base infiniment petite eu s’étendant entre les plans -AB, CD, avant que le solide ait été déformé dans le voisinage de sa face d’appui ; ce prisme s’est raccourci, par suite des pressions qu’il éprouve à ses deux extrémités, et sa longueur, qui était primitivement HL, s’est réduite à HL' : LL' est donc la quantité dont sa longueur a diminué, et par conséquent on aura pour la pression p que la base inférieure o> de ce prisme éprouve de la part du plan d’appui (§ 196) :

Cette formule fournira les valeurs de la pression p que le solide éprouve sur les divers éléments w dans lesquels on peut concevoir que la face d’appui soit décomposée, pourvu qu’on y attribue à LL' la valeur qui convient à chacun de ces éléments ; quant aux quantités E et HL, elles ne varient pas, parce que d’une part, le solide est supposé également compressible dans toute l’étendue de sa faèe d’appui, et d’une autre part, les plans parallèles AB, CD, sont partout également distants. Toutes les

ÉQUILIBKE DES SOUDES NATURELS. 36»

pressions telles que p sont verticales et dirigées de bas en haut, et la résultante doit être égale et directement opposée au poids P du solide appliqué à son centre de gravité G. Ces pressions sont d’ailleurs proportionnelles aux produits <» . LL', dont chacun représente le volume de la portion du prisme HL qui est • comprise entre les plans CD, C'D'. Il est aisé d’en conclure que la résultante de ces pressions p passe par le centre de gravité de la tranche du solide comprise entre les plans CD, C'D', en supposant toutefois que cette tranche soit homogène ; et qu’en outre cette résultante a pour valeur le produit du volume de la

tranche CDC'D' par le facteur — ,

HL

Nous voyons par là que le solide S doit éprouver, sous l’action de son poids, une déformation telle que la verticale menée par son centre de gravité G passe par le centre de gravité du volume CDC'D' considéré comme un corps homogène ; et le.s pressions que ce solide éprouve sur les divers éléments égaux de sa face d’appui ÂB, sont proportionnelles aux portions des verticales menées par ces éléments qui sont comprises entre les plans CD, C'D'. Le centre de gravité G étant situé par hypothèse dans le plan vertical dont la trace horizontale est mn, il est aisé de voir que l’intersection des plans CD, C'D' doit être parallèle aux côtés ad, bU de la face d’appui du solide ; et le centre de 'gravité du corps homogène compris entre ces deux plans coïncide avec le centre de gravité du trapèze suivant lequel ce corps est coupé par le plan vertical mené par mn. On voit d’après cela que les pressions sont les mômes, pour les divers éléments égaux de la face d’appui qui sont situés sur une parallèle quelconque aux côtés aa', bb' de cette face ; et que, si l’on suppose que la verticale menée par le point G passe par un point O plus rapproché de bU que de ad, les pressions sur les éléments égaux de la face d’appui augmenteront constamment depuis le côté ad de cette face, jusqu’au côté bb'. Soient r et s les longueurs des côtés ab, ad de la face d’appui. La pression totale que supporte cette face étant égale à P, on a

— pour la pression moyenne rapportée à l’unité de surface, et

par conséquent P — pour la pression que supporte un élément

ta situé à égale distance des côtés aa', M'. D’après cela, il est aisé de voir que, pour un élément «o situé tout près de l’arête bb', la pression p, qui est plus grande que partout ailleurs, a pour valeur

r^■ EE'’

£E' étant la ligne qui joint les milieux des côtés non prrallèles dans le trapèze CDCD'.

Concevons maintenant que, par un changement de forme de la partie supérieure du solide, nous déplacions son centre de gravité G, sans le faire sortir du plan vertical mené par mn. Le trapèze CDC'D' devra changer de forme en même temps, de manière que son centre de gravité se trouve toujours sur la verticale menée par le point G. Si la projection horizontale O du centre de gravité G se rapproche du côté bU de la base, sans que le poids total P du solide change, le côté Dû' du trapèze doit augmenter, et le côté CG doit diminuer de la même quantité ; car il faut que le volume compris entre les plans CD, C'!/ reste le même, et par conséquent aussi la surface du trapèze CDGD', ce qui fait que la demi-somme EE' des côtés CC' et DD' doit conserver la même grandeur. Lorsque On ne sera plus que le tiers de ab, le côté CG du trapèze se réduira à zéro, et le trapèze se changera en un triangle dans lequel le côté DD' opposé au sommet C sera double de EE' ; alors la pression p supportée par un élément «> de la face d’appui situé tout près du

côté bV deviendra égale à 2P -.c’est-à-dire qu’elle sera double

rs

de la pression moyenne rapportée à un élément de môme étendue. Si la projection horizontale O du centre de gravité G se rapproche encore de bb', la ligne Giy, qui est venue précédemment passer par le point G, doit s’élever au-dessus de ce point C et s’abaisser encore au-dessous du point D ; cela indique que la pression tend à devenir négative dans le voisinage de l’arête

aa' de la face d’appui, c’est-à-dire à se changer en une traction. C’est ce qui arriverait en effet si la face d’appui était collée sur le plau sur lequel elle repose. Mais, comme cette face d’appui est simplement posée sur le plan, les choses ne peuvent pas se passer ainsi, le solide S ne peut éprouver que des pressions de la part du plan qui le supporte. Dans ce cas, les pressions ne s’exercent plus sur toute la surface du rectangle aba'l/ ; une portion de ce rectangle, située vers l’arête aa', n’est plus pressée en aucun de ses points ; et la portion restante, qui supporte la pression totale P, est un autre rectangle qui se trouve dans le cas où était le rectangle tout entier, lorsque On était égal au tiers de ab. Si nous nommons e la distance On devenue plus petite que le tiers de ab, 3 e et $ seront les deux côtés de la portion de la face abdb' qui s’appuie réellement sur le plan.

P^est la pression moyenne sur un élément w de cette sur-

face ; et 2P;^est la pression supportée par un élément w