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ou bien, en remplaçant le moment d’inertie Smr® par sa valeur { MR‘^ {§ 238),

flw 2F

Mais V doit être égal à Rw, puisqu’il y a roulement du cylindre sur le plan : on en déduit

O sin 9 — ,

^ M Al ’

d’où

P Mg sin f a

Le frottement que le cylindre éprouverait de la part du plan, s’il glissait au lieu de rouler, serait égal à /hlff cos ip, en désignant par f le coefficient de frottement ; la réaction F que le plan exerce sur le cylindre, quand il y a simplement roulement, ne pouvant pas être supérieure à ce frottement, il faut qu’on ait

c’est-à-dire

Mf/ sin 9

< filff C03 ? ,

tang ? < Sf.

Lorsque cette condition est remplie, le cylindre roule sur le plan , et l’on trouve les valeurs de u et de w au moyen des relations établies précédemment, dans lesquelles on remplace F par sa Mÿ sin P

valeur

Si l’on avait

tang 9 >

le cylindre ne roulerait pas sur le plan; mais il glisserait, et le frottement qu’il éprouverait le ferait également tourner autour de son axe. Fm désignant par F ce frottement, on aurait encore pour déterminer v et w, les équations

du F

(ir ~ MÏÏ’

seulement, au lieu de chercher la valeur de F de manière que l’on ait V — Rw, on devrait supposer

F = /"Mj C08 9.

Dans ce qui précède, nous avons négligé la résistance au roulement à laquelle le cylindre est soumis pendant qu’il roule sur le plan. Voici comment on pourrait en tenir compte. Cette ré-

sisiance au roulement, que nous pouvons assimiler à un couple {§ 255), n’influe pas directement sur le mouvement du centre de gravité du cylindre ; en sorte que, si la réaction tangentielle du plau sur le cylindre est toujours désignée par F, on aura encore

dv . F

Pour trouver l’équation du mouvement de rotation du cylindre autour de son axe, nous observerons que le moment du couple dont il vient d’être question peut être représenté par AMÿ cos ç, k étant une quantité qui dépend uniquement de la nature des surfaces qui se touchent; la somme des moments des forces extérieures par rapport à l’axe du cylindre est donc égale à

FR — kUlg cos ç ;

et. par suite, on a

rfto FR — /cMÿCosç 2F 2kg coB ç

HT ~ imr* “ ïiÏÏ Rï ’

En exprimant ensuite que v est égal à Rw, on trouve pour F la valeur

F=^(sin? x^cosç);

et, par conséquent, en tenant compte de cette valeur de F, on peut déterminer complètement v et m. On voit que, si la résistance au roulement n’agit pas directement pour modifier le mouvement du centre de gravité, elle n’en influe pas moins sur ce mouvement en raison de l’augmentation qu’elle fait subir à la réaction tangentielle F du plan sur le cylindre.

On voit que, lorsqu’un cylindre roule sur un plan incliné, dans les circonstances que nous venons d’indiquer, l’accélération du mouvement de son centre de gravité est plus petite que celle du mouvement d’un point matériel pesant, qui glisserait le long de ce plan sans en éprouver de frottement, et cela lors même que l’on ne tient pas compte de la résistance au roule-

ment. Cela tient à ce que la pesanteur détermine en même temps le mouvement de translation du cylindre le long du plan, et son mouvement de rotation sur lui-même. Le travail développé par la pesanteur, pendant que le centre de gravité du cylindre descend d’une certaine hauteur, doit produire non-seulement l’accroissement de force vive de la masse entière du corps supposé concentré à son centre de gravité, mais encore l’accroissement de force vive de ce corps dans son mouvement autour de son centre de gravité (§§ 230 et 235).