CHAPITRE IV

MOUVEIIEST DES FLUIDES.

§259. Équations dlirérentlellesdumouvement des fluides. — Lorsqu’un fluide est en mouvement sous l’action de diverses forces, ou peut lui étendre la notion que nous avons acquise relativement à la pression en un point quelconque d’une mas.se fluide en équilibre (§ 212). Cette notion repose essentiellement, il est vrai, sur l’hypothèse de la fluidité parfaite, hypothèse qui ne peut pas être admise complètement, quand il s’agit d’un fluide en mouvement; en effet, l’expérience prouve qu’il se développe un certain frottement dans le glissement des diverses parties d’un fluide les unes sur les autres, et que ce frottement est d’autant plus grand que la vitesse de glissement est ellemême plus grande ; mais on peut regarder les choses comme se passant de la même manière que s’il s’agissait d’un fluide parfait, et que le frottement qui se développe en réalité fût une force extérieure appliquée aux diverses molécules de ce fluide parfait.

D’après cela, on voit que l’on peut distinguer, en chaque point de l’espace occupé par un fluide en mouvement, et à un instant quelconque : 1' la pression qui a lieu en ce point, 2° la masse spécifique du fluide au même point, 3° enfin la vitesse de la molécule qui y est située. Si l'on rapporte les positions des divers points du fluide à trois axes coordonnés rectangulaires, la connaissance complète de la vitesse dont il vient d’être question suppose celle de ses trois composantes «, u^, t/„ parallèles aux

axes des x, des y et des z; de sorte qu’en y joignant la pression P et la masse spécifique p, cela fait cinq quantités dont on doit connaître les valeurs, pour que le mouvement du fluide soit copnu. Ces cinq quantités, considérées pour un même point de l’espace, varient en général avec le temps r; d’ailleurs, à un même instant, elles varient aussi quand on passe d’un point de l’espace à un autre point, c’est-à-dire quand on fait varier les coordonnées x, y, z du point auquel elles se rapportent : ce sont donc des fonctions de t, x, y, z. Nous allons établir les équations différentielles qui peuvent servir à déterminer ces cinq fonctions inconnues.

D’après le théorème de d’.\lembert, pour trouver les équations du mouvement d’un système matériel quelconque, on peut exprimer qu’il y a équilibre entre les forces qui lui sont appliquées et les forces d’inertie de ses différents points. Nous pouvons donc ici nous appuyer sur la théorie de l’équilibre des fluides, pour établir les équations que nous cherchons. Considérons en particulier une molécule située au point dont les coordonnées sont X, y, z; désignons par les projections de son accé-

lération totale sur les trois axes, et par X, Y, Z les trois projections de l’accélération totale que lui communiquerait la résultante des forces extérieures auxquelles elle est soumise, si elle était libre. Nous devons exprimer que l’équation différentielle {h) du § 214 est satisfaite quand on y remplace X, Y, Z par X — /, Y — y,, z — ji \ ou bien, ce qui revient au môme, que la fonction p satisfait aux trois équations

dx

dp

dz

p (Z — ji) •

Remarquons maintenant que, pendant le temps dt, les coordonnées X, ÿ, z de la molécule que nous considérons s’accroissent de udt, v^dt, v^dt; et que par conséquent l’accroissement qu’éprouve la composante u de sa vitesse a pour valeur

du du du du ,,

on aura donc pour la composante j de l’accélération totale de cetle molécule

du

~di

du , du ,

dz'

Si l’on détermine de même les valeurs de j, et /„ et que l’on substitue les résultats ainsi obtenus dans les équations différentielles précédentes, on trouvera

I d/l du du du du

f dx ‘ dt dx dtj dz ’

I dp du^ du^ du^ du^

P dy dt dx ‘ * dz ’

1 dp „ </m, du, du, du,

f dz dt dx * dy * dz

Nous avons donc déjà trois équations auxquelles doivent satisfaire nos cinq fonctions inconnues p, p, «, u„ v,. Voyons comment nous pourrons en trouver deux autres.

Nous observerons d’abord que la masse spécifique p est nécessairement liée aux vitesses u, u„ u, des diverses molécules, indépendamment de toute considération des forces qui leur sont appliquées. En effet, si l’on connaissait u, «„ u„ en fonction de X, y, Z et t, le mouvement de la masse fluide serait complètement connu; on pourrait savoir où sont situées à un instant quelconque les diverses molécules qui occupaient primitivement des positions données ; on pourrait savoir en particulier quelles sont les molécules qui se trouvent à cet instant à l’intérieur d’un élément quelconque de volume, et par conséquent quelle est la masse totale du fluide contenu dans cet élément : donc on pourrait en conclure la valeur de la masse spécifique du fluide relative au point de l’espace où cet élément de volume est placé. Pour trouver la relation qui existe entre u, u, et p, considérons le fluide contenu, au bout du temps t, dans un parallélipipède rectangle dont les arêtes, parallèles aux axes coordonnés, aient pour valeurs les quantités infiniment petites 5, ii, î ; voyons

ce qu’est devenu ce fluide à la fin du temps t + dt, en vertu du déplacement de ses diverses molécules, et exprimons que sa masse est la môme dans les deux cas. Il est aisé de voir que le fluide dont il s’agit, affectant la forme d’un parallélipipède rectangle à la fin du temps t, pourra être regardé comme ayant encore la forme d’un parallélipipède à la fin du temps que,

les arêtes de ce nouveau parallélipipède faisant entre elles des angles dont chacun diffère infiniment peu d’un angle droit, son volume ne diffère du produit de ses trois arêtes que d’une quantité infiniment petite du second ordre par rapport à lui-même, ea sorte qu’on peut le considérer comme étant égal à ce produit; enfin que, par une raison semblable, chacune des arêtes du nouveau parallélipipède peut être regardée comme égale à sa projection sur l’axe coordonné avec lequel elle fait un angle infiniment petit. Désignons par x, y, zles coordonnées du sommet du parallélipipède primitif qui est le plus voisin de l’origine des coordonnées; de sorte que les coordonnées du sommet opposé soient X Ç, y -f T), Z -j- Pendant le temps rfr, x s’accroît de

iidt ;x 5 s’accroît donede + P*'’’ l’arête

du parallélipipède qui était parallèle à l’axe des x à la fin du temps t, et qui avait pour valeur ?, s’accroît de 5 ^ dt. Le volume du parallélipipède dont il s’agit devient donc égal à

ù la fin du temps t -(- dt. Si nous multiplions le volume primitif ?ïi C de ce parallélipipède par la masse spécifique p qui correspond au temps t et au point dont les coordonnées sont x, y, z, nous aurons la masse du fluide renfermé dans ce volume à la fi u du temps t. En multipliant de môme le nouveau volume dont nous venons de trouver l’expression, par ce que devient p lorsqu’on y fait croître f do dt, x de udt, y de Uydt et z de u dt, c’est-à-dire par

on aura la masse du même fluide considéré à la fin du temps t -\-dt. Ces deux masses devant être égales, on en conclut facilement la relation

\rfx^ dy ^ dz J dl^

dp

que l’on peut mettre sous la forme plus simple

dp d . pu d . pn. d . pu, dl'^ dx dy dz “

Outre cette équation (6), nous pouvons en trouver une autre qui nous sera fournie par la nature du fluide. S’il s’agit d’un fluide incompressible, homogène ou hétérogène, la masse spécifique d’une portion infiniment petite quelconque du fluide restera toujours la môme, de quelque manière que cette portion du fluide se place : donc, d’après ce qui précède, on aura

dt

et par suite l’équation (6) se réduira à

dx^ dy ^ dz

S’il s’agit d’un fluide élastique, auquel la loi de Mariette soit applicable, on aura

p = kp.

k étant un coefficient constant. En général, la connaissance de la nature du fluide fournira une relation entre la masse spécifique P et la pression p que cette masse spécifique permet au fluide de supporter; et cette relation, dont les deux exemples que nous venons de citer (p = constante, p = ip) ne sont que des cas particuliers, étant jointe aux équations (a), (6), complé-

D^itized by Googl

tera le système d’équations nécessaires pour déterminer les inconnues p, p, U, u„ u„ en fonction de ^ ar, y, z.

L’intégration de ces équations différentielles introduira des fonctions arbitraires qui devront être déterminées d’après les circonstances initiales du mouvement, et aussi d’après les conditions dans lesquelles se trouve la surface du fluide considéré, qui peut se mouvoir le long de parois fixes, ou bien éprouver sur sa surface libre des pressions constantes ou variables suivant des lois données.

Il est à peine nécessaire d’ajouter que les quatre théorèmes généraux démontrés dans le premier chapitre de ce livre sont applicables au mouvement d’une masse fluide quelconque, et que, toutes les fois que leur application pourra suffire pour arriver aux résultats que l’on cherche, on devra s’en contenter,sans recourir aux équations différentielles qui viennent d’être établies.

§ 260. Mouvement permanent d’un fluide. — Lorsque le mouvement d’un fluide est tel que, pour chaque point de l’espace dans lequel le fluide se meut,les cinq quantités,/j,p,M,u„«„ conservent constamment les mêmes valeurs, ces quantités ne changeant que quand on passe d’un point à un autre de l’espace dont il s’agit, on dit que le mouvement du fluide est permanent. Pour donner un exemple de ce genre de mouvement, on peut citer le mouvement des eaux dans les fleuves et les rivières ; les circonstances qui caractérisent le mouvement permanent s’y trouvent à très-peu près réalisées. Dans un pareil mouvement, chaque molécule ne conserve pas nécessairement la même vitesse ; mais les diverses molécules qui viennent successivement passer par un même point de l’espace y prennent des vitesses de même grandeur et de même direction. Il est aisé de voir que toutes les molécules qui viennent ainsi passer par un même point de l’espace se suivent constamment, et parcourent toutes la même trajectoire ; l’ensemble de ces molécules, réparties le long de leur trajectoire commune, constitue ce qu’on nomme un filet du fluide en mouvement.

D’après la définition même du mouvement permanent, les dérivées partielles des quantités p, p, «, «„ m„ prises par rapport

à f, sont toutes nulles. Ces cinq quantités ne sont fonctions que des trois variables indépendantes x, y, z. Il enrésulte une simpliflcation notable dans les équations qui servent à les déterminer.

§ 261 .Écoulement permanent d'nn liquide pesant par un oriflce. — Supposons qu’un vase renferme un liquide pesant, et qu’un oriCce de petites dimensions soit pra'iqué dans la paroi du vase, de telle sorte que le liquide puisse s’écouler en le traversant. A partir de l’instant où l'écoulement commence, le liquide sort avec une vitesse qui croit assez rapidement ; bientôt cette vitesse d’écoulement cesse d’augmenter, et si le niveau du liquide est entretenu constant dans le vase, par un moyen quelconque, le mouvement devient permanent. Nous allons nous proposer de déterminer la vitesse avec laquelle le liquide sort du vase, lorsque la permanence du mouvement a été ainsi établie. >

Nous admettrons que l’orifice est percé dans une paroi sans épaisseur, pour ne pas avoir à tenir compte de l’influence que la surface intérieure d’un orifice pratiqué dans une paroi épaisse peut exercer sur l’écoulement du liquide ; nous admettrons, en outre, que les molécules liquides traversent l’orifice avec des vitesses égales, dirigées toutes perpendiculairement au plan de l’orifice ; enfin nous supposerons que la surface libre du liquide dans le vase a une étendue très -grande par rapport à celle de l’orifice d’écoulement, de sorte que le mouvement descendant des molécules qui se trouvent près de cette surface libre à un instant quelconque s’effectue avec une vitesse très-petite.

Appliquons le théorème des forces vives au mouvement du liquide pendant un élément de temps dt. Si nous désignons par w la vitesse avec laquelle les diverses molécules traversent l’orifice de sortie, par w l’aire de cet orifice, et par p la masse spécifique du liquide, nous aurons taudt pour l’expression du volume de liquide sorti pendant le temps dt, et par conséquent fbiudt pour l’expression de sa masse. Considérons le liquide qui était contenu dans le vase au commencement du temps dt, entre la surface libre à laquelle il se termine vers le haut et le plan

de l’orifice de sortie ; et voyons ce qu’est devenu ce liquide à la fin du temps dt. Pendant le temps infiniment petit dont il s’agit, un volume conrftde liquide traverse l’orifice ; en même temps tes molécules qui étaient d’abord sur la surface libre s’abaissent de manière à parcourir dans leur ensemble un espace ayant également pour volume taudt, puisque le volume total du liquide que nous considérons ne change pas. Si nous comparons les conditions dans lesquelles se trouve ce liquide, au commencement et à la fin du temps dt, nous verrons qu’à ces deux instants il se compose d’une partie commune, comprise entre le plan de l’orifice et la surface sur laquelle sont venues se placer à la fin du temps dt les molécules qui étaient sur la surface libre au commencement de ce temps; de plus, les molécules placées de la même manière, dans cette partie commune, sont animées des mêmes vitesses dans les deux cas, puisque le mouvement est supposé permanent ; donc l’accroissement de la force vive du liquide tout entier, pendant le temps dt, se réduit à la différence qui existe entre la force vive du liquide de volume wnrff qui traverse l’orifice pendant ce temps, et la force vive d’une quantité de liquide de même volume prise immédiatement au-dessous de la surface libre. Mais cette dernière force vive peut être négligée, puisque nous admettons que, près de la surface libre, le liquide descend très-lentement: on aura donc simplement

pojKf/f X

pour l’accroissement de la force vive dont il s’agit.

Le travail de la pesanteur, dans le mouvement que nous étudions, peut s’obtenir facilement de la manière suivante. Observons que le centre de gravité du liquide tout entier que nous considérons éprouverait le même déplacement pendant le temps dt, si, au lieu que toutes les molécules de ce liquide se mettent en mouvement pour se rapprocher de l’orifice de sortie, il n’y avait qu’une tranche infiniment mince de volume wurff qui passât de la surface libre à l’orifice, le reste du liquide ne changeant nullement de position : le travail de la pesanteur sur le liquide tout entier, pendant le temps dt, peut donc s’obtenir en

504 LIVr.E IV, — Dï.NAillOL’E. TROISIEME PARTIE,

multipliant le poids ^yiaudt de cette tranche par la distance h du centre de gravité de l’orifice de sortie au plan horizontal qui forme la surface libre du liquide dans le vase (§ f73).

Le liquide n’étant soumis qu’à l’action de la pesanteur, et le frottement que ses molécules éprouvent dans leur glissement les unes sur les autres et sur les parois du vase étant négligé, on aura, d’après le théorème des forces vives.

d’où l’on tire

^(oudt X = 2 . ^gu)Udt X u = v^2^.

Telle est la vitesse avec laquelle s’effectue l’écoulement permanent du liquide à travers l’orifice, dans les circonstances où nous nous sommes placés. On voit que cette vitesse est précisément celle qu’acquerrait un corps pesant en tombant, sans vitesse initiale, d’une hauteur égale à h.

Si l’on supposait que le liquide fût soumis à une môme pression extérieure sur la surface libre et à l’orifice d’écoulement, comme cela a lieu à très-peu près lorsque l’écoulement se produit au milieu de notre atmosphère, on arriverait encore au même résultat ; cette pression qui s’exerce de part et d’autre, et qui s’équilibrerait d’elle-même sur le liquide supposé immobile, ne donne lieu qu’à un travail nul dans le mouvement dont ce liquide est animé, de sorte que la vitesse d’écoulement n’en dépend en aucune manière.

Le volume du liquide qui sort du vase pendant le temps dt étant égal à wurff, le volume du liquide qui s’écoule pendant l’unité de temps a pour valeur «ou ou «o .■ c’est ce qu’on nomme la dépense. L’expérience montre qu’il ne s’écoule pas réellement une quantité de liquide aussi grande que celle qu’indique cette formule; la dépense effective n’est guère que les 0,62 de la dépense théorique dont nous venons de trouver l’expression. Cela tient à ce que les molécules liquides qui traversent l’orifice de sortie ne se meuvent pas suivant des directions parallèles ; les filets liquides, à l'intérieur du vase, convergent de tous côtés vers Torifice, et cette convergence ne disparaît

complètement que lorsque les molécules ont déjà parcouru une certaine distance en dehors du vase : la veine liquide, en un mot, se contracte à partir de l’orifice, au lieu d’étre cylindrique comme nous l’avions supposé. Mais, s’il est inexact de raisonner comme nous l’avons fait, toute inexactitude disparaît en remplaçant l’orifice de sortie par la section contractée de la veine, c’est-à-dire par la section faite dans cette veine au point où les filets liquides sont devenus sensiblement parallèles entre eux. Ainsi, ce qu’il y avait de défectueux dans notre hypothèse n’influe pas sur la vitesse d’écoulement, qui a bien réellement pour valeur cela n’a d’influence que sur la valeur de la dépense, qui doit être regardée comme égale à 0/ u> étant l’aire de la section contractée de la veine, et non pas l’aire de * l’orifice, comme nous l’avions trouvé d’abord.

Si l’orifice est muni d’un ajutage cylindrique, et si le liquide traverse cet ajutage en coulant le long de ses parois, les circonstances de l’écoulement ne sont plus les mêmes que précédemment. La veine liquide présente, immédiatement après sa sortie de l’orifice, la forme cylindrique que nous lui avions attribuée tout d’abord : l’action de l’ajutage fait complètement disparaître la convergence des filets liquides aussitôt qu’ils pénètrent à son intérieur. Dans ce cas, la dépense doit nécessairement être exprimée par ton, u étant l’aire de l’orifice ; ou bien par œ si la vitesse « a pour valeur L’expérience indique encore que la dépense effective est plus petite que la dépense théorique «O et qu’elle n’en est que les 0,82. Cela tient à ce que la vitesse d’écoulement du liquide est inférieure ày/2^; la présence de l’ajutage, en obligeant les filets liquides qui étaient convergents dans le vase à devenir brusquement parallèles dès qu’ils traversent l’orifice, occasionne une perte de force vive qui se manifeste par une diminution dans la vitesse d’écoulement du liquide. Si nous désignons par p le rapport de la dépense efl’ective à la dépense théorique, rapport que l’on désigne souvent sous le nom de coefficient de dépense, la dépense efl’ective aura pour expression

et la vitesse u avec laquelle le liquide s’écoule sera égale à

(I = s/ug . |i*/i.

Ainsi la vitesse d’écoulement u est celle avec laquelle le liquide coulerait à travers un orifice percé en mince paroi, si la hauteur de la surface libre du liquide dans le vase au-dessus du centre de gravité de l’oriDce était La hauteur dont il s’agit étant en réalité h, on voit que l’ajutage cylindrique a pour effet de rendre complètement inutile la portion h — de cette hau-

teur; h — ou ce qui revient au même csf

ce

qu’on nomme \a perle de charge due à l’ajutage cylindrique.

§ 2G2. Écoulement permanent d’un gax par un orifice. — Supposons qu’un gaz, contenu dans un réservoir, s’écoule en dehors uniquement en vertu de sa force expansive, par un orifice de petites dimensions, pratiqué dans une paroi mince de ce réservoir ; et que, la pression intérieure et la pression extérieure étant entretenues constantes, l'écoulement soit devenu permanent. Nous allons chercher à déterminer la vitesse avec laquelle le gaz traverse l’oriOce.

Soient w l’airede l’orifice, et a la vitesse que possédeunemolécule de gaz lorsqu’elle le traverse, vitesse que nous supposerons être la môme pour toutes les molécules, et dont nous regarderons la direction comme étant perpendiculaire au plan de l’orifice. Pendant le temps dt, il sortira du réservoir un volume de gaz égal à taudl, et la masse de ce gaz aura pour valeur futudl, pétant la masse spécifique du gaz dont il s’agit, dans les circonstances où il se trouve à sa sortie du réservoir. Désignons par P la pression qui est entretenue constante dans le réservoir, ou au moins dans toutes les parties qui ne sont pas três-rapprochées de l’orifice ; et par F la pression constante, dans l’espace où se rend le gaz à sa sortie du réservoir : F est nécessairement plus petit que P. Si nous prenons le gaz qui traverse l’orifice pendant le temps dl, et dont le volume est alors toudt,

et que nous remoutions, par la pensée, à toutes les positions que ce gaz a occupées antérieurement, à divers instants éloignés les uns des autres du même intervalle de temps dt, nous verrons sans peine que ces positions ne se pénètrent pas, mais qu’elles sont contiguës les unes aux autres; nous verrons, de plus, que l’ensemble de ces positions successives de la quantité infiniment petite de gaz que nous considérons, forme une masse gazeuse totale complètement identique avec le gaz qui existe à un instant donné dans la portion du réservoir à laquelle correspondent ces diverses positions successives. Le gaz renfermé dans le réservoir se trouve, par là, divisé en une infinité de parties infiniment petites, de même masse, dont chacune vient prendre la place de celle qui est immédiatement à côté d’elle, pendant le temps dt.

Si nous considérons une de ces portions infiniment petites du gaz, située assez loin de l’orifice pour que, dans tous ses points, elle soit soumise à la pression P, nous voyons que cette portion de gaz vient successivement prendre la place de toutes les autres portions de même masse qui se trouvent entre elle et l’orifice; que son volume s’accroît peu à peu, à mesure qu’elle a à supporter une pression plus faible, jusqu’à devenir égal à uurfr, à l’instant où elle traverse l’orifice, et où elle n’est plus soumise qu’à la pression F ; et qu’en même temps les vitesses de ses di-

verses molécules, très-petites d’abord, vont en augmentant jusqu’à devenir égales à u. Prenons, à un instant quelconque, la totalité du gaz contenu dans l’espace ubcmn, fig. H9, que cette portion infiniment petite parcourt, depuis la position abca'l/c', où elle supporte la pression P, jusqu’à l’orifice de sortie mn ; et appliquonslui le théorème des forces vives.

pendant le temps infiniment pe- Fig. ii9.

tit dt. Ce gaz total, étant considéré dans les deux positions

508 LIVRE IV. — DïNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

abcmn, db'c'mn', qu’il occupe au commencement et à la fin du temps rf/, contiendra évidemment une partie commune «,6'c'mn, dont les différents points auront une même vitesse dans les deux cas, en vertu de la permanence du mouvement ; l’accroissement de sa force vive pendant le temps dt se réduira donc à l’excès de la force vive du gaz mnm'n' qui a traversé l’orifice pendant ce temps, sur celle du gaz de même masse, qui occupait la position abca'b'c' au commencement de ce temps dt. Si nous négligeons cette dernière force vive de la couche gazeuse abca'b'c, dont les différents points ne sont animés que d’une très-petite vitesse, nous aurons simplement la force vive du gaz mnm'n', c’est-à-dire

pmidt X

pour l’accroissement de force vive du gaz total abcmn pendant le temps dt.

Évaluons maintenant la somme des travaux développés pendant le temps dt parles forces qui agissent sur les diverses parties du gaz total abcmn. Ges forces se réduisent aux actions répulsives qui s’exercent entre les diverses molécules du gaz, et aux pressions qu’il éprouve aux différents points de sa surface, puisque nous supposons que l’écoulement est uniquement dû à la force expansive de ce gaz, et par conséquent, que ses molécules ne sont soumises à aucune force extérieure, telle que la pesanteur. Pour trouver le travail dû aux pressions que le gaz éprouve sur sa surface, considérons d’abord la pression P qui s'exercedanstousles points de la surface aie. Soient aun élément de cette surface, et e l’épaisseur de la couche abca'b'c' près de l’élément a ; Pj est la pression supportée par cet élément, et Pue est le travail que produit cette pression élémentaire pendant le temps dt, pendant lequel la surface abc vient se placer en a'b'c' ; donc le travail dû à la pression P, qui s’exerce sur toute la surface abc, est égal à P X c’est-à-dire égal au produit de P par le volume de la couche gazeuse abca'b'c'. On trouverait, de même, que le travail dû à la pression F s’exerçant sur la surface mn, pendant que cette surface passe de mn en m'n', est égal au

produit de P' par le volume mnm'n'. Mais, de ces deux travaux, le premier est positif, et le second est négatif ; d’ailleurs, leurs valeurs absolues sont égales, puisque abca'b'c' et mnm'n' sont les deux volumes que prend une même masse de gaz sous les pressions P et P, et que ces volumes sont en raison inverse des pressions P et F, d’après la loi de Mariette : donc, la somme des travaux développés par les pressions que le gaz abcmn supporte sur toute sa surface, pendant le temps dt, est égale à zéro.

Il ne nous reste plus qu’à déterminer le travail développé par les actions moléculaires, dans le gaz dont il s’agit, pendant qu’il' passe de la position abcmn à la position a'b'c'm'n'. Nous observerons, pour cela, que ce travail total est égal à la somme des travaux dus aux forces moléculaires dans les diverses couches dont nous regardons le gaz total comme composé, couches dont chacune vient prendre la place de la couche voisine, pendant le temps inQniment petit dl ; et, par conséquent, il est le même que la somme des travaux développés par les forces moléculaires dans une seule de ces couches, pendant qu’elle passe de la position abca'b'c' à la position mnm'n'. Cherchons donc à déterminer l’expression de cette dernière somme de travaux, et pour cela considérons d’une manière générale le travail dù aux forces moléculaires d’uu gaz qui se dilate, en passant du volume V à un volume plus grand V'. Soit p la pression qu’il faudrait exercer sur toute la surface de ce gaz pour le maintenir en équilibre, lorsque son volume a pris une valeur quelconque u comprise entre V et V'. D’après le théorème du travail virtuel, appliqué à l’équilibre qui vient d’étre indiqué, la somme des travaux dus aux forces moléculaires de ce gaz, lorsque son volume s’accroît d’une quantité inGniment petite dv, est égale et de signe contraire à la somme des travaux développés en même temps par la pression p qui s’exerce aux différents points de sa surface ; mais si l’on répète ici le raisonnement qui vient d’être fait pour trouver le travail dû à la pression P s’exerçant sur la surface abc, fig. H9, on reconnaît que, dans le cas dont nous nous occupons maintenant, la somme des travaux dus à la pression appliquée

à toutes les parties de la surface du gaz, est égale à — pdv : donc, pendant que le gaz se dilate, de manière que son volume passe de la valeur u, à la valeur v -|- dv, les forces moléculaires qui agissent entre ses diverses parties développent des travaux dont la somme est égale à pdv. Or, d’après la loi de Mariette, on a

pv-

F étant la valeur que prend la pression p, lorsque u devient égal à V' ; il s’ensuit que la somme de travaux que nous venons de déterminer peut s’écrire sous la forme

et que, par conséquent, le travail total dû aux forces m oléculaires, pendant que le gaz passe du volume V au volume V', a pour valeur

Appliquons cette formule au cas que nous avons spécialement en vue, c’est-à-dire au cas d’une couche gazeuse qui passe de la position abca'b'c, fig. 119, où elle supporte la pression P, à la position mnm'n' où elle supporte la pression P'; et observons que le rapport des deux volumes qu’elle a dans ces deux positions, est égal au rapport inverse des pressions P et P', et que d’ailleurs, le volume V' est égal à midt : nous trouverons ainsi

pour l’expression de la somme des travaux dus aux forces moléculaires de cette couche, et par conséquent aussi de la somme des travaux développés par les forces moléculaires du gaz abcmn, pendant que ce gaz passe à la position a'ô'c'm'n'.

SU

Nous avons donc, en appliquant le théorème des forces vives

fbiudt.u^— 2P' taudt.l.

d’où, en observant que p est la masse spécifique du gaz sous la pression P', et posant en conséquence

nous tirons

« = y/ -ik.l. p.

Telle est la vitesse avec laquelle le gaz s’écoule à travers l’orifice OJ.

D’après ce qui précède, le volume du gaz qui t averse l’orifice pendant l’unité de temps doit être égal à tau, en supposant toutefois que ce volume soit mesuré sous la pression P'. L’expérience montre que cette valeur de la dépense est trop grande, ce qui tient à ce que la veine gazeuse se contracte à la sortie de l’orifice, au lieu d’être cylindrique comme nous l’avons supposé. Les choses se passent de la même manière que dans l’écoulement d’un liquide par un orifice et tout ce que nous avons dit à l’occasion de ce dernier écoulement (§ 261), pour expliquer la différence entre les résultats de la théorie et ceux de l’observation, pourrait être répété ici. Nous devons dire cependant que, dans le cas d’un gaz, les considérations théoriques que nous avons développées ne sont complètement conformes à la réalité, quand on substitue la section contractée de la veine à l’orifice desortie, qu’autant que le rapport des pressions P et P' est peu différent de l’unité : s’il en était autrement, on ne serait pas dans le vrai en regardant 1a pression comme étant égale à P' dans toute l’étendue de la section contractée de la veine gazeuse, parce que cette veine se dilaterait au delà de sa section contractée, ce qui indiquerait un excès de la pression qui s’exerce à son intérieur sur la pression environnante.

L’action de la pesanteur sur un gaz qui s’écoule dans les condi-

lions que nous venons il’éludier, n’a évidemment qu’une influence insignifiante sur les résultats, et on peut en conséquence ne pas en tenir compte.

§263. .Mouvement permanent d’un liquide pesant dans un tuyau. — Dans les deux questions que nous venons de traiter (§§ 261 et 262), nous avons regardé le liquide ou le gaz dont il s’agissait comme jouissant de la fluidité parfaite ; nous n’avons tenu compte en aucune manière des frottements que les molécules fluides exercent les unes sur les autres. Les résultats auxquels nous sommes parvenus sont cependant d’accord avec ceux que fournit l’expérience, pourvu, bien entendu, que l’on fasse attention à la contraction de la veine fluide, ainsi que nous l’avons dit. Cela provient de ce que, dans l’un et l’autre des deux cas que nous avons étudiés, les molécules fluides ne prennent une vitesse un peu grande que dans le voisinage de 'orifice vers lequel elles se dirigent ; de sorte que le frottement qui se développe entre ces molécules, et qui croit avec leur vitesse, n’agit d’une manière un peu sensible que dans une petite portion de l’espace total que le fluide occupe, et n’a en conséquence qu’une très-faible influence sur l’écoulement du fluide. Mais il n’en est plus de môme lorsqu’il s’agit d’un fluide qui coule dans un tuyau d’une grande longueur; l’influence du frottement se fait alors sentir d’une manière très-notable. C’est dans un pareil mouvement que le frottement des fluides a été étudié ; nous allons voir quels sont les résultats auxquels on est parvenu à ce sujet.

Considérons d’abord le mouvement permanent d’un liquide pesant dans un tuyau dont la section transversale est partout la même. Il est aisé de voir que le mouvement de chaque molécule doit être uniforme dans toute la longueur du tuyau. Mais les diverses molécules ne se meuvent pas toutes avec une même vitesse; celles qui sont tout près des parois du tuyau se meuvent très-lentement, et à mesure qu’on s’éloigne de ces parois pour se rapprocher de l’axe du tuyau, on en trouve dont les vitesses sont de plus en plus grandes : le liquide tout entier peut être regardé comme formé de couches cylindriques concentriques

qui glissent les unes dans les autres, et dont les vitesses sont d’autant plus petites que leurs rayons sont plus grands.

Les diverses molécules liquides étant animées de mouvements uniformes, les forces qui agissent sur chacune d’elles doivent se faire équilibre et par conséquent il doit en être de même de toutes les forces appliquées à la portion de liquide comprise entre deux sections transversales AB, CD, fig. 120; la somme des projections de ces forces sur l’axe du tuyau doit donc être nulle. Désignons par i»

l’aire de la section du tuyau ; par l la longueur de la portion de tuyau ABCD ; par ^ l’angle que l’axe de ce tuyau fait avec la verticale ; par i' et z" les distances des centres M, N des deux sections AB, CD à un plan horizontal IIH; par p la masse spécifique du liquide; et par F une force appliquée au liquide ABCD, en sens ‘contraire de son mouvement et capable de produire le même effet que l’ensemble des frottements que ce liquide éprouve. Soit de plus p'ia pression moyenne dans la section AB, et p" la pression analogue dans la section CD. Le liquide ABCD est soumis 1* à la force p'<a qui agit sur la section AB, dans le sens d u mouvement ; 2“ à la pression p"a> qui agit sur la section CD, en sens contraire de la précédente ; 3° à son poids qui a pour expression ppw/, et dont la projection sur l’axe du tuyau a pour valeur pÿo)/ cos tp, ou bien pyo» (z' — z"); 4° à la force F qui agit en sens contraire du mouvement. Donc, d’après ce qui précède, on doit avoir

p'iù — p"u) -t- çffo) (z' — z") — F = 0,

Cette relation permet de déterminer F, lorsque l’on connaît les autres quantités qui y entrent, quantités qui peuvent être faci-

lement détei minées. Des expériences nombreuses, discutées par Prony, lui ont fait voir que la force F peut être représentée par l’expression

F = /t (au + pu»),

e étant le périmètre de la section du tuyau, u la vitesse moyenne du liquide dans une section quelconque, et «, p deux coefficients constants pour un même liquide. Le facteur /s sert de mesure à la surface par laquelle le liquide considéré touche la paroi du tuyau; il est aisé de comprendre que la force F doit en effet être proportionnelle à cette surface. En remplaçant F par l’expression que nous venons d’indiquer, et divisant ensuite tous les termes par pÿoi, la relation que nous avons trouvée devient

+ - — (au + lu*) ~ 0,

pff pÿ 0>

ce ô

a et 6 étant mis au lieu de — , — . Concevons que l’on implante

P? Pff

sur le tuyau, aux points A, C, des tubes verticaux ouverts parle haut, dans lesquels une portion du liquide puisse s’élever; et que ce liquide s’y maintienne immobile pendant que l’écoulement

continue au-dessous d’eux. Les quantités — , — sont évidem-

ment les hauteurs MP, NQ auxquelles le liquide s’élèvera dans ces tubes au-dessus des points M, N ; et par suite

est la différence de niveau des points P, Q. Cette dernière quantité n’est autre chose que la charge qui tend à accélérer le mouvement du liquide ABCD, charge qui est entièrement perdue par l’effet du frottement. Ainsi

— (au bu*)

Üi

est la perte de charge due au frottement dans la longueur / du tuyau ; de sorte que la perte de charge par mètre de longueur est exprimée par

— (au + At**)'

Prony a trouvé que, pour l’écoulement de l’eau dans un tuyau, on doit prendre

les unités de longueur et de temps étant le mètre et la seconde.

La loi qui vient d’être indiquée, pour le frottement éprouvé par un liquide en mouvement, montre bien qu’un liquide en équilibre peut être regardé comme jouissant d’une fluidité parfaite, puisque ce frottement est d’autant plus petit que la vitesse est elle-même plus petite, et qu’il se réduit à zéro lorsque la vitesse est nulle.

§ 264. HouTement permanent d’un gaz dans un

tuyau. — Lorsqu’un gaz est animé d’un mouvement permanent dans un tuyau d’une grande longueur, les choses se passent à peu près comme nous venons de le dire pour un liquide ; il y a cependant une différence qui tient à ce que le gaz se dilate à mesure qu’il est soumis à une pression plus faible. L’action de la pesanteur sur le gaz n’ayant qu’une influence insigniflante sur son mouvement, il est nécessaire que la pression soit plus grande du côté d’où vient le gaz que du côté vers lequel il marche, aOn que le frottement que ce gaz éprouve dans son mouvement puisse être vaincu par l’excès de la première pression sur la seconde. Il en résulte nécessairement que la densité du gaz décroît peu à peu pendant qu’il parcourt le tuyau, et par conséquent que sa vitesse va en augmentant'constamment ; car la permanence du mouvement exige que des masses égales de gaz traversent en même temps toutes les sections du tuyau, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que, dans ces diverses sections, la vitesse du gaz est en raison inverse de sa densité. Cependant, dans les circonstances les plus ordinaires, le rapport des pressions extrêmes est peu différent de l’unité; la vitesse du gaz ne s’accroît pas beau- • coup d’un bout à l’autre du tuyau, et on peut appliquer à son mouvement ce qui a été dit pour le mouvement permanent d’un liquide dans un tuyau, en regardant sa vitesse comme égale à la

51f. LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

moyenne de ses vitesses extrêmes. En se fondant sur ces considérations, on a reconnu par l’expérience que la perte de charge par mètre de longueur, occasionnée par le frottement du gaz contre le tuyau dans lequel il se meut, peut être représentée par l’expression simple

— iu».

Celte expression ne diffère de celle qui a été trouvée pour les liquides que par la suppression du terme au, suppression que l’on peut également opérer quand il s’agit d’un liquide et que la vitesse u est un peu grande. On a trouvé par l’expérience que, quel que soit le gaz, on peut prendre

valeur qui diffère à peine de celle qui correspond au mouvement de l’eau.

§ 26a. PreMMlon exercée par une veine liquide sur une Kurfaee plane. — Pour donner une idée de la manière dont on peut trouver l’action qu’un fluide en mouvement exerce sur la surface d’un corps solide, nous considérerons le cas où une veine liquide vient rencontrer un plan fixe AB, fig. 121, dont la direction est perpendiculaire à l’axe de la veine. Nous supposerons que le plan est assez large pour que les filets liquides, déviés de leur route par la présence de ce plan, finissent par être tous dirigés à angle droit sur l’axe de la veine. Si le plan n’était pas maintenu dans l’immobilité, la veine le repousserait devant elle ; concevons donc qu’on lui applique une force de retenue P, dirigée suivant l’axe de la veine et en sens contraire du mouvement du liquide, et proposons-nous de déterminer la grandeur que doit avoir cette force pour que le plan ne cède pas à l’action

Fig^lîl.

de la veine : il est clair que nous aurons par là la mesure de la pression que la veine liquide exerce sur le plan.

Considérons tout le liquide qui se trouve à un instant quelconque dans le voisinage du plan AB, depuis la section transversale MN de la veine jusqu’au contour du plan, et appliquonslui le théorème des quantités de mouvement projetées sur un axe (§ 224), en considérant son mouvement pendant un élément de temps dt, et projetant les quantités de mouvement et les impulsions sur l’axe même de la veine. Si nous comparons le liquide dont il s’agit, dans les deux positions qu’il occupe au commencement et à la fin du temps rfê, nous voyons que dans ces deux positions il renferme une partie commune ; cette partie est comprise entre la section M'N' oh se trouvent, à la fin du temps dt, les molécules liquides qui étaient dans la section MN au commencement de ce temp's, et la limite correspondant au contour du plan AB à laquelle se terminait le liquide considéré au commencement du temps dt. L’accroissement de la somme des quantités de mouvement projetées sur l’axe de la veine pendant le temps dt sera donc simplement la différence entre la somme des quantités de mouvement projetées correspondant au liquide qui était compris entre MN et M'N' au commencement du temps dt, et la somme des quantités de mouvement projetée-^ correspondant à une quantité égale de liquide située vers le contour du plan AB à la fin de ce temps. Mais les vitesses de toutes les molécules de ce dernier liquide sont, par hypothèse, dirigées à angle droit sur l’axe de la veine; donc la somme de leurs quantités de mouvement projetées sur cet axe est nulle. Ainsi l’accroissement que suhit pendant le temps dt la somme des projections des quantités de mouvement du liquide tout entier sur le même axe se réduit à

— ftavdt.v,

en désignant par p la masse spécifique du liquide, par w l’aire de la section transversale de la veine, et par v la vitesse des molécules liquides qui composent cette veine. D’un autre côté, les actions que le liquide éprouve de la part du plan AB sont les

seules forces extérieures qui lui soient appliquées ; et la somme de leurs projections sur l’axe de la veine est évidemment égale à P ; en sorte que, si l’on observe que ces forces projetées agissent en sens contraire du mouvement du liquide, on aura

— Prfi

pour l’expression de la somme de leurs impulsions pendant le temps dt. Donc, d’après le deuxième théorème général que nous voulons appliquer ici, on a

d’où l’on tire

— ^tavdl.v = — Prf/,

P = pwi;*.

Telle est la valeur de la pression que la veine liquide exerce sur le plan ÂB, dans les circonstances où nous nous sommes placés.