MOUVEMENT D’UN SOLIDE OU SYSTÈME INVARIABLE

peut changer de grandeur et de direction, d’une manière quelconque, d’un instant à un autre.

Une figure plane, mobile dans son plan, peut être animée d’un mouvement de translation, tout aussi bien qu’un solide mobile dans l’espace; ce que nous venons de dire du mouvement de translation d’un solide est directement applicable au cas d’une figure plane mobile dans son plan.

§ 17. Mouvement de rotation i vlteMe ansulalre. — Si deux points d’un solide en mouvement restent constanjment immobiles dans l’espace, tous les autres points du solide, situés sur la direction de la ligne droite qui joint les deux premiers, restent également immobiles; le solide ne fait alors que tourner autour de cette ligne droite, à laquelle on donne le nom d’axe de rotation. Le mouvement du solide est, dans ce cas, un mouvement de rotation.

Soient M, fig. 10, un point quelconque du solide, et AB son axe de rotation. Si l’on abaisse la perpendiculaire MP sur l’axe AB, cette ligne MP restera perpendiculaire à .\B dans toutes les positions que prendra le solide : donc elle décrira un plan perpendiculaire à AB. D’ailleurs, la distance MP ne varie pas : le point M se mouvra donc dans le plan dont nous venons de parler, en parcourant une circonférence de cercle ayant le point P pour centre. Ainsi, lorsqu’un solide est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe, chacun de ses points décrit une circonférence de cercle, dont le plan est perpendiculaire à l’axe et dont le centre est sur cet axe.

Soient M, N, fig. H, deux points quelconques du solide; M', N' les positions qu’ils occupent au bout d’un certain temps ; et P, 0 les centres des circonférences de cercle qu’ils décrivent. Il est facile de voir que les angles MPM',NQN' sont égaux. Én effet, menons P« parallèle à QN ; cette ligne Pn sera perpen diculaire à AB, et par conséquent située dans le plan du cercle

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décrit par le point M. Lorsque les points M,N viennent prendre les positions M',N', la ligne Pn prend la direction Pn' parallèle

à ON', et l’angle nPn' qu’elle fait avec sa position primitive est égala l’angle NQN'.Mais l’angle nPM ne change pas pendant la rotation du solide; n'PM', qui est la nouvelle position de cet angle, estdoncégalànPM.

Si l’on retranche de chacun de ces deux angles la partie commune n'PM, il reste les angles nPn et MPM', qui sont par conséquent aussi égaux. Donc les angles NQN', MPM', égaux tous deux à l’angle nPn', sont égaux entre eux. Ainsi dans le mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe, les perpendiculaires abaissées des divers points du solide sur l’axe décrivent dans le même temps des angles égaux ; la valeur commune de ces divers angles correspondant à un temps quelconque, est ce qu’on appelle l’angle dont le solide a tourné pendant ce temps.

§ 18. Le mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe est uniforme lorsque ce solide tourne d’angles égaux en temps égaux, quels que soient ces temps ; ou, eu d’autres termes, lorsque les angles dont il tourne dans des intervalles de temps quelconques sont proportionnels à ces intervalles de temps. Le degré plus ou moins grand de rapidité ou de lenteur d’un pareil mouvement se mesure par l’angle dont le solide tourne dans l’unité de temps; cet angle se nomme la vitesse angulaire du solide.

Lorsqu’un solide est animé d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe, ses divers points se meuvent uniformé-

MOUVEMENT d’üN SOLIDE OU SYSTÈME INVARIABLE. 19

ment sur leurs circonférences de cercle respectives ; mais le svitesses de ces points ne sont pas les mômes. Les arcs MM', NN', fig. 1 1 , décrits dans le même temps par deux points quelconques M, N, sont proportionnels à leurs rayons MP, NQ, puisque les angles MPM', NQN' sont égaux; les arcs que les deux points décrivent dans l’unité de temps, dans le cas du mouvement de rotation uniforme, sont donc aussi proportionnels aux rayons MP, NQ. 0n| en conclut que les vitesses des différents points d’un solide animé d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe, sont entre elles comme les distances de ces points à l’axe.

Si l’on mesure les angles par les longueurs des arcs qui leur correspondent sur la circonférence dont le rayon est l’unité de longueur, la vitesse angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation uniforme ne sera autre chose que l'arc décrit dans l’unité de temps par un point du solide situé à l’unité de distance de l’axe, c’est-à-dire la vitesse de ce point. Il résulte de là que si l’on nomme w la vitesse angulaire, et v la vitesse d’un point quelconque situé à une distance r de l’axe de rotation, on aura

if

tj = r<i> .

§ 19. Tout mouvement de rotation qui u’est pas uniforme est dit varié.

Un mouvement de rotation varié peut être regardé comme étant la succession d’une infinité de mouvements de rotation uniformes, dont chacun a lieu pendant un intervalle de temps infiniment petit. On nomme vitesse angulaire à un instant quelconque, dans un mouvement de rotation varié, la vitesse angulaire du mouvement de rotation uniforme élémentaire qui fait partie du mouvement de rotation varié à cet instant.

Si 6 est l’angle dont le solide a tourné pendant un temps quelconque /, c’est-à-dire le chemin parcouru pendant ce temps par un point du solide situé à l’unité de distance de l’axe de rotation — sei'a la vitesse de ce point à la fin du temps /; ce sera

^ rf/

i» LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

donc aussi la vitesse angulaire du solide à cet instant. En sorte que, si l’on nomme m cette vitesse angulaire, on aura

ün mouvement de rotation varié pouvant être regardé, à chaque instant, comme étant uniforme pendant un intervalle de temps inGniment petit, il est clair que les vitesses dont sont animés les divers points du solide à un même instant, ont entre elles les môràes rapports que dans le cas d’un mouvement de rotation uniforme ; ces vitesses sont proportionnelles aux distances des points à l’axe de rotation. Si l’on nomme via vitesse d’un point situé à la distance r de l’axe, on aura encore

l' r= ru.

§ 20. Si l’on. imagine qu’une ügure plane soit animée d’un mouvement de rotation autour d’un axe perpendiculaire à son plan, on voit que cette Ggure ne sortira pas de ce plan. On peut la regarder comme tournant dans son plan, autour du point d’in- ' tersection de ce plan avec l’axe dont nous venons de parler : ce point prend le nom de centre de rotation de la Ggure.

Tout ce qui a été dit du mouvement de rotaüon d’un solide autour d’un axe, peut s’appliquer directement au mouvement de rotation d’une Ggure plane dans son plan.

§ 21. JMIonvement élémentaire d’une figure plane danü non plan. — Pour nous rendre compte de la manière dont s’effectue un mouvement élémentaire (§ 15) quelconque d’une Ggure plane qui se déplace dans son plan, nous commencerons par établir la proposition suivante ; Une Ggure plane, mobile dans sou plan, peut être amenée d’une quelconque de ses positions à une autre, par un mouvement de rotation autour d’un des points du plan.

Pour le démontrer, considérons une droite faisant partie de la Ggure mobile; et supposons que cette droite soit dirigée suivant MN, fig. 12, dans la première position de la Ggure, et suivant -M'N' dans sa seconde position. En A se trouvent deux points.

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MOUVEMENT n’UN SOUDE OU SYSTÈME INV.VUIABLE. 41

l’un de la ligne MN, l’autre de la ligne M'N. Soit B le point de la ligne MN qui est venu se placer en A sur M'N'; soit de même

C le point de M'N' où est venu se placer le point A considéré comme appartenant à MN. On aura nécessairement