VII. — Trawformatiow des ÉQUATIONS d'Euler

284. On remplace quelquefois, en Géométrie analytique, les neuf cosinus a^ h^ cj a', . • • par trois angles 6, f , if^ dont nous allons rappeler la signification, et qui vont nous être utiles dans l'étude du mouvcmeni de rotation des solides. Soient toujours ox^ oj^ oz les trois axes passant par le point fixe du solide en mouvement,, et o^, oyj, o^ les trois axes invariablement liés au solide ] i^t est Tangle que la trace du plan des ^rj sur le plan des xy fait avec l'axe des x, <f est l'angle que Taxe des ^ fait avec la même trace, enfin Q est l'angle que fait le plan des Çyj avec le plan des a^.

On a, comme l'on sait,

a = cosy cos^* — sîny sin^* cosô,

b =: — sinf cosi{< — cos7sin>|/cosd,

c = sin^* sînO;

/i' = cos f sin \{> + sin tf cos^p cos B ,

^' = — siof siD>p -I- cosy cos^pcosd,

c' = — cos^'sinO;

/?"= sin f sin 6 ,

^'=cos(psin0,

c'^=cos0.

Si Ton porte ces valeurs dans les formules (8) qui font

QUÀtraiEME PARTIE. CHÂVITHE III. l5l

connaitre p^ g^ r, on trouve

Ipdtz=z sin f sin ^d-^ -\- cos^ </0 ^ qdi=: cosy sinQ d^^ — sïuff dBy rdt = df -h ces d^.

Lorsque Ton connaîtra p, g, r, l'intégration des équations (i6) fera connaitre 9, ^^ 0. On peut arriver aux formules (16) immédiatement, eu considérant la rotation totale (ùdt effectuée autour de Taxe instantané comme la résultante de trois rotations df^ ^^, dO effectuées autour de o^, oz^ et autour de Tîntersection des plans l^OYi et xoy, La projection de (ùdt sur o^ est pdt^ la projection de d(f est nulle, celle de d^ est égale à d^ multiplié par le cosinus de Fangle que oz fait avec o^, ce cosinus est a^= sin(f sin0, enfin la projection de dO est égale à dO cosop. On a donc

pdt = d^ sin^ sin ô -h <f ô cosç ;

c'est la première des équations (16), les autres s'établi* raient d'une façon analogue.

Si maintenant dans les équations d'Euler^ on remplace Pi ^9 ^ P^f leurs valeurs (16), on obtient trois équations du second ordre en 6, 9, ^ qui sont les équations du mou* vement. Généralement, il y aura avantage à ne pas ef-^ fectuer la substitution, et à intégrer directement les équations d'Euler.

Vni. — Intégration des équations d'Euler dans lH

CAS où LES FORCES PASSENT TOUTES PAR LE POINT FIXE.

285. Dans le cas où les forces qui sollicitent le corps passent par le point fixe, on peut ramener l'intégration des équations d'Euler aux quadratures; dans ce cas, en

l5a TKAITÉ DE MÉGANIQUE RATIONNELLE.

effet, les équations (12) prennent la forme

A^-+-(C-B)çr = o, («7) {Bj+(A-C)r/, = o,