C-£-h{B^A)pq=o

Multiplions la première équation par p^ la seconde par ^, la troisième par r, et ajoutons, nous aurons

Ap dp-^-Bqdq -+- C rdr == o,

OU bien

(18) Ap* H- Bq* 4- Cr» = 2T,

aT désignant la constante d'intégration. Il est facile de voir que Féquation (18) exprime que la force vive du système est constante ; en effet, la force vive du système est 2m{u* -f- 1^* -h w'), c'est-à-dire, en vertu des formules (i5),

Si Ton développe cette quantité et si Ton observe que 2 m (yj" -f- ^* ) = A, . . . , 2 m/îÇ = o, . . . , on voit qu'elle est précisément égale à Ap*-h B^* -hCr*.

L'équation (18) est une première intégrale des formules (17), il en reste encore deux à trouver-, pour en trouver une seconde, on peut multiplier les équations (17) respectivement par Ap, B^, C r, et les ajouter, on trouve

ainsi

A^pdp -h B^qdq -h C*r€/r = O,

d^où l'on déduit

(19) A*p* -+- B^q* -h Or* = G*.

QVATRlèlIE PARTIE. CHAPITRE III. l53

Cette équation est Texpression du théorème des moments des quantités de mouvement. On a, en eflet, en vertu des formules (i5),

ainsi Kp est le moment de la quantité de mouvement pris par rapport k o\, B^, Cr sont les moments de la même quantité de mouvement pris par rapport à oyi et o^. Donc G est Taxe du couple résultant des quantités de mouvement.

Si maintenant on considère les équations

on en déduit

, 2T(B-f-C) — G»— fti'BC , ,

ou, si l'on veut,

(20) p = ^l-h /'wS q = ^m -^ m'ùi^y rz=z^n-h «'»',

/, m^ n, l\ m\ 71' désignant des constantes.

Or on a

%idoi z=i pdp -^ qdq -+- rdr.

Si, dans cette formule, on remplace dp^ dq^ dr par leurs valeurs déduites de (17), on a

pqr dt.

et si Ton remplace pp q^ r par leurs valeurs déduites de (20), on trouve

«i£/» = H ^(/4-7'«»)(/wH-w'«»)(/i4-/i'w»)J/,

l54 TRAITÉ DE MÉCANIQUE EATIONHELLE.

formule dans laquelle H désigne une constante. On peut simplifier cette équation et la mettre sous la forme

dans laquelle I, a, |3, y sont des constantes faciles à calculer. CD* est une fonction doublement périodique du temps que Ton déduira de la formule précédente, après quoi les formules (ao) feront connaître/?, q^ r.

On peut ramener les quantités p^ q^ r aux fonctions elliptiques, de la manière suivante.