X. — Propriétés du mouvement
287. L'intégration des équations du mouvement de rolaiion, lors même qu'il n'existe point de forces, c'està-dire dans un des cas les plus simples, ne permet pas de déterminer complètement ce mouvement, puisque les intégrales dépendent des fonctions elliptiques, dont il n'existe pas encore de tables bien complètes. Mais, quand même on aurait des tables convenablement disposées, il serait difficile de démêler les propriétés du mouvement au milieu des formules compliquées qui résultent de la belle méthode de Jacobi. Poinsot, dans sa Théorie nou- \felle de la rotation des corps, s'est attaché surtout à montrer les propriétés géométriques du mouvement; en sorte que les Mémoires de Poinsot et de Jacobi se complètent mutuellement, bien qu'ils aient été écrits par deux génies de caractères essentiellement différents.
La méthode de Poinsot est fondée sur l'élude du mouvement de r ellipsoïde central. Cette surface a pour équation
le point ou Taxe instantané rencontre la surface de l'ellipsoïde central est ce que Poinsot appelle le pôFe instantané.
L'équation
kp^ -\-^q^ -^- Cr^= ^T
montre que --=5 -— =' -1= sont les coordonnées du pôle
instantané. La longueur du demi-diamètre passant par le pôle est
QUATEIÈME PAETIE. CHAPITRE III. iSp
Ainsi la vitesse de rotation instantanée (ù est propor^ tionnelle au diamètre de V ellipsoïde central qui passe par le pôle.
Le plan tangent mené par le pèle à rellîpsoïde central a pour équation
Ce plan est, comme l'on voit, parallèle au plan invariable du couple résultant des quantités du mouvement. Donc :
Uaxe instantané est un diamètre conjugué du plan du couple des quantités de mouv^ement dans Vellipsoïde central.
Du point fixe abaissons une perpendiculaire sur le plan tangent mené par le pôle 5 celte perpendiculaire h est donnée par la formule
ou
donc le plan tangent qui passe par le pôle est à une distance constante du point Jixe.
Il résulte de ces remarques que le mouvement de Tellipsoïde central peut être défini par la condition de rester tangent à un plan fixe parallèle au plan du couple des quantités de mouvement. Le mouvement de rellipsoïde central sur son plan tangent fixe n'est pas précisément ce que Ton peut appeler un moui^ement de roulement sans glissement : l'ellipsoïde tourne autour du diamètre du point de contact pendant un temps infiniment petit, et roule à la fois sur son plan tangent. Il est vrai qu'il n'existe pas de glissement proprement dit, puisque le
l6o TRAITÉ UE MÉCANIQUE EATIONNELLE.
point de contact se déplace d'une quantité infiniment petite du second ordre dans le temps dt. Ce genre de roulement porte le nom de moui^ement de rasion.
Le lieu des axes instantanés dans le corps est un cône dont les génératrices ont pour équation
L'élimination de p^ q^ r fera connaître le lieu des axes instantanés dans le corps. Or des équations précédentes on déduit
Ap+Bn»-4-Cy A/>'-4-By»-f-CH
c est-à-dire
AÇ^-4-Biî*4-CÇ^
-f-B»iî' G»
ou bien enfin
(27) A(G»— 2TA)Ç^-hB(G'— 2TB)iî'-hC(G»— 2TC)Ç«=:o.
Cette équation, qui est du second degré, doit représenter un cône, et Ton voit ainsi que G" — 2TA, G* — 2TB, G* — 2TC ne peuvent être tous de même signe, ce que Ton a déjà démontré d'une autre manière.
Lorsque Tune des quantités G* — 2 TA se réduit à zéro, le cône se réduit à deux plans ou bien à une droite^ cette droite est alors Tun des axes principaux d'inertie.
Réciproquement, si le corps peut tourner un seul instant autour de Vun de ses axes principaux d'' inertie, il tournera indéfiniment autour de cet axe.
En effet, si Ton admet que Téquation (27) du lieu des axes instantanés puisse être satisfaite pour yj = o, ^ = 0, sans que Ton ait Ç = o, il faut que G* — 2 TA soit iden-
