XI. — Simplification des équations du mouvement

DANS le C4S ou l'eLLIPSOÏDE CENTRAL RELATIF AU POINT FIXE EST DE RÉVOLUTION.

588. Si rellipsoïde central relatif au point fixe est de révolution, les équations d'Euler se simplifient beau- -coup ; on peut même substituer aux équations d'Euler d'autres équations plus commodes, en faisant usage d'un nouveau système d*axes mobiles.

Nous rapporterons, comme nous Pavons fait plus haut, le corps à trois axes fixes O.r, Oj^, Oz passant parle point fixe, et à trois axes mobiles O^, Ov), O^; O^ sera Taxe de révolution de Tellipsoïde central, 0| sera la trace de la section circulaire principale de Tellipsoïde central sur le plan des xy\ ou, si Ton convient d'appeler équateur la section circulaire principale, OÇ sera la trace du plan de Téquateur sur le plan des xj\ enfin On sera perpendiculaire à OÇ et OÇ.

Nous désignerons toujours pa»* C le moment d'inertie du corps relatif à OÇ, et par A le moment d'inertie relatif a OÇ ou à 0>î. Nous appellerons, comme plus haut, ^ Tangle que OÇ fait avec Ox^ et 6 l'angle que OÇ fait avec Oz\ enfin d(^ désignera l'angle dont le solide tourne pendant le temps dt autour de O^. La rotation instantanée tùdt est la résultante de trois rotations : i^ dQ effectuée autour de OÇ5 7? d^ effectuée autour de Oz^ et 3*^ d(f effectuée autour de Of. La rotation d^ effectuée autour de Oz peut être décomposée en deux autres «Apcosd et d^s\i\0 effectuées autour de O^ et Om^ en sorte que les composantes de la rotation instantanée autour des axes mobiles sont

( I ) d^, sin G d^^ dtf -h ces G ei^,

l64 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONl^ELLE.

En désignant par m la masse et par $ la distance d'un point quelconqne à Taxe instantané, la force vive aT' aura pour expression

Mais, en appelant a, j3, y les angles que Taxe de la rotation instantanée fait avec les directions des coordonnées». Le moment d'inertie ZwJ* du corps, par rapport à cet axe, pourra s'exprimer en fonction des moments d'inertieprincipaux comme il suit (137) :

2/w^^= A cos'a -+- Acos'P -h Ccos'7,

et, par suite, la formule précédente devient

2T = A w' cos'a -h Aw'cos'P -4- Cw'cos'y,

ou bien, en remplaçant les composantes oacosa, cocosjS^. tù cosy de la rotation par leurs valeurs (i),

2T = Al^l -4-Asin'Ô(^l -hCl^ -4-cosÔ^^*

Si l'on applique alors les formules de Lagrange (216)^et si l'on désigne par & $6 -\- W $^ -i- 4> $(f le travail virtuel des forces qui agissent sur le corps, on a

--- = (A — C)sinÔcosôM- ) — CsmG-f -ir dB ^ ' \^^ I dt di

dT dT

dT dB dT ^do ^ ^ d^h

fl^Ô' dt d^' dt dt

^=rAsin»0^-hCcos»Ô^-4-Ccosô^, d^' dt dt dt