XII. — Etude du mouvement d^une toupie
289. Proposons-nous d'étudier le mouvement d'un corps solide, homogène et de révolution autour d'un axe passant par un point fixe. Nous supposerons ce corps sollicité uniquement par son poids. Ce mouvement se trouve réalisé à peu près dans la toupie.
Rapportons le corps à trois axes fixes passant par le point fixe, Tun Oz vertical, et les deux autres Ox, Oy horizontaux, et à trois axes mobiles qui seront : Taxe derévolution pris pour axe des Ç, et deux axes perpendiculaires entre eux, situés dans le parallèle du point fixe. Soient^, (/, ries composantes de la rotation instantanée relatives aux axes mobiles; d, cp, ^ les angles qui, dans les formules d'Euler définissent la position des axes mobiles^ C le moment d'inertie du solide relatif à l'axe des ^*, A le moment d'inertie relatif aux axes des n et des |.
La dernière des formules d'Euler
montre que r est une constante; en effet, le centre de gravité du corps étant sûr Taxe des Ç, le moment N de la pesanteur par rapport à cet axe sera nul*, déplus, A et B sont égaux, la formule précédente se réduit donc à
dr
—- ziz o ou r=:const.
dt
Au lieu de nous servir des deux autres équations d'Euler^ nous appliquerons le théorème des forces vives (qui est du reste une conséquence forcée des équations d'EuIer) et le théorème des aires.
