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l68 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Il viendra

(4) A Uin'e -^ + -^ j H- Cr^=h — /cos9,

(5) Asin^ô-— = X — Crcose.

Les équations (3), (4), (5) feront connaître 0, (f, ip. Les équations (4) et (5) ne contiennent pas (f, elles ne contiennent pas de fonction de ^, en sorte. que si Ton élimine — 5 on aura une équation différentielle ordinaire pour calculer 0.

Supposons que les valeurs initiales de •— et de —

soient nulles, supposons en outre la rotation 7* assez considérable^ les équations (4) et (5) et la dernière équation (3) pourront s'écrire, en désignant par a la valeur initiale de d,

(6) A[sin^ô(gy-H^jy]4./(cpsfl-.cos0),

(7) AsinG'— î- = C/-(cosrt — cosô),

(8) r=-? H-cos0-v!.

^ ' dt dt

L'équation (6) montre que /(cosa — cos9) est toujours positif, et que par suite l'angle 6 reste toujours inférieur ou supérieur à a suivant que / est positif ou négatif.

(7) montre que la précessîon •— est de même signe ou de

signe contraire à r, suivant que cosa — cosS sera positif ou négatif, ou en d'autres termes que la précession sera de même signe ou de signe contraire à la rotation, suivant que / sera positif ou négatif.

L'élimination de -~ entre (6) et (7) conduit à une

QlIÀTRièME PARTIS. CHAPITRE III. i6q

équation où les variables d et ( sont séparées, mais que l'on ne peut résoudre que par les quadratures. Cette équation est

-7- I =z (cosa — cosô) / : — - (cosa — cosÔ) 1 •

Le maximum ou le minimum de s'obtiendra en annulant le deuxième membre de cette équation. L'équation résultante se décompose en deux autres

cosrt = cosô,

y N A/sin'0

(10) — l-cosO = cosii.

La première équation est satisfaite pour d = a*, la seconde donne pour cosd deux valeurs réelles pour < == o; 6 part de la valeur a, puis il reste constamment inférieur ou supérieur à a. Supposons qu'il aille en augmentant, il finira par atteindre une valeur b satisfaisant à l'équation (10) : cette valeur sera un maximum; 9 ira alors en décroissant, passera par la valeur a, puis croîtra de nouveau, et ainsi de suite. L'équation (9) intégrée entre les limites 9 = a^ 6 = b fera connaître le temps d'une oscil- . lation de Taxe de la toupie.

Si r est assez grand, en vertu de (7), 9 variera peu,

car, en vertu de (6), -j- n'est pas très-considérable; donc

-^> en vertu de (7), sera à peu près constant, et le mouvement de précession sera à peu près uniforme; enfin l'équation (8) montre que la vitesse -^ est sensiblement

égale à r.

En réalité, le phénomène de la toupie n'est pas tout à fait celui que nous venons de considérer, car la pointe de la toupie n'est pas rigoureusement un point, et la toupie

n'est pas rigoureusement un solide; enfin la toupie se meut dans l'air dont la résistance et le frottement occasionnent des perturbations; aussi le mouvement finit-il par s'éteindre peu à peu.