QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE IV
pressions, car elles varient à peu près comme le cube des dimensions du prisme considéré, tandis que les pressions ne varient que comme le carré de ces mêmes dimensions. Ceci posé, les projections des forces qui sollicitent le prisme, sur la ligne AB, se réduiront aux projections des pressions exercées sur les faces MA et MB, car les autres pressions sont normales à AB. Ces projections, pour l'équilibre, doivent être égales et directement opposées-, mais les faces MA et MB étant également inclinées sur AB, les pressions exercées sur ces faces feront des angles supplémentaires avec AB5 par suite, ces pressions, ayant des projections égales et de signe contraire, seront égales entre elles. Ainsi, la pression sur un élément plan est indépendante de l'orientation de cet élément, c. q. F. d.
IL — Équations de l'équilibre des fluides.
295. Considérons un fluide en équilibre et trois axes rectangulaires oo:, oy, oz. Soient :
X, j", z les coordonnées d'un point M pris à l'intérieur
du fluide; p la masse spéciflque du liquide, p sa pression en M ;
X, Y, Z les composantes de la force extérieure rapportée à l'unité de masse relatives au même point (*).
Par le point M imaginons un cylindre droit de hauteur /, parallèle à l'axe des x et ayant une de ses bases
C^) n est essentiel de préciser ce que nous entendons par force rapportée à Vunité de masse. Chaque point matériel de masse dans le fluide est sollicité par une force qui peut être nulle dans certains cas, pour un ▼olume infiniment petit pris dans le fluide. Ces forces extérieures sont, à fort peu de chose près, égales et parallèles à cause de la continuité; leur résultante de translation, divisée par la masse totale du volume considéré,
l8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE RÂTIOWELLE.
en M; soito) la surface de cette base, p^ la pression exercée sûr la base opposée. Solidifions ce cylindre et écrivons que la somme des projections des forces qui le sollicitent le loDg de l'axe des x est nulle.
Supposons (ù infiniment petit, la somme des projections des pressions qui agissent sur le cylindre est p^tù—ptùy caries pressions latérales sont normales à Taxe desx (292) . La force extérieure qui agit en Xj y^ z a. pour projection ILptùdx^ ptùdx désignant la masse de Télément du cylindre qui a pour hauteur dx \ donc la somme des projections des forces extérieures sera
ou bien, en supposant x — l constant et égal à jto?
On aura donc
JrtX ' ILptadx.
Si Ton divise par gd et si Ton différentie par rapport à r, on a
dp
ou, ce qai revient au même,
sera ce qae nous appellerons la /orée appliquée à l'unité de masse au point oà l'on a pris le volume infiniment petit.
n est clair alors qu'âne portion infiniment petite de fluide, lorsqu'on la suppose solidifiée, pourra être considérée comme sollicitée par une force extérieure égale au produit de sa masse spécifique par son Tolumo et par la force extérieure rapportée à Tunité de masse.
