QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. l8l

On trouverait de même

D'où Ton conclut

Il résulte de là que pX -f- p Y -f- pZ est une différentielle exacte \ on doit donc avoir

d^d^ dpJ__^dpZ dpZ t/pX ^ ' dy dx dz dy dx dz

Ces équations suffisent pour déterminer à chaque instant la position du point (a*, y^ z) \ elles sont donc les équations nécessaires et suffisantes pour Téquilibre.

La démonstration que Ion vient de lire est due à Gauchy, qui Ta fait connaître dans ses anciens Exercices d^ analyse, Clairaut, à qui Ton doitPéquation (i) [Théorie de la figure de la Ten^e)^ ne l'a pas établie avec toute la rigueur désirable. La démonstration d'Euler est celle que l'on reproduit babituellemeut dans les Traités de Mécanique rationnelle [Mémoires de V Académie de Ber» lin^ 1^55); elle ne me parait pas aussi rigoureuse que celle deCaucby . Lagrange, dans \di Mécanique analytique , a donné une démonstration basée sur le principe du travail virtuel.

En intégrant Téquation (i) on trouve un résultat de la forme

si Ton considère alors les équations comprises dans le type

/(^> J> c) = const,,

ces équations représentent une famille de surfaces que

lA^ TMAIXt Wm, MiCASIQCK

ÏUÊk ^Y^lMt surfaces dt «ivcau O» a

D réHiIte de la que, en chaque pomi fane sorface de ttiveao, la force extérieure est coostanieet normale à cette

Dans le» liquides oa ftoides incompressibles, p est constant : alors X <£r + T^ + Z d[s est une différentielle exacte, et Féquation des surfaces de nÎTean est

Dans les gaz on a, entrep et /s, la relation p= A/», A défignant une constante, en Tertn de la loi de Mariotte. Dans ce cas, la formule (i) se réduit à

A^ = {Hdx -h Ydj -h ZA), P

et Téquation des surfaces de niveau est encore

TLdx + Ydjr -h Zdz = o.

m. — IIquilibre des fluides pesauts.

296. Dans le cas où la seule force extérieure qui sollicite le fluide est la pesanteur, on peut prendre Taxe des z vertical et dirigé de haut en bas; alors Téquation des surfaces de niveau est

ou bien

z = const.

Les surfaces de niveau sont des plans horizontaux. Dn reste, s^il s'agit d'un liquide, on a

dp = ^gdz.