QUATRIEME PARTIE. CHAPITRE IV. l

Si l'on intègre depuis le point z jusqu'à la surface située à la hauteur 2^, on a

Si la hauteur z^ correspond à la surface libre du liquide, p^ sera la pression atmosphérique dans le cas le plus ordinaire; on voit que, pour z^=:.z^^p deviendra égal kp^ ; alors la surface libre du liquide sera horizontale. Cette conséquence étant vraie, quelle que soit la forme du vase qui contient le liquide, elle sera encore vraie pour les vases communiquants, en sorte que la surface libre d^un liquide placé dans divers vases communiquants sera à la même hauteur dans chacun de ces vases, pourvu que la pression exercée à la surface libre du liquide soit la même dans tous ces vases.

Si Ton désire calculer la pression exercée sur un élément dtù situé à la profondeur ^, il suffira de multiplier par dtù la valeur de p déduite de (i). En désignant par dxs cette pression, on aura alors

dv5 '=.p^dt» -^ g^[z — 2»)£fû>.

Si nous posons

P^ = g^K il viendra -

dtr = gp[z — z^"^ h)d<A*

Ainsi la pression dxs n^est autre chose que le poids d'un cylindre liquide de base d(ù^ et dont la hauteur serait égale à la profondeur z — z^de l'élément dfù augmentée de la hauteur h due à la pression atmosphérique.

La pression zs exercée sur une surface plane tù sera la résultante de toutes les pressions dzs exercées sur chacun de ses éléments dtù. Elle sera donc égale à la somme des poids gp(z — Zf^-\-h)d(ù, c'est-à-dire au poids d'un tronc de cylindre ayant pour base o), et pour arêtes les

l84 TRAITÉ DE MÉCAI9IQUE RATIONNELLE.

distances du contour de cette base à un plan situé à la distance h de la surface libre du liquide et bors de ce liquide. Si la paroi co était horizontale, il est clair que le point d'application de la forc« xs se trouverait au centre de gravité de la paroi co; mais, si cette paroi se trouve dans une position verticale ou inclinée, la pressions est appliquée en un point particulier différent du centre de gravité, et que l'on appelle centre de pression. La détermination du centre de pression est uji problème de calcul intégral dont la difficulté est de même ordre que la rechercbe du centre de gravité des surfaces planes.

297. Traçons sur la paroi w deux axes ox, oy rectangulaires, et prenons Taxe ox horizontal; on aura

dtù = dxdy^ et par suite

(2) din=^gp(z — z^-h h)dxdjr>

Il faut évaluer z — ^Q-h h en fonction de j^, car cette quantité ne varie pas avec a:, les points correspondants à une même valeur de y étant situés sur une même horizontale. Or z — Zq -I- A est la distance du point (x^y) au plan situé à la hauteur h au-dessus de la surface libre du liquide. Si Ton désigne alors par Ç la distance de l'origine des coordonnées à ce plan, et par i l'angle que la surface w fait avec F horizon, on aura

z — z, -f- A = Ç — ysmi.

La formule (a) donnera alors

(3) cfCT=:g^p(Ç— jsinf)rfx^.

On en déduit

(4) ^ = gpff(K-'Xsini)dxdjr.

QXJATIIIEME PÀKTIE. CHAPITRE IV. l85

Si maintenant on désigne par i/, i* les coordonnées du centre de pression, et si l'on prend successivement les moments, par rapport à oy et à ox, de d et de ses composantes dfSy on aura (110)

(5) ua=:gpff(i;^jrsini)xdxdx,

(6) vzj = gpff{K —X smi)jrdxdx.

Si l'on place l'origine des coordonnées au centre de gravité de la paroi w, les formules (4), (5), (6) se simplifient et donnent

tt BT = — ^ p sin iffxy dxdy^ Pxs = ^ gp siniffx^ dxdy ;

d'où Ton déduit

a = -. JJxydxdy,

P= ySJy^dxdy.

Cherchons maintenant le centre de percussion de la surface 0) par rapport à l'intersection de son plan avec le plan situé à la hauteur h au-dessus de la surface libre du liquide..

Lé centre de percussion cherché se trouvera : i** dans le plan de la surface xs \ 2^ dans le plan normal à l'axe de rotation passant par le point où cet axe est un axe principal d'inertie^ 3^ à une distance de l'axe de rotation

égale à — j A désignant le rayon de gyration de la surface

par rapport à Taxe, et a la distance du centre de gravité â Taxe.

Prenons alors pour axes de coordonnées Taxe de rotation et la perpendiculaire à cet axe menée par le point où cet axe est un axe principal d'inertie pour la surface o).

l86 TmATrt DB MÉGAIIIQDS mÂTIOHHSLLE.

Alors

et les coordonnées du centre de percussion sont

, et SSf^dr

Jjydxdy

Les formules (4)9 (S), (6) donnent dans ce cas

ts = — gp smiffx dxdjr, a = 0,

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Le centre de pression JCune surface plane coïncide avec le centre de percussion de cette surface, lorsque Von prend pour axe de rotation Vhorirzontale suivant laquelle le plan de la surface vient rencontrer le plan horizontal sur lequel la pression hydrostatique serait nulle.

En effet, le plan situé à la distance h de la surface du liquide est le pian pour lequel on aurait p = o, c'est* à-dire pour lequel la pression hydrostatique serait nulle si Ton appliquait la formule

p=Pi^-{-gp{z-'Z.) ou =gp{z-'Z^-\- h)

aux points situés en dehors du liquide.

Dans le cas où Pq=^ o, c'est-à-dire dans le cas où Ton néglige la pression atmosphérique, Taxe de rotation se trouve sur la surface libre du liquide.

Lorsqu'une paroi est courbe, les pressions ne peuvent pas, en général, se réduire à une force unique ; mais on pourra les réduire à une force et à un couple d'après les principes exposés en Statique.

QUATRIÈME VÀRTIE. CHAPITmS IT. 187

398. Jusqu'ici nous n'avons encore considéré que des liquides parfaits. Dans les gaz, on a p = kp, k désignant ane constante. L'équation de Féquilibre des fluides pesants

devient alors, pour les gaz,

ou enfin

^— = gdz,

Si le gaz est de peu d'étendue, g - — j-^ sera petit, et Ton pourra écrire

ou bien

jDo désignant la densité à la cote z^. En sorte que les gaz de peu d'étendue transmettent les pressions à peu près comme les liquides.