IV. — Principe d'Ârchimede

299. Considérons un solide plongé dans un fluide pesant quelconque. Soit co un élément de la surface du solide ; par cet élément co faisons passer trois cylindres parallèles à trois axes rectangulaires ox, ojr^ oz, l'axe

l88 TRAITÉ DE MÉGAlflQXJE BATIONHELLE.

des z étant choisi, comme plus haut, dans le sens de la pesanteur. Ces cylindres découperont, sur les faces opposées de la surface du solide, trois nouveaux éléments fù\ <ù"^ tù"'. Soient û', fl'', Q,^" les sections droites des cylindres dont il vient d^être question; soiiptù la pression sur l'élément ot), on pourra décomposer cette pression en trois autres : ptù cosa, ptù cosjS, ^cocosy, dirigées suivant les axes; a, j3, y désigneront alors les angles que la normale à Télément &> fait avec les axes; mais et) cosa, &) cos^, w cosy sont les sections droites fl', iï", QJ" des cylindres parallèles aux axes et passant par co. En sorte que la pression exercée sur ot) pourra se décomposer en trois autres, représentées par pfl', P^"^ P^"'î '®s pressions pQ^'^ pQ." seront détruites par les pressions de sens contraire, exercées en w' et w". Nous avons vu, en eflFet, que les pressions en tous les points d'un' même plan horizontal étaient égales, et Ton démontrera, comme on Ta fait pour l'élément o), que la pression exercée sur tù' dans la direction parallèle à Taxe des x est — p^'t tandis que la pression exercée dans le sens oy sur (ù" est — p iï". On pourra donc se borner à considérer les pressions verticales pf2.''^ Or on a, en adoptant les mêmes notations que plus haut,

^P = g? dh p=Po'h I

gpdz.

On a donc

pa'^=zp^a'^-h I gpdz.a'

po désignera, si Ton veut, la pression sur l'élément fù'y ou plutôt la valeur absolue de cette pression, en sorte que la résultante p^^" — Po^'^' ^^^ pressions exercées

quâtuieme partie. — ghapithe iv. 189

en (ù et (ù^^^ se réduit à l'intégrale

Or QI" dz est le volume d'un élément de hauteur dz du cylindre vertical qui passe par o); gpQ!" dz est le poids de cet élément, supposé plein de fluide pris à la même hauteur que lui, en sorte que l'intégrale précédente représente le poids de la portion du cylindre vertical limitée aux éléments o) et o)'", supposée remplie d'un fluide de même densité que le fluide environnant pris à la même hauteur. En composant alors toutes les pressions verticales analogues à celles que nous venons de considérer, on voit que la résultante sera égale au poids qu'aurait le corps solide immergé, si l'on remplaçait chacun de ses éléments par un élément de fluide pris à la même hauteur que lui; enfin la résultante passe par le centre de gravité du solide, modifié comme il vient d'être dit. Ainsi :

Théorème I. — Lorsquun solide se trompe immergé dans un fluide, la résultante des actions de ce fluide sur le solide se réduit à une force ou poussée égale au poids que prendrait le solide si ton supposait sa densité égale à celle du fluide pris à la même hauteur que lui, et appliquée au centre de gravité du solide dont la densité aurait été ainsi modifiée.

Lorsqu'il s'agit d'un liquide dont la densité est constante, on peut dire que :

Théorème II. — Tout corps plongé dans un liquide perd une quantité de son poids égale au poids du liquide déplacé.

Cette proposition constitue ce que l'on appelle le prin^ cipe d'j^rchimède.

igO TRAITÉ DE 'mécanique RATIOKIŒLLE.

Il résulte des principes précédents qu'un corps solide dont la densité est supérieure à celle du fluide qui l'entoure descendra et ne pourra se maintenir en équilibre que si sa densité devient égale à la densité moyenne du fluide qui l'entoure.

Théorème III. — Lorsqu'un corps dont la densité est inférieure à celle d^un liquide est plongé dans ce liquide i il ne peut être immergé, il sort en partie du liquide; il ne peut être en équilibre que si son poids total est égal au poids du liquide déplacé >

Ce théorème est une conséquence du théorème I. En effet, dans la démonstration du théorème I, nous n'avons pas supposé p et p fonctions continues de z. On peut donc supposer que, pour z <[ o, par exemple, pet p soient nuls; dans ce cas, si Ton prend pour plan des xy la surface libre du liquide, on voit que la poussée se réduit à une force verticale dirigée de bas en haut et égale au poids du liquide déplacé. Son point d'application est au centre de gravité du volume qu'occuperait le liquide déplacé ; pour qu'il y ait équilibre, il faut que la poussée et le poids du solide agissent suivant une même verticale. Ce qu'il fallait démontrer.

On avait introduit autrefois, dans le programme de la Licence, la théorie de la stabilité de l'équilibre des corps flottants à la surface des liquides. La solution de cette question est tellement difficile qu'elle n'a encore pu être résolue par aucun géomètre, même dans les cas les plus simples. Je renverrai le lecteur curieux d'approfondir cette question : i^ à la Mécanique de M. Duhamel, qui a signalé une première difficulté dans le XXIV® cahier du Journal de l'École Polytechnique ; 2° à un Mémoire de M. Clebsch inséré dans le LVIP volume du Journal de Crelle.

QUÀTAIEME PàETIE. CHÀPITRS IV. •igi