QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE TT. IQQ

exprime donc qae le fluide ne se dilate pas, et ne se contracte pas pendant le mouvement.

On ne sait pas intégrer les équations générales du mouvement des fluides ; mais nous ne devons pas trop le regretter, parce que, dans le cas très-particulier où Tintégration est possible, la théorie se trouve en désaccord avec Texpérience. Cela tient à ce que nos hypothèses sur la constitution des fluides ne sont pas conformes à la réalité.

Les équations du mouvement se simplifient un peu lorsque JLdx + Y dy -i-Zdz et u dx -h ^dy -\- w dz sont des dififérentielles exactes. Soient donc

(7) lidx-\'Ydx-^Zdzz=id\},

(8) u dx -\- 9 dy -\- w dz =1 df.

La première des équations (2) pourra s'écrire

\iix dxdt d» dx^ dj dxdy du djtdzj

dp (^ d'f dx '^ V w«

ou bien

dp rrfU d^^f 1 d Id^ dff ^W

dx ^\jdx lixdt^ 7i dx\djc* dy* ^^Jj

c'est-à-dire, en désignant par Y la vitesse de la molécule qui à l'époque t passe au point (x, jr^ z),

dx "\dx dxdt dx J

On aurait de même

dp /dV d^f dY

djr^'^Xdjr dj dt dy

d» ^\dz dzdt dz )

200 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE r

En multipliant ces trois équations respectivement par dxy dy^ dz^ et en ajoutant, on a

(9) dp = ^{d\}-d'^^-^\dyy

On n'aplus àdéterminer que;?, p, y. Cette équation, dans laquelle V s'exprime à l'aide de y, jointe à l'équation de continuité et à réqualion/(p, p) = o, permettra de déterminer cj>, p, p, et, par suite, i/, 1^, w. Il est bon d'observer que l'équation de continuité pour les liquides peut s'écrire

dx^ <r' àz' ~ Lagrange a démontré que si l'expression

u dx -^^ V djr '\- w dz

était une diflérentielle exacte à une certaine époque du mouvement, elle demeurait encore une diflérentielle exacte à une époque quelconque; mais la démonstration , de l'illustre auteur de la Mécanique analytique ne nous paraît pas assez rigoureuse pour devoir être introduite sans réserve dans l'enseignement.

Remarque I. — Les équations (11), (3), (5) n'ont lieu que pour les points intérieurs à la masse fluide; il faudra donc joindre à ces équations ce que l'on appelle les équations aux limites ^ ou à la surface. Ces nouvelles équations seront différentes dans chaque cas particulier. Elles sont généralement difficiles à écrire. S'il s'agit, par exemple^ d'un fluide enfermé dans un vase, on écrit or* dinairement que les molécules primitivement en contact avec les parois restent en cpntact avec ces parois. Soit

Téquation d'une paroi ou de la surface libre du fluide, la