QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE V. ai

—>•••> coeflScîents de ;^i, ;(|,. . ., se réduisent à zéro-, nous aurons donc, en prenant U = o pour j^j = ;f,. . • = o,

(4) U=j(Q.x;-+-Qax'+... + 2Q,.,x.Xa + ---)»

formule dans laquelle on a posé

fiql " dqi dqj

Les équations des petits mouvements s'obtiendront en égalant les coefficients des mêmes variations dans la formule suivante, déduite de (i) et (a) :

et ces équations seront linéaires.

• La formule précédente repose sur une hypothèse : la possibilité d'appliquer la formule de Taylor. Elle ne doit donc pas être regardée comme générale; elle est soumise précisément aux mêmes règles que la formule de Taylor, dont elle découle.

Si, par exemple, Xd X>' * * * représentaient les distances des divers points à leurs positions d'équilibre; si, en outre,

on avait U = y y^^i "^ \/x« + • • • ' ^^ ^^^ ^^^^^ qu'il ny aurait plus lieu d'appliquer la méthode dont nous venons de parler (au moins en faisant usage des variables y^^y

IL Sur la STABILITÉ DE l'ÉQUILIBRE.

306. On peut, en se fondant sur la théorie des petits mouvements^ trouver les conditions de stabilité de l'équilibre d'un système de points matériels.

ai6 TRAITÉ DE MÉGANIQOE KÂTIONHBLLB.

Nous dirons qu'un système est en équilibre stable lorsque, en le dérangeant très-peu, il tend, lorsqu'on l'abandonne à lui-même, à revenir à sa position d'équilibre.

Au contraire, nous dirons qu'un système est en équilibre instable si, en le dérangeant un peu, il tend h s'écarter de sa position d'équilibre pour ne plus y revenir.

Enfin on dit qu'un corps est asiatique ou en équilibre indifférent lorsqu'il reste en équilibre dans toutes les positions possibles.

Lorsqu'il existe une fonction des forces U, il faut, pour l'équilibre, que l'on ait

et, par suite, U est généralement un maximum ou un minimum lorsqu'il y a équilibre. Analysons la question* avec plus de soin, reprenons les notations et les hypothèses du paragraphe précédent, dérangeons le corps et étudions ses petits mouvements. On a trouvé

U = i2(Q,zM-2Q,vx.Xy)- On en déduit

ou bien

*U = 2 ( Q,,, x> + Q,-,. X» + Qi.> Xs + • . • ) hi-

L'équation du mouvement ou l'équation (5) du paragraphe précédent devient alors

d'où l'on déduit, en égalant les coefficients des mêmes

QVlTRIÈMS PARTIE. GHÂPITRK ▼.

aij

variations,

dt^

dt'