QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE V

la fonction y* (j:) est donc une somme de carres

f(x) =2/w[(a,x, -h flraa:,-f-. . .)2-|-. . .];

par suite, elle reste toujours positive. Mais alors son discriminant sera aussi essentiellement positif. En effet, la fonction pourra, au moyen d'une substitution linéaire, être ramenée à une somme de v carrés; ces carrés seronttous positifs, sans quoiy*(jr) pourrait prendre des valeurs négatives; la substitution linéaire en question n'altère pas le signe du discriminant de la fonction, qui se réduit alors au produit des coefficients des carrés. Ainsi donc le discriminant àef[x) est positif, et, par suite, Av est positif pour n* = •+- 00 -, si V est pair, Av sera encore positif pour /i' = — 00 , mais il sera négatif si v est impair. Si donc Ton considère la suite

on voit : ï° que si l'un de ses termes s'annule, celui qui le précède et celui qui le suit sont de signes contraires; donc il ne peut s'introduire ou se perdre de variation dans cette suite que par le terme A,» ; 2° pour /i' = — oo , cette suite ne présente que des variations ; pour a: = H- oo , elle ne présente que des permanences. Dans le passage de — 00 à -H 00 , il s'est introduit fx variations; ces variations ont donc du s'introduire par le terme Aj*, ce qui prouve bien que l'équation A,t=o, ou (9), a toutes ses racines réelles.

Laplace a donné une autre démonstration de ce théorème, dans le tome II de sa Mécanique céleste, Sturm a également écrit un Mémoire sur cette question, je ne crois pas que ce Mémoire ait été imprimé.

Ceci posé, l'équalion (8) peut s'écrire

220 TRAITÉ DE MÉCA»1QUE RÂTIOAlfELLE.

T désignant la fonction

et K désignant ce que devient U quand on change y^ en k. Il est facile de voir que, en vertu des formules (3), T n'est autre chose que la demi -force vive

dans laquelle on a remplacé ^^ par ^i, y^t par A'i, . . . . Or des formules (lo) on tire

c'est-à-dire, en observant que T et K sont des fonctions homogènes,

«*T + K=o ou /î»=i— — -.

Si maintenant U est un minimum dans la position d'équilibre, U sera positif dans les positions voisines de l'équilibre, et, par suite, comme on peut prendre Ai, ^29* • • très-petits, puisque leurs rapports seuls sont déterminés, K sera positif comme U; par suite, 7i' sera négatif. Un raisonnement analogue montre que si U est maximum^ «' est positif.

Supposons d'abord que U soit maximum, les valeurs de «• seront positives, et l'intégrale générale du mouvement sera donnée par tes formules

;f , =: 2 ^, H sin ( «r •+- /i ) , ;^, = 2 X'j H sin ( /ti -I- A ) ,

le signe Z se rapportant aux diverses valeurs de n déduites de Téquation {9).