QUATRIEME PARTIE. CHAPITRE V

Si Ton fait varier t^ les pj ne dépasseront jamais certaines limites qu'il est facile d'assigner, et qui seront d'autant plus petites que les déplacements initiaux seront plus petits. En eflet, les constantes H sont des fonctions linéaires des déplacements initiaux ;j*, ;(J,...; par suite, l'équilibre sera stable.

Au contraire, si U est minimum, les racines de Téqualion (9) seront négatives. En les désignant par — v^, — vj,..., l'intégrale du mouvement sera donnée par des formules telles que

;f, znZX'iH sin(v^y^ — I -h A),

Les sinus qui entrent dans ces formules vont se transformer en exponentielles, et l'on aura pour -^^^ X>)* * * des expressions de la forme

le signe Z s'étendant aux diverses valeurs de v. Les formules précédentes montrent que lorsque £ croit, -^^ )^t9 • - • croissent indéfiniment, en sorte que l'on ne peut pas admettre que le système prend des petits mouvements quand on le déplace; l'équilibre est donc instable.

Il résulte des considérations précédentes que la force vwe dUin systènie en moui^ement est maxùna lorsque le système passe par une position d^ équilibre stable ^ et minima lorsqu!il passe par une position d^ équilibre in* stable,

307. Il résulte aussi de là qu'an corps pesant est en équilibre stable quand son centre de grav^ité est le plus bas possible.

En effet, le travail de la pesanteur, à partir du moment où le centre de gravité est le plus bas, ne peut être que négatif, car le travail de la pesanteur sera le produit du poids total du corps par le déplacement vertical du centre de gravité, déplacement de sens contraire à la pesanteur, puisque le centre de gravi lé ne peut que monter. Le travail étant négatif, la variation de force vive sera négative; par suite, la force vive passe par un maximum quand le centre de gravité est le plus bas possible ; la position correspondante du corps est une position d'équilibre stable.

m. — Théorème de Dirighlet.

308. Les démonstrations précédentes des conditions de stabilité et d'instabilité de l'équilibre reposent sur la formule de Taylor, et, par suite, sont soumises aux mêmes restrictions que cette formule; elles supposent en outre que la fonction des forces contienne des termes du second ordre en ^j, x«'« • • • ^^^ termes peuvent être nuls. Quoi qu'il en soit, Dirichlet, dans le tome V du Journal de M. Lîoui^ille, a établi directement le théorème qui suit :

Théorème — Lorsque^ dans un sjrstème en équilibre^ la fonction des forces est un maximum, V équilibre est stable.

Soient qi -f-Xn 9i +X*'* • • '^* variables qui déterminent la position du système, et ^i = <^î X« ^^ ®' • • • les conditions d'équilibre; soit <f(qi +Xi»* • •) '^ fonction des forces, T la demi -force vive : on a

T -~ !•= ff{qt + X., 9i -^ X2» • • • ) — ?(7« ^- xî« ^> + xî. • • •). T®, xîi xîî* • • <lcsîgnant les valeurs initiales de T, Xn