QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE V

donc

(5) « = ^1/ /{z)dz-hj f(z)dz\

x-^at

F(z)dz.

Or f(z) et F{z), en vertu des formules (3), ne peuvent avoir de valeur sensible que si z est compris entre o et X. Si Ton fait t= o, x = ^y la formule (5) donne

Jf /{z)dz = o;

ce qui est évident à priori^ car la dilatation totale est nulle eif(z) est la dilatation correspondante à Tabscisse z.

Ceci posé, soit x une abscisse plus grande que /. La formule (5) pour £ = o donnera ii = o. Si Ton fait croître t^ la première intégrale recevra des accroissements nuls, cary(z) est nul pour a:>l; la seconde cessera d'être nulle pour x — at = X ^ la troisième cessera d'être nulle dès que z pourra atteindre la valeur 1^ c'est-à-dire dès que x — at=z'k» Donc le mouvement va se propager dans le sens des abscisses positives et atteindra l'abscisse x dès que

X — ae = 'k ou t =

Le mouvement va doue se propager vers la droite avec une vitesse a égale à la racine carrée de la pression divisée par la densité du gaz en mouvement.

Dès que x — at sera devenu plus petit que zéro, la seconde intégrale ne contiendra plus que des éléments nuls; quant à la troisième, elle prendra la valeur constante

— f Flz)dz.

IL ï6

Ainsi donc la tranche x va se mouvoir depuis le temps ^ = jusqu'à l'époque f = -5 elle restera donc en

mouvement pendant le temps -9 mais elle restera déplacée et ne reviendra à sa position primitive, comme Ta fait observer M. Duhamel, que si

Jf ^[z)dzz=zo.

A cause de la parfaite symétrie du tuyau, il est évident que des phénomènes analogues se passeront à la gauche de la partie ébranlée à l'époque t = o. C'est ce ^e l'on peut constater en répétant la discussion que nous venons de faire, mais en supposant x négatif.

On donne le nom abonde k un solide fictif en mouvement et qui coïnciderait à chaque instant avec la partie du gaz qui se trouve ébranlée. Dans la question que nous venons d'étudier, on peut dire que l'ébranlement initial donne naissance à deux ondes qui se propagent avec une même vitesse et dans deux directions opposées.

Limitons maintenant notre tuyau au moyen d'une cloison, et voyons l'effet produit sur l'onde par cette obturation dont nous supposerons l'abscisse égale à o. Au point o, on a pour x = o

du

quel que soit t^ ou, ce qui revient au mème^

^<[at)-^'(-at) = o. On peut donc écrire, en changeant a£ en 2, (6) ç'(,) = ^,'(z).

QUATIIIEME PARTIE. — CHAPITRE V. 243

Maïs on a

-— =: y'(x -t- at) + ^'{x —at).

dx

Ea changeant alors a: en — x^ on a en vertu de (6)

zrz-^^-^-x — at) 4- ff\x -^at).

On a de même

=r «[>p'(j? — at) — t!f'[x H- at)'\.

du ^

Ainsi la fonction -r- aura deux valeurs égales en deux

dx points symétriques par rapport à Torigine*, la fonction —

aura deux valeurs égales et de signes contraires, en sorte qu'à des distances égales de l'origine se trouveront toujours deux ondes identiques, dont Tun^, bien entendu, sera virtuelle. Lorsque l'onde vraie vient rencontrer le fond du tuyau, une des ondes virtuelles vient le rencontrer aussi et pénètre dans l'intérieur du tuyau : elle devient alors réelle; en sorte que Teifet d'une cloison dans un tuvau est de réfléchir l'onde comme si cette onde était matérielle.

Si nous supposons le tuyau ouvert à l'origine, alors on

du 1 • X lî .

aura — = o pour x = o, parce que la pression a 1 on-

^îne est la pression normale de l'atmosphère; la dilatation doit donc y être nulle. Or on a

du

— z=z ^' [x -Y- at) -ir'i^'[x — at),

et pour x = o

On en conclut que l'on a généralement

On a donc

= — '^'{x — at) — y' (a? + at)y

On voit par là que, pour des valeurs d'à: égales et de signe contraire, ou qu'en des points également éloignés^ de Torigine, la dilatation a des valeurs égales et de signe contraire, en sorte que l'onde vraie semblera se réfléchir sur l'origine ; mais dans l'onde réfléchie, les vitesses de& molécules seront de signe contraire aux vitesses des molécules dans Tonde incidente.

On voit, sans qu'il soit nécessaire d'insister sur ce point, l'eflet produit par une série d'ébranlements donnés en un même point du tuyau 5 chacun d'eux donnera' naissance à une onde. Il pourra se faire qu'une onde incidente rencontre une onde réfléchie; les mouvements^ se composeront alors d'après les règles du principe de la superposition des petits mouvements.

Vm. — Usage des séries trigonométriques dans l'étudr DU mouvement de l'air dans les tuyaux.

313. Nous allons maintenant montrer, sur un exemple particulier, comment on peut étudier le mouvement de