QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE Y
l'air dans un tuyau limité. La mcthode dont nous allons faire usage est très-féconde 5 elle s'applique dans un grand nombre de questions de Physique mathématique. Le principe de cette méthode est du à Daniel BernouHî. Reprenons Téquation
On y satisfait en posant
tt= (A„cosrt.r + B„sin/2x)(C„cosA?<ïr-h D„siD/ia^),
«t, plus généralement encore, en posant
(2) « = 2 (A„cos;2:p4- Bnsin/zj?) (C« cos/i<ï/4- D» sin/ia/).
A„, B„, C„, D„ désignent des constantes, et le signe Z s'étend à un nombre limité ou illimité de valeurs de n.
Supposons que l'on ait affaire à un tuyau ouvert à ses deux extrémités. Comptons les abscisses à partir de l'une d'elles. Soit / la longueur du tuyau, on aura :
du
Pour X = o, -7- r=L- o,
dx
\ quel que soit r.
« ,• du
Pour x=ily —- = 0,
ax
En effet, à l'exirémîté du tuyau, la dilatation — doit
être nulle si l'on suppose la pression extérieure constante. Si l'on différentie alors la formule (2), on trouve
— z=2n( — AnSinnx -h B„cos«ar) (CnCOsnat -+- DnSÏnnat),
Nous supposerons cette dernière série convergente, et les calculs faits jusqu'ici seront légitimes. Si Ton fait a: = o et a: = / dans celte formule, on a
O = 2 /iBrt(C„ cos nat H- D„ sin nat),
o=:2rt(— Ansinnl -h B„cos«/)(C„cos/iûf -t- D„sin/iffr).
a46 TRAITÉ DE MÉGANIQUE RATIONNELLE.
On satisfera à ces équations en prenant
B„:=o, sin«/=o, ou bien
I désignant un entier quelconque.
La formule (2) devient alors, en changeant l'indice n en i,
i=oo
V^ iTTX /^ iicat ^ . it:at\ (3) a= > COS-— I Cjcos— h D/sin -— J •
La fonction u ainsi déterminée satisfera à la question., C; et D,ne sont assujettis à d'autre condition qu'à rendre la série précédente convergente, ainsi que ses dérivées. On achèvera de les déterminer en se donnant l'ébranlement initial, c'est-à-dire les valeurs de -3- et de ^r- pour
dx dt *
£ = o dans toute l'étendue du tuyau. Soit donc
}pour/=o.
On a, entre les limites o et Z [voir le Traité d^ analysedé M. Duhamel, p. i85, 2® vol., ou bien ma Théorie des résidus y p. i56),
Y(x) = j F(a)£/a+-^cos— / F(a)cos — «Ta.
QUATRIÈME PÂKTIE. CHAPITRE Y. ^47
En différentiant alors la formule (3) par rapport à t et à or, on trouvera
du ait yry , /ira?/ . iitat i-nafX
du îT ^ri , , iitx /^ inat ^ . inai\ ^=:-2,-'s«>— ^C,cos-p + D,sin — j.
Si l'on fait £ = o, on a
aiziDi iitx
ni Ci . iitx
/(*) = 2à "7~ sin — + • . • •
Si l'on compare ces formules avec les formules (4)9 on en conclut
F (a) cos-j- da, itiCi=:2 j /(a)sin -y-rfa.
Si Ton tire les valeurs de C, et D,- pour les porter dans (3), on a
V^ 2 iira: iirat /*-/.. iira. ,
u=z y —- cos--— ces— r— I /(ajsm-T-aa
-^1 2 ITT a: . ITT a/ C -r^i ^ 'Va ,
> — cos—— sin— -— f F(a) C0S-7- £/a.
Cette équation satisfait aux conditions initiales données ;
elle renferme, comme Ton voit, les fonctions arbitraires /(«)etF(a).
On admet généralement que le son que Ton tire des tuyaux est dû aux petits mouvements de Pair contenu dans ces tuyaux. Les divers termes de la série (4) constituent des solutions particulières du problème qui nous occupe. On donne le nom de mouvements simples à ceux qui se trouvent représentés par les solutions en question. Si nous considérons Tun d'eux, il est représenté par une équation de la forme
inx inat ^ Î'kx . iizat
« = A cos — r— cos — — ou tt = A cos -y- sm — r— •
Si l'on considère la première de ces équations par exemple, on voit que u s'annule, quel que soit /, pour
fjL désignant un entier quelconque compris Les tranches qui ont pour abscisses
is entre o et i,
l 3/ ai — I - ., __., . . .,
restent en repos et portent le nom de nœuds; au milieu de l'intervalle compris entre deux noeuds , u atteint son maximum; on donne aux tranches correspondantes le nom de ventres.
La vitesse du mouvement simple que nous venons de considérer est fournie par la formule
du . ire a inx . iicat
-T = — A -—-r cos — r- sm — T- • dt l i l
La vitesse s'annule pour ^s=o, — » — :> -r»"-» et varie
'• ' ai ai ai
