QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE Y
ment dx^ on aura pour équations du mouvement
AwéLc d^l > d^l ^ g dt^ dx^
^fùdx d^n d^n ,
"■y~ "dT*^ '' dx^ ^'
7T ^^ T -; — dx^
g dO dx^ '
c'est-à-dire
^E£éPÇ ^^Zl"!!! d^^zi.'^Jl
On serait arrivé à des formules du même genre en partant des équations de Cauchy (307) :
d''\ dB
-dF^^di-^^^'^^
d^n ^ de
dF^^d^-^^^^'''
d^K , d9 En y supposant y = o, z = o, elles deviennent en effet
Les équations de la corde vibrante sont^ comme Ton voit, de la même forme que celles du mouvement de Tair dans un tuyau. L'équation (a) fait connaître le mouvement de la corde dans le sens de sa longueur ou ses vibrations longitudinales ^ les équations [b) et (c) font connaître ses vibrations trani^ersales»
d'I ,IC
d^r, dt'
dH
^da^'
dK df
2 54 TRilTÉ DB MÉGANIQUE RATIONNELLE.
Pour intégrer les équations de la corde vibrante, nous donnerons la forme initiale de la corde, c'est-à-dire les équations de la corde déformée à Tépoque t = o. Soient
(5) Ç = <p(^), ^ = xi^h Ç = +(-^)
ces équations ^ on a de plus
,^. dl dn d%
pour t =: o ; et en désignant par l la longueur de la corde
, , dl dm rfÇ
quel que soit t pour a; = o et a? = A
prendront la forme
Si nous posons --^ = a*, -^ = i*, les équations (4)
^ ^ £//« dx' dt^ dx^ dt^ dx"
On satisfait à la première de ces formules en prenant Ç = (AnCOS«.r -h BnSin/ia7)(GnC0s;zârf + D;»sin/zaf).
Mais alors on a
— -z= (AnC0s/ia:+ BnSin/i;r)/za ( — GnSin/tn/ -t- Dncos/ta^).
Mais en vertu de (7), si Ton fait x = o ou a: = /, cette quantité doit s'annuler. Donc „ = o et nZ = i7r, i désignant un entier. Nous prendrons, en conséquence.
Il = y et Ç =8m-r— (C/cos -T hD,sin— — j«
QUATRIEME PÂUTIE. — CHAPITRE V. 255
Il est clair que Ton pourra encore prendre
ce
Ç =^sm -— I C, cos — h D, sin -y— j -,
maïs on déduit de cette formule
=2 siD — — ( - Csm -j- + D, cos -p
Si l'on fait f = o, il vient, en vertu de (6),
. iita: ITT a inat cos
On satisfera à cette formule en prenant D, = o, il reste alors
. inx ÎTzat cos
Si l'on fait i = o, on doit avoir, en vertu des formules (5),
et cela entre les limites o et Z seulement^ mais entre ces limites, on a
?(*) = 7^sm— I ^(a)9in — da.
On satisfera donc à la question en prenant
Ci=-j (p(a)sin-^rfa;
o et l'on aura ainsi finalement
- ^1 2 , inx itrat C , » . ittoL , Ç = > - sin — - cos — — I ^(a) sin—- tfa.
De même on trouverait
^1 2 . iitx iisbt r , , . lira yi=:^ysm — cos-y- / j^(a) siD — dbc,
T ce
V^ 2 . iicx iitbt /*,,,. 'Tra ,
Ç = > y SID -— ces — — I >[; (a) SID -y- «a.
^, y?, Ç sont, comme l'on voit, des fonctions périodiques du temps. Si Ton considère Tun des mouvements simples que la corde est susceptible de prendre, ce mouvement sera donné par les formules
. . iT:x iicat Ç = A sm -— cos — — t
^ . iiz.x ivbt >j m B sin — - cos — — *
. iicx in ht Ç = C sm — - cos — — •
Lorsque — est entier, c'est-à-dire lorsque - divise £y
J, Yî, f sont nuls, quel que soit U Aux points correspondant aux abscisses que Ton trouve ainsi, il n'y a pas de mouvement^ ces points sont des nœuds. Entre deux nœuds et au milieu de leur intervalle, ^, y?, ^ atteignent leurs valeurs maxima. Les points correspondants portent le nom de ventres,
La période du mouvement est égale à -7 pour la fonc-
tion \ \ elle est tt pour les fonctions yj et Ç. Ces périodes
sont les temps d'une vibration longitudinale et le temps d'une vibration transversale. Si Ton désigne alors par N et JS ' les nombres de vibrations longitudinales et trans-
