QUATRIEME FÂETIE. CHAPITRE VI
tivesH une perpendiculaire sur le rayon qui sert de profil (p. 285} 5 le lieu du pied de celle perpendiculaire sera le profil de la roue O. Ce lieu est une épicycloïde. En efiet, soient D et D' (fig» 5o) les points qui étaient primitivement en contact lorsque le rayon du cercle O', que l'on a pris pour profil, passait en O. Soit O'^M'^ la position actuelle de ce rayon. Si du point de contact îl des deux cercles on abaisse ÎIM perpendiculaire sur OD, le lieu du point M sera, comme nous l'avons vu, le profil cherché. Or le cercle qui a Oiî pour diamètre passe en M, et l'arc A M de ce cercle est égal à flD. Eln effet,
aD = R.MOû,
TD
ûM = — 2MOÛ;
donc OD=flM*, donc aussi OD'=:OD. Le lieu du point M est donc engendré par le point M d'un cercle mobile qui roule sans glisser sur le cercle O. Ainsi le profil cherché est une portion d'épicycloïde. En vertu du théorème de Lahire, ÛD, profil donné, peut être engendré par le point M lorsque le cercle OMfl roule sur le cercle O'.
Cette propriété est générale, et si l'on considère une courbe quelconque foulant successivement sur le cercle fixe O et sur le cercle mobile, un point M de celle courbe engendrera deux courbes qui pourront être prises pour profils. En effet ces deux courbes auront toujours même normale Mîi, et par suite seront tangentes.
Cherchons maintenant à déterminer le profil par celle condition, que la normale commune reste fixe dans le mouvement absolu des roues d'engrenage.
La condition, un peu singulière au premier abord, que nous nous imposons maintenant fournit les meilleurs engrenages. En voici la raison : Considérons une des
a88 TRAITÉ DE MÉGÂIlIQtlE RATIONNELLE.
roues O^ et faisons tout à fait abslraetion de l'autre. Si l'on fait tourner O', il existera une droite fixe toujours normale à la dent. Prenons maintenant une roue quel^ conque dont le profil des dents jouisse de la même propriété. Il suffira de placer cette roue en contact avec O' pour obtenir un engrenage fonctionnant dans de bonnes conditions. Ainsi Tengrenage dont nous allons chercher le profil va présentet* des avantages immenses : i*^ si l'on casse une des roues et si l'on a une roue quelconque jouissant de la propriété en question, on pourra la substituer à la roue cassée^ 2^ si les axes O et O' venaient à s'écarter l'un de l'autre, l'engrenage fonctionnerait encore dans de bonnes conditions.
La solution du problème qui nous occupe est bien simple. Dans le mouvement relatif, la normale au profil de la dent de la roue O' devra couper le cercle O sous un angle constant^ cette normale sera donc tangente à un cercle concentrique de O, et par suite sera une développante de cercle ; pour la même raison , le profil de la roue O sera aussi une développante de cercle.
Passons maintenant à Fétude de la transmission du travail dans les engrenages^ bornons-nous a évaluer le travail du frottement des dents (fig* 49 )• Nous pouvons substituer, pour évaluer ce travail, le mouvement relatif au mouvement absolu. Le mouvement de la dent mobile sur la dent fixe se réduit à un roulement et à un glissement; on peut négliger le roulement pour ne tenir compte que du glissement.
Or, si l'on considère le point B pendant le temps dt^ ce point glisse sur son enveloppe et décrit un arc de cercle égala
AB.e,
désignant l'angle dont le système tourne dans le
