PLACÉE SUR PLUSIEURS APPUIS
333. Nous avons vu, en Statique (108), qu'un solide fixé en plus de deux points en ligne droite exercerait en ces points des actions indéterminées. Ce fait s'explique parce que le solide de la Mécanique rationnelle, ou, si l'on veut, le corps rigide, est un corps hypothétique, et qu'il y a réellement alors plusieurs manières d'assurer l'équilibre en modifiant les réactions des points fixes. Il n'en est plus ainsi pour les solides naturels, et les principes que nous venons d'exposer vont nous permettre de déterminer les réactions des appuis, dans le cas d'une poutre posée sur plus de deux appuis, situés sur une même horizontale.
La question que nous allons résoudre a exercé, dans ces derniers temps, la sagacité des ingénieurs les plus illustres, parmi lesquels nous citerons surtout Clapeyron.
Soient Ao, Ai, Ai, . . . , A„, /i +- 1 points d'appui situés
QUATftIEME PARTIE. CHAPITRE YI. 3l3
sur une même horizontale, et sur lesquels repose une poutre droite.
Soient /], /|,...) In les distances consécutives A^At, Al Ati • • • des points d'appui.
Soient pi5 Pî, . . . 9 Pn des poids uniformément répartis sur les longueurs Zi, /s,. . ., h (en d'autres termes, on suppose que le mètre de poutre sur la travée /i supporte le poids ^], . . •). Soient Bo) Ri» • • •> Rn les réactions des appuis. Prenons la fibre moyenne de la poutre non déformée pour axe des x et une verticale descendante pour axe des^. Plaçons d'abord l'origine au point B^, et évaluons le moment fléchissant V en un point dont Tabscisse est x, situé entre B, et B,^i. Désignons par Vo, Vj, . . ., V„ les moments fléchissants en Ao, Ai, . . • , A„; la portion de poutre comprise entre B, et le point dont l'abscisse est x est ^n équilibre, sous l'influence des couples V,- et V, des poids qu'elle supporte, poids qui ont pour moment résultant
Pi+i c^Ç (? — •^) = — i?*+i -- 5
et de la réaction R,, dont le moment est R, x; en sorte que l'on a
Si, dans cette formule, on fait x = //^.i, on a
(2) V..+. = V,- + R, /,^.. —pi^, %.
On en déduit
(3) R.= l^,^./,^.-HXiipZf;
l'élimination de R^ entre (i) et (3) donne
3l4 TRAITÉ DE MÉGANIQUE RATIONNELLE.
La formule qui donne Féquation de la poutre déformée devient alors [p. 3o5, formule (3)], en posant Ei = e et
en prenant - = --r-^^ ce qui revient à négliger le carré
aa:
.^ =V, + *(^^/,,^./,^.+ — ^-— j -Pi.,-'
Intégrons de zéro à x, nous aurons, en désignant par ao> ^1) <^i9 • • • 9 ^n les coefficients angulaires des tangentes à la poutre en A^, A, , . . . , A„,
En intégrant encore de zéro à a:, on aurait Téquation de la poutre. Intégrons de zéro à /,^.i, nous aurons
— g a, //+, = I Vf /i.,-H -g- ( I pi+t li+, -I ^^ j — /?/+, ^ ,
OU bien
Changeons la direction de l'axe des x, plaçons l'origine en A,+i, et répétons le même calcul*, V,- et V,+j vont se changer l'un dans l'autre : «; deviendra — «i+i? et l'on aura
(6) f a,+, = ^ (8 V,+, + 4 V.- H- pi^, IL,).
Si, dans (5) et (6), on fait i= o, i, 2,. . ., 7i, on obtient 2 n équations, et, comme on a V„ = o, V,, = o, on pourra s'en servir pour éliminer «o, «i, . . . , a„ et pour calculer Vi, Vi,..., V„i, La formule (3) fera alors connaître R^j, Ri,. . ., R»«i, en y faisant i = o, i, 2,. . ., n — 15
