XIX. — Vibrations d'uke verge
335. Si après avoir écarté une verge encastrée de sa position d'équilibre, on F abandonne à elle*mème, elle effectue une série d'oscillations dont nous allons étudier les lois. Nous ne nous occuperons que des vibrations transversales, c'est-à-dire que du cas où les forces d'inertie sont normales à Taxe de la poutre. Le cas des vibrations longitudinales est facile à traiter, après ce que Ton a vu (312) sur le mouvement de Tair dans un tuyau.
On peut négliger l'action de la pesanteur sur la verge et l'assimiler à une poutre encastrée à une de ses extrémités. Les forces qui agissent sur la verge se réduisent alors aux forces d'inertie. Soient /la longueur de la verge, p sa densité; si Ton prend pour axe des x Taxe de la verge, et si Fou désigne par £1 sa section en Ç, la force qui agit à l'abscisse ^ est le produit de la masse pild^ de
la tranche d^ par l'accélération — — • de cette masse
changée de signe, dt désignant l'élément du temps; on a donc ici
On a donc, pour l'équation d'équilibre,
3l8 TRAITÉ DE MÉGÀIïlQUE RATIONNELLE.
Diffëren lions par rapport à x^ nous aurons
En difTërentîant encore une fois par rapport à j:, on a
y désignant l'ordonnée de la poutre déformée. Si Ton suppose la section de la verge constante, Téquation précédente est linéaire, et, en posant
El
ûp
on a
Pour intégrer cette équation, on posera
(2) ^=Atf«+", et l'on aura
^ Cette équation établit une relation entre a et 5 en vertu de laquelle la valeur (2) de/ sera une solution de (1), et il est clair que Ton pourra prendre
5 étant susceptible d^une infinité de valeurs déterminées en fonction de a par (3), et A désignant une arbitraire. Nous allons montrer comment on peut déterminer les constantes de cette formule, de manière à satisfaire à des conditions initiales données. Nous admettrons (ce qui n'est pas rigoureusement prouvé) que Ton puisse différentier sous le signe / les intégrales que nous rencon-
