QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE I, I
L'équation (i) peut aussi se mettre sous la forme
Cette équation exprime que, dans tout système en moui^ement, la dérivée de la somme des moments des quantités de moux^ement pris par rapport à un axe quelconque est égale à la somme des moments des forces extérieures pris par rapport au même axe.
S'il existe un certain axe pour lequel la somme des moments des forces extérieures soit nulle, on aura, en prenant cet axe pour axe des x,
prenons des coordonnées polaires dans le plan des jz ,
et posons
j- = rcos 9 , « = r sin 9 ,
nous aurons, au lieu de l'équation précédente,
^ dt '
et, en intégrant,
^ i mr^dB-=:a[t^t^.
Cette équation montre que la somme des aires décrites par la projection du rayon vecteur de chaque point multipliées respectii^ement par les masses de chacun de ces points "varie proportionnellement au temps.
C'est dans ce théorème que consiste le principe des aires.
223. Si nous supposons que les forces se réduisent à une seule passant par l'origine des coordonnées, ou, plus II. 2
l8 TRAlTt DE MÉCANIQUE RÂTIOHHELLB.
généralement, si nous supposons que la somme des moments des forces prises par rapport aux trois axes de coordonnées soit nulle, et si nous désignons par X, p, v les aires décrites par les projections du point (j^, j^, z) sur chacun des plans coordonnés, nous aurons
2 m\ =z a(e — /,), 2/Wft = b[t — /o),
a, &, c désignant des constantes \ soient alors a, j3, y les angles que fait un plan quelconque passant par l'origine avec les plans coordonnés, ot) Taire décrite par les projections du point [oc^y^ z) sur ce plan, on aura
2m« =: (acosa -f- ^cosp -f- CCOS7) (/ — ^), et en posant
«1= Geosa, ^ = Gcosp, c-zziGcosw, on aura
2 /w w = G ( cosa cosa -î- cosccos p -f- cosw cos 7 ] ( / — r,) ,
ou
2/7ift) = Gcos/(f — t^)y
/désignant Tangle que fait la direction (u, ^, w) avec la direction (a, (3, y). Si Ton fait 1= o, Smo) sera maximum, et l'on aura
2/Wû> =r G(r — /») = V^fl' -f- ^» -f- C« (f — fo).
Le plan auquel on est ainsi conduit porte le nom de plan du maximum des aires.
Si nous revenons à l'équation
QUATRIÈME PiETIE. CHAPITRE I. Ip
qui a lieu lorsque la somme des moments des forces extérieures est nulle par rapport à l'axe des x, nous voyons qu'elle exprime que , si l'on convient de regarder les quantités de mouvement comme des forces, le couple ré' sultant des quantités de moui^ement projeté sur Vaxe fies X est constant.
Si les forces extérieures passent toutes par l'origine, ou, en général, si leurs moments par rapport à un axe quelconque passant par l'origine ont une somme nulle, les projections du couple résultant des quantités de mouvement seront constantes sur tous les axes possibles, et, par suite, on peut énoncer le théorème suivant, qui équivaut à celui des aires :
224. Théorème. — Lorsque, dans un sjstème en mouvement , les forces extérieures passent par un point fixe, le couple résultant des quantités de moui^ement transportées au point fixe ^st constant pendant toute la durée du mouvement.
Les projections du couple résultant des quantités de mouvement sont précisément les quantités que nous avons appelées tout à l'heure a, &, c, en sorte que
représente l'axe du couple en question; les angles que ce couple fait avec les axes sont m, i^^W^ or (u, t^, w) est précisément la direction normale au plan du maximum des aires. Donc :
Théorème. — Le plan du maximum des aires est précisément le plan du couple résultant des quantités de mouvement.
Le plan du maximum des aires porte aussi le nom de plan invariable.
30 TmAITÊ DK MÉCUTIQUB RÂTIOJIHZLXE.
Vin. PwKCIPE DBS FORCES TITBS.
