Nons pouvons, dans la formule générale du mouvement
prendre les déplacements ox, ây\ oz,... égaux aux déplacements Jx, dy^ dz^,,. effectifs du système pendant le temps dt ; il vient alors
> m ( -^r- dx -\ -^ df -\ TT dz \
ou bien, en intégrant de /o à f,
(lidx-iri:dy-\-ZdzY
Le premier membre de cette formule est la variation que la somme des demi*forces vives de tous les points du système éprouve dans le temps (/ — ^o) ? 1<^ second membre est la somme des travaux totaux de toutes les forces du système effectués dans le même temps t — t^. [T^oir n"" 175.)
La somme des forces vives de tous les points d'un système en mouvement est ce que Ton appelle la^brce uiue de ce système. On peut donc énoncer le théorème suivant :
QUATRIÈME FÀETIE. — CHAPITRE I. ai
Théorème I. — La demi-'^ariation de la force a)we d^iin système quelconque en mouK^ement pendant le temps t — /o ^^^ égale à la somme des travaux totaux de toutes les forces qui agissent sur le système pendant le même temps.
Et quand nous disons de toutes les forces, nous voulons dire des forces intérieures et extérieures, des forces directement appliquées et des forces de liaison.
Si le système est à liaisons, si ses liaisons ne dépendent pas du temps, le déplacement effectif dx^ dy^ dz^, • . sera encore compatible avec les liaisons (n® 215), et les calculs précédents seront encore justes si, dans X, Y, Z,... on supprime les forces dues aux liaisons, forces dont les travaux sont alors nuls; donc :
226. Théorème II. — La demi-variation de la force *vi\fe pendant un temps donné pour un système dont les liaisons ne varient pas av^ec le temps est égale à la somme des trai^aux totaux des forces qui agissent sur le système dans le même temps ^ abstraction faite des forces qui produisent les liaisons.
Le travail des forces intérieures est de la forme Jlffdr^ y désignant une des forces intérieures, r la distance de deux points entre lesquels elle se manifeste (67) j si donc le système est un solide, dr sera nul ; "Zffdr sera donc nul également-, si le système est un liquide parfait, y est nul. Yàffdr l'est donc encore dans ce cas-, donc :
227. Théorème III. — La demi-variation de la force vive d'^un corps solide ou liquide en mouv^ement est égale à la somme des trai^aux des forces extérieures appliquées à ce corps.
C'est dans ces théorèmes que consiste le principe des forces vii^es.
22 TRAITÉ DB MÉCANTQTTE KATIONNSLLE.
Il nous reste k examiner un cas particulier important, celui dans lequel la quantité
est la différentielle exacte d'une fonction U de x^ .T'»---* Dans cecasy en désignant par V' et f^o les vitesses du point m aux époques telt^^^ l'équation (2) donne
La force vive reprendra alors la même valeur toutes les fois que le système repassera par les mêmes positions» U y a cependant des exceptions à cette règle ^ si, en effet, la fonction U est multiforme, on conçoit que a:, j^, -z,... puissent reprendre les mêmes valeurs sans qu'il en soit de même pour U.
Si l'on avait toujours U = o, c'est-a-dire si les forces extérieures et intérieures se faisaient équilibre, la force vive resterait constante. C'est en cela que consiste le principe de la conservation des forces "vives.
Toute la théorie dçs machines est fondée sur le principe des forces vives; son importance est donc trèsgrande. Aussi nous allons en donner une seconde démonstration, indépendante, quant à la forme, du principe de d'AIembert et du principe des vitesses virtuelles.
227. Soient m la masse d'un point en mouvement^ ds l'élément de chemin parcouru, F la résultante des forces qui sollicitent ce point; on a
m — =:Fcos(¥, ds).
par suite.
^m--7Y£/<f = 2F^(cosF, ds);
QUATRIÈME PAKTIE, CHAPITRE I. 23
on en conclat en intégrant
Cette équation est la traduction analytique du théorème des forces vives.
