IX. — Sur le travail des forces

Pour appliquer le théorème des forces vives, il est nécessaire de savoir évaluer le travail total des forces. Nous allons montrer sur quelques exemples comment on peut calculer ce travail.

228. Travail de la pesai^teur sur un système de CORPS. — Le travail de la pesanteur sur un système quelconque hst égal au produit du poids total du système par la quantité dont le centre de grai^ité s^est déplacé verticalement^ en sorte que le trav^ail est le même que si toute la masse du système se troussait concentrée en son centre de grai^ité.

En effet, soient m la masse de Uun des points du système, dz la quantité dont il se déplace verticalement dans le temps dt^ on aura pour expression du travail élémentaire effectué dans le temps dt

J,mgdz z= dj,mgz.

Mais en désignant par Ç l'ordonnée verticale du centre de gravité comptée à partir d'un plan horizontal quelconque, on a (112)

lmgz = Mgï;, ^ M désignant la masse totale du système. Le travail élé-

mentaire cherché est donc égal à Mgd^^ et le travail total est alors

^ — (^(^ désignant la quantité dont s'est élevé ou abaissé le centre de gravité. Le théorème en question est donc démontré.

229. Travail de l'attractiow. — Supposons maintenant qu'il s'agisse d'évaluer le travail total de Tattraction d'un point fixe ou mobile, sur un système de corps. Soient

a, &, c les coordonnées du point attirant,

Xj y, z les coordonnéesd'un point attiré,

m sa masse,

mf[r) l'attraction qu'exerce le point (a, i, c) à la distance /' sur la masse m.

Si Ton désigne par r la distance des points (a, i, c) et (x^j^ z) , la force qui sollicite ce dernier point sera mf[r) ,

et ses composantes seront mj[r) ? ^^Jy] ^

mf{r) ^ • Le travail effectif de cette force dans le temps

dt sera

(0 ^=Ç^ {{a^x)dx -4- (h -y)dy + (c - z)dz\.

Si le point (^, ^, c) est fixe, cette expression se réduit à

mf{r)dr'^

par suite, le travail total de l'attraction sur tout le système sera

^ J mf{^r)dr.

Si le point (a, &, c) n'est pas iSxe, on remplacera, dans (i), a^ b, c par leurs valeurs exprimées en fonctions du temps;