QUATRIÈME PA.RTIE. — CHAPITRE I

on remplacera également a:,j^,z par leurs valeurs, et l'intégraiion fera connaître le travail total de Tattraction.

230. Travail de la détente d'uw gaz. — Proposonsnous d'évaluer le travail produit par la détente d'un gaz enfermé dans un corps de pompe sur un piston mobile dans ce corps de pompe.

Soit y le volume du gaz à l'époque t; si Ton admet la loi de Mariotte, la piession exercée par le gaz sur le piston

Ase réduira à une force unique égale à -» A désignant une

A" constante. Le travail élémentaire de cette force ser^ -- di\

di désignant la quantité dont le piston a marché dans le temps dt^ mais en désignant par o) la section du corps de pompe, di est la hauteur d'un cylindre de volume rfV et

de base oi), en sorte quo di^=- — \ le travail élémentaire de

la détente est donc --tt-' En intégrant cette expression

entre les limites Vo et V, on aura le travail total développé par la détente du gaz passant du volume V^j au vo-

lume V-, on trouve ainsi - log— •

w Vq

§ X. — Sur le choc des corps. — Théorème de Carnot.

231 . On donne le nom de percussion ou Ae force in-stantanée k une force agissant avec une grande intensité, mais pendant un temps très-court. (Ce temps sera nécessairement fini, car une force ne peut produire d'effet que si elle agit pendant un temps fini.)

Nous admettrons que Ton peut toujours négliger l'action des autres forces devant celle des percussions. Enfin

a6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

nous admettrons qu'une percussion conserve une direction constante pendant tout le temps de son action.

Une percussion F sera mesurée par son impulsion e Fdt prise pendant tout le temps 9 pendant lequel elle

agit. Elle sera représentée géométriquement par une droite égale à son impulsion, et comptée sur sa direction.

II existe entre les percussions et les quantités de mouvement des relations analogues à celles qui existent entre les forces réellement agissantes et les forces dMnertie.

Ainsi, par exemple :

232. Théorème. — Si Von cornaient de composer les percussions et les quantités de mom^ement comme les forces^ on pourra dire qu'il y a équilibre à chaque instant entre : i° les percussions; 2® les quantités de moun^ement antérieures à Inaction des' percussions^ et 3** les quantités de mouvement postérieures à Vaction des percussions prises en sens contraire.

Si, en effet, on intègre entre les limites o et 9 les équations générales du mouvement

désignant le temps très-court pendant lequel agissent les percussions, on a

2[rz*-«(^;);].,=o,

quàthième partie. — chapitre i. 27

Dans l'intégration, i^oas avons supposé $x^ $j^ dz^... invariables avec le temps, ceci n'est pas rigoureux, mais comme Ton suppose 6 très-petit, on peut admettre que jr,j^, z,... n'ont pas sensiblement varié, en sorte que $x peut, sans grande erreur, être placé en dehors du signe f. Si l'on désigne alors par a, &, c les composantes de la vitesse du point m à l'époque o, et par a', b\ c' ses composantes à l'époque 6, si de plus on désigne par P, Q, R les projections sur les axes de la percussion qui agit en m, l'équation (i) pourra s'écrire, en négligeant les forces ordinaires devant les percussions,

•4- (Q + /w* — mb' ) ^7 H- ( R -f- wc — . me') Sz]z=o.

Cette équation est bien la traduction analytique du théo-rème que nous avions énoncé.

Supposons que les percussions proviennent d'un chan*gement brusque opéré dans les liaisons, et supposons les nouvelles liaisons indépendantes du temps, on pourra prendre Sx = afdtj dj=. Vdt^ dz = c'dt^ et comme les déplacements effectifs seront compatibles avec les liaisons (215) on pourra ne pas tenir compte des percussions qui sont les forces introduites par les nouvelles liaisons. L'équation précédente se réduira alors à

lm[{a -- a')a' -^ (b — b')b' -{-[c ^ c' W]=: o,

OU bien à

lm[aa'^ a'^-h bb' -- 6" H- ce'— c'^] = o,

ou enfin, en remplaçant aa' par