XI. — Principe de la moindre action

235. Considérons un système en mouvement, et dans l'intégrale

(i) 1= / ^mçds,

où m désigne la masse, \f la vitesse d'un point quelconque

3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

du système, et f^, t^ deux époques quelconques, imaginons que Ton remplace le temps et les coordonnées X, j*, 2,... des divers points du corps considéré par leurs valeurs exprimées (à Faidedes intégrales du mouvement) en fonction de l'une des coordonnées, que nous représenterons par q. Le principe des forces vives donne

(2) 2/ltP»r=2U4-^,

U désignant la valeur du travail total et h une constante. Dans cette dernière formule, remplaçons encore j:, y , . . . , / par leurs valeurs exprimées en fonction de ^, les formules (i) et (2) pourront s'écrire

ou bien, en posant

(3) 1= / y m -^ ^' df,

(4) rfj« ±-J-±jL±iLZ = au + A.

De (4) on tire

et,*par suite, (3) devient (en se rappelant que f, a:, x\... sont fonctions de ^),

(6) ^= f V^(2U -+- ^) lm(a/^-^y^-h z'~') dq.

Supposons que le travail soit une différentielle exacte.