QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE I. 3l

U sera une fonction dex^y^ ^vi ^^nt les dérivées partielles représenteront les composantes des forces qui sollicitent chaque point, et l'on pourra faire varier I, en laissant go et Çi constants. Si l'on désigne alors par P le radical qui se trouve placé sous le signe f^ on aura

le signe Z étant relatif aux coordonnées x, y^ 2;,... Or on a, eu vertu de Téquation (5),

dx

\ dx y aUn- A dx ~" dq

( /ir' - V 2/w{*" H- /» 4- O *

^^' <£; <£x' dq dt dq dt

Les équations (7), (8), (9) donnent alors

,, r^'^^fdtdV dx' dq , d dq\ , ^

'' = J^^ l[Tq^-"'l^i-'"''Tqi)''^'^'

ce que l'on peut écrire

XI C' ^dtidV fdx' (dq\

^^^^'\\dqSx.

dt dq dt }\ '

Or on a

d.i/ (dqy f dq d dq dq fdx' dq ^ d dql

€iq \dt ) dt dq dt dt \^ dq dt dq dt \

^9 d !,dq\

■" —■■■■ 1 I QT - I

dt dq \ dt )

V d dx r/'.r

'" dt dt~' d^ '

la formule (lo) devient alors

c'est-à-dire, en vertu des équations du mouvement,

On peut donc énoncer le théorème suivant, auquel on a donné le nom de principe de la moindre action :

Si le traitait des forces qui sollicitent un système est à chaque instant une différentielle exacte , la variation de r intégrale

sera nulle,

La démonstration qui précède est due à Jacobi.

Si l'on observe que les ' variations Jx, 5/,..., dans le courant du calcul, pouvaient être choisies de manière à satisfaire aux liaisons, on pourra encore dire que :

Si les forces qui agissent sur un système, non compris les forces de liaison, sont telles, que leur travail soit à chaque instant une différentielle exacte^ la variation de Vintégrale\ sera nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons.

En général I sera un minimum, et Ton pourra dire que cette intégrale sera plus petite pour le déplacement effectif que pour tout autre déplacement compatible avec les liaisons. Mais il y aura des cas où elle ne sera ni minimum ni maximum : par exemple, s'il s'agit d'un point unique assujetti à rester sur une surface, on a