QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE I

sî, de plus, il n* existe pas de forces extérieures, la force

ds ^ vive est constante, et, par suite, -j l'est aussi, et I se re'-

duit au produit de s par une constante. Ainsi, le chemin suivi par le mobile est un minimum, ou, comme on le savait, une ligne géodésique; mais il peut arriver que cette ligne cesse d'être un minimum : c'est ce qui arriverait si, par exemple, le mobile restait sur une sphère et décrivait un arc de grand cercle plus grand que i8o degrés.

Supposons un système sur lequel n'agisse aucune force extérieure, la force vive sera constante*, soit k sa valeur. On aura

donc t — fo temps du trajet sera généralement un minimum; on peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Si un système en mouvement ntst soumis à V action d^ aucune force extérieure , le temps quHl met à passer d^ une position aune autre est moindre que si, dépensant la même force vzVe, il suivrait tout autre chemin.

Dans certains cas cependant, il pourra arriver que ce temps ne soit ni minimum ni maximum.

Xn. — Principe de Gadss.

236. Soient m la masse d^un point quelconque d^un système en mous^ement^ a^ sa position initiale^ a sa position au bout du temps dt, b la position qu'il occuperait s'il n^ était soumis à aucune liaison ; la quantité

2,mab

sera un minimum^ c'est-à-dire sera moindre que si le point m, au lieu de se rendre en a, suis^ait tout autre chenu'n compatible avec les liaisons.

En effet, en désignant la force due aui[ liaisons qui agît en m-par f^ on a

(i) ab=z ,

en observant quea^ est précisément le chemin que suivrait le point m, en vertu du principe de l'indépendance des effets des forces, s'il n'était sollicité que par la force due aux liaisons, et s'il partait du repos. On tire de la formule (i)

amab

Or, en vertu du principe des vitesses virtuelles, les forces de liaison (les forces perdues) se font équilibre; on a donc, en désignant par a|3 un déplacement virtuel quelconque compatible avec les liaisons,

1/ap CCS (/, ap) = Oj

ou, en vertu de (a),

(3) I,2mabapcos{abfap) = o;

or, on a

^p* z=:ab -f- «P — 2nbapcos{abya^);

multiplions par m, faisons précéder chaque terme d'un 2, nous aurons, en vertu de (3),

2,mbp =z2mab -hZ/wap .

On a donc