XIII. — Principe d'Hamilton. — Formules

DE Lagrange.

Nous avons vu comment Lagrange^ à Taide d'un changement de variables, a déduit, des équations du mouvement en coordonnées rectangulaires, les formules du mouvement d'un système en coordonnées quelconques. Voici une autre manière d'arriver au même résultat.

237. Principe d'Hamilton. — SoientT la somme des dem^i'forces "vives des différents points d^un srystème à r époque f, 5U V expression différentielle du travail virtuel des forces ^ non compn's celles qui proviennent des liaisons^ soit, de plus ,

S= f \$T-hSV}(ity

/o Gt ti désignant deux époques quelconques^ on aura S = o pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons du système^ pourvu que Von prenne nuls les dé" placements relatifs aux époques t^ et t^.

Avant de démontrer cette proposition, nous ferons observer encore une fois que la notation JU n'implique pas dans notre esprit l'existence d'une fonction U. 5U est simplement un travail virtuel que l'on peut exprimer linéairement eu fonction des variations des coordonnées des différents points du système.

Ceci posé, soient m la masse d'un point, x, j^ z ses coordonnées rectangulaires, X, Y, Z les composantes de la force qui lui est appliquée, on aura

2 (X^a: -f- Y^r + Z$z) I dt

c'est-à-dire

OU bien, en intégrant par parties et observant que Sx^ ^, . . . sont nuls pour ^ = /^ et i = f , ,

d^ z + ( Z — w ) Sz

Si donc Jx, ây^ 5r,.«» sont des déplacements compatibles avec les liaisons, on aura, en vertu des équations du mouvement,

238. Voici maintenant comment on fera usage du théorème d'Hamilton. Supposons qu'aux coordonnées Xy y^ z,... on substitue d'autres coordonnées (7,, <7s,.«-9 9«> on aura toujours

On exprimera Hl et 3 U en fonction de <7] , </« v • 9 ^^i t On posera

puis on remarquera que T, qui était primitivement une

doc dy

fonction de -ri — v> va devenir une fonction des q et dt dt ^

QUATKIÈMB PARTIE. — CHAPITRE I. Sj

•des q' \ on aura donc

SU est de la forme

Quand aux coordonnées x^j^ z on aura substitué les -coordonnées qr, dU prendra la forme

«n sorte que la formule (i) pourra s'écrire ou bien, en intégrant par parties,

d'où Ton tire

^ /d dT dT ^\ ^

et si ^1, <78,... sont choisis de telle sorte que les liaisons soient satisfaites d'elles-mêmes, on aura autant d'équations que de variations dqi, ârjt^,,.. Ces équations sont de la forme

d dT ^^

Jtd^'^d^"^''^'

Nous retrouvons ainsi les formules de Lagrange.