QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE II. Gj

est donné par la formule

Nous supposerons que 5U soit une variation exacte, en sorte que la fonction U existera réellement, et Ton aura

Nous supposerons aussi les liaisons indépendantes du temps, en sorte que les variables a:, ^, -?, . . . s'exprimeront, à l'aide des variables ^, au moyen d^équations ou le temps n*entrera pas explicitement. Posons

Les formules (i) pourront se mettre sous la forme ... dp dl dV

<4) Tt--^—d^=''-~

Dans les formules (4)9 les variables indépendantes sont les q et les q\ Nous allons choisir pour nouvelles variables les q et les p. Dans cette hypothèse, nous représenterons les différentielles partielles par des d. Ainsi -=—

sera la dérivée partielle de T exprimé en fondfon de ^1,

dT , , . .

Pî>««M ^15 Çî?«*«5 ^^ contraire, — sera une dérivée

partielle prise en regardant T comme fonction de q\^ q'xf • -9 ^1» 9«v • •• T est une fonction homogène et du second degré de q\^ ^', , . • . . En effet , en coordonnées rectangulaires^ on a

Or, si l'on observe que x^y, z,. . , s'expriment en fonc-

68 TRAITÉ DE MÉGÂl^IQUE RATIONNELLE.

tion de Çi, ^29. • «j au moyen de formules ou le temp& n'entre pas, on aura

dx , dx ,

= rfy;^'-^rf^,*'

Quant à x\ y\. . .^ on substitue leurs valeurs dans T5 cette quantité devient une fonction homogène et du second degré de q\y q\^, , ,. On a donc, par le théorème des fonctions homogènes,

ce que l'on peut écrire ainsi qu'il suit, en vertu de la formule (3),

T = Ipq' — T.

En différentiant cette équation, on a

n=lpSq' + lq'Sp-^-^Sq-'2,-^,Sq'.

rfT - '^dT

Cette formule, en vertu de (3), se réduit à

ST = lq'Sp-^^Sq.

Or rien n^empêche de supposer maintenant T exprimé en fonction des p et des q, La formule précédente deviendra ainsi

d'où l'on déduit

/ dT

dT dT

\ àq dq