QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 6g
ia formule (4) devient alors
.g. dp dT du
dt dq dq
Nous supposerons que la fonction U ne contienne pas
1 ,1 dV , , , du du . , .
les q' -, alors — sera égal a -r-^ ®* T~ ^^^^ identiquement
nul. La formule (6) pourra alors s'écrire ainsi
dp d(T — U) dt~ d^ *
Quant à la première formule (5), on pourra la mettre sous la forme
dq^ __ d(T — U)
dt "" àp En posant
les deux formules précédentes donneront
,g. dp ^ dH dq ^àn
dt '~' d^^ ' 57 "~ d^ '
et Ton aura autant d'équations semblables à celles-ci qu'il y a de variables p et q. Ces équations, données pour la première fois par Hamilton, ont reçu le nom d^équalions canoniques du mouvement (*).
(*) On peut, en partant des formules (8), retrouver le théorème des
forces YÎyes. Pour cela, il suffit de multiplier la première de ces équa-
. do dp
tions par -r-, la seconde par -7-1 et de les retrancher Tune de l'autre : at *■ dt
on a ainsi
dH dq dH dp
dq dt dp di En ajoutant ensemble toutes les équations obtenues en changeant dans
fJO TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.
248. Pour en bien faire saisir le sens, nous allons supposer que les coordonnées ^i, ^s, . . . se réduisent précisément aux coordonnées rectangulaires Xj, j^i, Zi,. . .. Dans ce cas, on a
rfT , dT dT , dx! ' àp à,mx'
dT ^__^ Ë?— ^"^ — '
àx ' dx dx . dp d./wx'
par suite, les équations (8) deviennent
dx' du dx dt (Ix dt
IL — Définition de la fonction caractéristique.
249. Hamilton a donné le nom de fonction caractéristique à l'intégrale
Si nous faisons varier cette intégrale en laissant fixes les positions extrêmes du système, nous trouvons, en
celles-ci ^ et ;? en ^, et /?, , en 7, et ;?,, . . . , q^ et p^ , il vient
— -- =-.0 ou H = const.
dt
Or H n'est autre chose que T — U. On a donc
T-U=T„-U, ou T-To = U-Uo,
rindice o indiquant que dans T et U on doit faire t = t,. Si l'on se rappelle alors que T est la demi-force vive et U le travail total des forces, la formule précédente contient, comme on voit, l'expression du théorème des forces vives.
