QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II

OU, en vertu de (i),

àS ^ ^ dS âq

En différentiant cette formule, on a

dS yçàf ^ df dS

dS^dg , ^dq dS

^dg dt ^d dt da

dq dt M^ dt dq

D'un autre côté, on a

S& = Sf Sq + ^ So..

^^ dq dot

Or -—- est constant en vertu de ( 2) : donc

dOL \ I '

tus d(îS ^r^ d rfS v^ ^S . dy

(^) -Âr=^^ntTq^J.Tq'Tt-

Si Ton a alors égard aux formules (2), les formules (5) et (6) deviennent

En vertu de la formule (4) les deux premiers membres des deux formules précédentes sont égaux, les seconds doivent Tétre aussi, on a donc

OU bien

et dans cette formule il ne faut pas oublier que y représente la même fonction que dans (i), à cela près que —

a été remplace par p.

Mais (^ai, ^a^,..., J|3i,... sont tout à fait arbitraires; par suite, d^i, d^s,..., dp^^ Sp^,.,, sont également arbitraires.

La formule (7) est donc équivalente aux équations (3)

' * dt dq dr dp

donc enfin les équations (3) sont des conséquences de (2), et, par suite, les formules (2) sont les intégrales de ces dernières.

Corollaire I. — Si la fonction S satisfait à Véquation différentielle de la fonction caractéristique

(T) désignant ce que deinent T quand on y remplace pj par —9 et si cette fonction contient h constantes arbi" traires a^^ a^). . . , a-iy

seront les intégrales des équations dont le type est

dq __ J(T — U) dp d[T'-'V) dt dp dt dq

c^est'à'dire des équations du mouyement.